Matematica per l'economia, prova d'esame svolta, appello 8-gennaio-2019

CORSO DI LAUREA IN ECONOMIA E COMMERCIO

E

CORSO DI LAUREA IN ECONOMIA AZIENDALE

Matematica per l’economia

Prof. D’Aniello Emma – Prof. De Simone Valentina

Esame - 08 GENNAIO 2019

COMPITO 1

Nome……………………………Cognome……………….............Matricola…………………….

Risolvere i seguenti esercizi

1. Studiare la seguente funzione e tracciarne il grafico −1

= − −6

2. Scrivere l’equazione della retta tangente alla curva

3−

= ln 2 − 10

nel punto (0,0).

3. Dare la definizione di autovalore e autovettore e calcolare gli autovalori e i relativi autovettori della

seguente matrice: 1 2 1

= 0 2 0

1 −2 1

4. Determinare eventuali punti di massimo e minimo della seguente funzione:

, = + +

−1

1. Studio di funzione = − −6

Dominio

Unica condizione denominatore diverso da zero

− −6 0 → −2 ∨ 3

Δ = 25 0→ , "

! = ∈ $: −2 ∨ 3&

'−∞; '−2; '3;

Scriviamo il dominio per innervali: ! = −2* ∪ 3* ∪ +∞*

− −1 +1

Simmetrie − = =− → -.- è 0123

+ −6 + −6

−1

− =− − → -.- è 4350123

− −6 −1 1 1

Intersezioni = 0 = =

∩ 1557 = →9 → =9

9 − − 6 6 6

8 =0 =0 =0

−1 −1=0 =1

=

∩ 1557 = →; →< =

9 ;

− − 6 =0 =0

: =0

La funzione interseca gli assi nei punti A e B

−1

Segno 0

− −6

−1 0 1

→= →

= − −6 0 > −2 ∨ 3

0 ∀ ∈ −2; 1 ∪ 3; +∞

> 0 ∀ ∈ −∞; −2 ∪ 1; 3

Limiti agli estremi del domino = 0 C

lim F = → = 0

G

:C CB = 0

: C:CE : H

:→ B D

• è asintoto orizzontale destro e sinistro

HB

lim = = −∞

:C C

: C:CE J

:→C D K

I

• = = +∞

lim :C C

: C:CE J

D I

:→C K

•

= −2 è asintoto verticale per )

lim = = −∞

:C

: C:CE J

:→ D I

I

• lim = = +∞

:C

: C:CE J

D K

:→ K

•

= 3 è asintoto verticale per −1

Derivata prima = − −6

− −6− −1 2 −1

′ = − −6

− −6−2 +2 + −1

= − −6

− +2 −7

= − −6

Studiamone segno e zeri: − +2 −7 N0

− −6

+2 −7N0

−

Δ = 4 − 28 = −24 > 0 → − +2 −7 > 0 ∀ ∈ !

− −6 0 ∀ ∈!

La derivata prima è sempre negativa ) è sempre decrescente

Il grafico presenta un punto di flesso con ascissa compresa tra 0 ed 1. In corrispondenza di tae la vlore la

derivata seconda si annulla.

Derivata seconda: 2 −6 + 42 − 26

" = − −6

Grafico 3−

2. Equazione della retta tangente in (0,0) = ln 2 − 10

3−

Dominio della funzione: 0

2 − 10

3− 0 >3

= →= →3> >5

2 − 10 0 5

! = 3; 5

Lo zero non appartiene al dominio della funzione, non è possibile scrivere l’equazione della

tangente richiesta.

3. Dare la definizione di autovalore e autovettore e calcolare gli autovalori e i relativi autovettori

1 2 1

della seguente matrice: = 0 2 0

1 −2 1

DEFINIZIONI

Sia ∈ R1S T, -, U

una matrice quadrata di ordine n a coefficienti in un campo K

V ∈ U

Si dice che lo scalare è un autovalore di A, se:

∃X ∈ U ∧ X .

Y

Tale che:

X = VX

(*) X V.

Il vettore è detto autovettore relativo all’autovalore

V, [X, [ ∈ U ∧ [ 0

Se v è un autovettore relativo all’autovalore allora anche con è u autovettore

V, [

relativo a infatti, se moltiplichiamo ambo i membri della (*) per lo scalare

[ X = [ VX

si ha pure: [X = V [X

[X V

è un autovettore associato a

ciò dimostra che anche

Calcolo degli autovalori ed autovettori 1−V 2 1

Risoluzione del polinomio caratteristico:

| − V]| = 0 2−V 0

1 −2 1−V

| − V]| = 0 ^1 − V 1

Sviluppando il determinante lungo la seconda riga:

| − V]| = 2 − V ^

1 1−V

| * − 1'

− V]| = 2 − V 1 − V 2−V =0

*

2−V 1−V − 1' = 0 → ; 1−V −1=0

V=2

1−V =1 V=0

_ 1−V −1=0→= →=

1 − V = −1 V=2

Gli autovalori della matrice sono: V = V =2 7 V =0

Calcolo degli autovettori

V = V = 2

1−2 2 1 0 −1 2 1 0

Per

` a b d = ` a ⇔ ` a b d = ` a

0 2−2 0 0 0 0 0 0

c c

1 −2 1−2 0 1 −2 −1 0

0

a ⇔ − 2 − c = 0

⟹ b d = `

1 −2 −1 0

c 0 ∞ 5.ghc3.-3

La matrice ha rango 1: ci sono due parametri liberi, il sistema ha

=2 +c V = V = 2

25 + S

Lo spazio degli autovettori relativi a è generato da:

X=` a

5

S

2 1

E quindi assegnando arbitrariamente ai parametri i valori 0 e 1, si ha:

s,t

X = ` a; X = ` a;

1 0

0 1

V = 0

Per +2 +c =0

1−0 2 1 0 1 2 1 0 2 =0

` a b d = ` a ⇔ ` a b d = ` a ⇔ 9

0 2−0 0 0 0 2 0 0

c c − 2 +c =0

1 −2 1−0 0 1 −2 1 0

= −c

=0

⟹_ c=S 5.ghc3.-3

∞

La matrice ha rango 2: vi è un parametro libero, il sistema ha

V = 0

Lo spazio degli autovettori relativi a è generato da: