Matematica per l'economia Traccia svolta Appello 11 gennaio 2021 Compito 3

MATEMATICA PER L'ECONOMIA (E-O)

PROF.SSA EMMA D'ANIELLO - A.A. 2020-2021

ESAME SCRITTO - 11 GENNAIO 2021

COMPITO 3 (COGNOMI DA MAN A MOR)

Nome..........................................

Cognome........................................

Matricola........................................

Risolvere almeno tre dei seguenti esercizi tra cui, obbligatoriamente, il numero 21

1. (1) Calcolare il seguente limite lim -log - 2 -2→
2. (2) Studiare la seguente funzione e tracciarne il grafico -1= | |0 3 1
3. (3) Date le matrici A e B: = -2 1 0
   2 0 2
   -3= 2 -2
   -1 1
   Calcolare la matrice prodotto C=AB e determinare il rango di C.
4. (4) Calcolare il seguente integrale: " -8 !-2#, % = % ∙ ' , < 0
5. (5) Determinare gli estremi relativi della funzione nell'insieme indicato a fianco:()1 1

(1) Calcolare il seguente limite lim -log - 2

^-2→1 1 1 1lim ^- = ^-log ^-2 ^-2 log 2 ^-2 2 ^-2+ +→ 11= ^- 0log 0+ +1= ^-∞^-∞^- ∞ = ^-∞= 0 ((2) Studiare la seguente funzione e tracciarne il grafico^-1= | |Dominio ^-1La funzione presenta un valore assoluto al denominatore, riscriviamola:⎧ 0' > 0= ^-1⎨ ^- 0' < 0⎩ 3042 ^- = ^-∞; 0 ∪ 0; +∞E definita in:∩ 900' = ∅ ;'<=ℎè ∉ AIntersezioni) ^-1⎧ = 10' > 0C → D⎪ %=0⎪ %=0∩ 900' ^-1⎨ ^- 0' < 0⎪ C = ∅⎪ %=0⎩La funzione interseca l’asse delle ascisse in (1;0)>0Segno^-1 >0 ∀ ∈A| |N.B.Il numeratore è sempre positivo, perché è un quadrato, il denominatore è nel modulo !!LIMITI ^-1⎧ lim ≈ = +∞lim = lim → ∄90JKLM M<JNNMKL9O'→+G_-1⎨→G →G lim _- ∞ _- = +∞⎩ →(G % = P + Q Cerchiamo eventuali asintoti obliqui di equazione P = lim R S→G ⎧ =1-1 P = lim =| | ∙ ⎨→G = -1⎩ ∞-1 |P|T - UQ = lim | |→G -2 + 1-1 -2 +1-⎧ - = = = -2 Q = lim -2 +1+ +2 - 1-1⎨→G - + =- = +2⎩ Le due rette asintotiche hanno equazione: y : % = - 2 ;'<>0" y : % = - + 2 ;'<0" Limiti destro e sinistro di zero: -1 1⎧ lim ∞ = +∞0+ lim = →# -1 1⎨→W lim - ∞ = +∞⎩ 0 (→(G= 0 L'asse delle ordinate è asintoto verticale per f(x). DERIVATA PRIMA -1 2 -1 ∙ - -1⎧ ⎧0' >0= →' =-1 2 -1 ∙ - -1⎨ ⎨- 0' <0 -⎩ ⎩2 -2 - +2 -1 -1⎧ = 0'

>0′ = 2 −2 − +2 −1 1−⎨ − = 0' <0⎩’ −1 ≤ −1 ∨ ≥ 1SEGNO di ≥1\]≥ 0 a1; bZ → →] → min 1∀ ∈A >0>0>0−1 −1 ≤ ≤ 1 ≥ 1\]Z− ≥ 0 a−1; b→ → ] → min −1∀ ∈ A >0<0<0 = ±1Calcoliamo il valore della funzione in −11 = = 0; → P 1; 0"−1−1 = = 4; → P −1; 4−Minimo in x=1 Minimo in x=-1-1 0 1-1 0 1 - + + + + -+ - - - + + + ++ + + - + +- - + e<fe>fGrafico di f(x): 0 3 1(3) Date le matrici A e B: = −2 1 02 0 22 −3= 2 −2−1 1Calcolare la matrice prodotto C=AB e determinare il rango di C.= =La matrice C avrà 3 righe e due colonne: "" "= =g = h i"= ="= = 9 ∙ j + 9 ∙ j + 9 ∙ jIn cui ciascun elemento è calcolato come segue:"" "" "" " " " "= = 0

• 2 + 3 ∙ 2 + 1 ∙ −1 = 6 − 1 = 5
• 5 −5g = h i−2 42 −4
• Il rango di C è 2.
• (4) Calcolare il seguente integrale: −8 !−2
• Osserviamo che la funzione integranda è riducibile ad una funzione razionale intera, scomponendo il numeratore:
• −8 −2 +2 +4= = +2 +4−2 −2
• Risolviamo quindi l'integrale definito di una funzione razionale intera:
• −8 ! = +2 +4 !−2
• 2=T + +4 U3 2 #1 1 55= + +2=24 4 24
• La funzione integranda è una parabola, l'integrale definito è l'area sottesa alla curva.