Homeworks Calcolo Automatico delle Strutture

F-

► Homework 1

1.1 Calcolo manuale

Il calcolo manuale è effettuato applicando la teoria della trave alla Eulero-Bernoulli. L’ipotesi

fondamentale di tale teoria è che le sezioni piane rimangano piane e normali all’asse

longitudinale della trave. Ciò implica di trascurare le deformazioni taglianti dovute alla

perdita di ortogonalità tra l’asse della trave e il piano della sezione.

1.1.a Struttura (a)

Dati: L = 17 m, q = 10 Pa. Fig. 1

Per la risoluzione della struttura si utilizza il metodo dei vincoli ausiliari.

Fase 1

La struttura è una volta iperstatica (Fig. 1). Nella fase 1 si sceglie di impedire la traslazione

verticale del nodo B, al fine di determinare l’incognita iperstatica V (taglio in B).

B

Ci si riconduce ad uno schema noto tipo “trave appoggio-incastro” (Fig. 2) e si determinano

i valori di taglio e momento nei nodi B, C. Fig. 2

Volendo inoltre determinare il valore del momento massimo in campata, si pone l’equazione

del taglio pari a zero, si determina l’ascissa alla quale il taglio è nullo e la si sostituisce

nell’equazione del momento: o

3 3 in

T qL qz 0 → z L

4 4 ol

pp

3 Co

F-

3 9 9 9

M L qL qL qL

4 16 32 32

Noto il momento massimo in campata, si tracciano i diagrammi di fase 1 (Fig. 3).

Fig. 3 o

in

ol

pp

4 Co

F-

Fase 2

In fase 2 si applica alla struttura iperstatica di partenza la forza V , cambiata di segno.

B

Fig. 4

Per la determinazione della rigidezza alla traslazione dei due tratti ci si riconduce al caso

notevole di trave a mensola caricata all’estremo libero (Fig.4):

3EI 3EI

; W

W L 8L

I coefficienti di ripartizione sono: W 8 8 1

ρ ; ρ 1

W W 9 9 9

Noti i coefficienti di ripartizione, si procede alla risoluzione della struttura di fase 2 (Fig. 5).

Fig. 5 o

in

ol

pp

5 Co

F-

Fase 1+2 : diagrammi finali

Per ottenere le sollecitazioni finali, si sommano i diagrammi delle due fasi. Il momento

massimo in campata si ottiene analogamente alla fase1, ricercando l’ascissa alla quale si

annulla il taglio (Fig.6). Fig. 6

Sollecitazioni massime: 2

3

2

9 2

3

4

3

Calcolo degli spostamenti o

in

2 L 2 qL

η qL ∙ abbassamento nodo B ol

3 3EI 9 EI pp

6 Co

F-

1.1.b Struttura (b)

Dati: L = 17 m, η = 2 m. Fig. 7

Analogamente alla struttura (a), si utilizza il metodo dei vincoli ausiliari.

Fase 1

Si applica un morsetto al nodo C, al fine di impedirne la rotazione (Fig. 8). Essendo la

rigidezza alla traslazione definita come U = η / V, con η = spostamento trasversale,

V = taglio applicato, è possibile considerare la struttura soggetta ad una forza concentrata

V = U ∙ η applicata all’estremità D (in cui viene soppresso il vincolo). Questa forza produrrà

gli stessi effetti dello spostamento imposto η. La rigidezza del tratto CD è nota in quanto ci

si riconduce al caso notevole di trave a sbalzo.

Fig. 8

Fase 2

In fase 2 si applica alla struttura iperstatica di partenza il momento VL, cambiato di segno. o

in

ol

Fig. 9 pp

7 Co

F-

La rigidezza alla rotazione del tratto CD è nota (trave appoggio-appoggio con momento a

un’estremità), mentre quella del tratto BC è incognita.

Si vuole determinare la rotazione φ , nota la quale si può direttamente risalire alla rigidezza

CB

del tratto BC. A tale scopo, si considera, in una prima fase, un tratto infinitamente rigido e

l’altro deformabile, in una seconda fase il viceversa. In una terza fase si applica il principio

di sovrapposizione degli effetti per determinare la rotazione φ .

CB

Di seguito di riportano le diverse fasi per la determinazione della rigidezza di due tratti

- Rigidezza tratto CD (Fig. 10)

3EI

W L Fig. 10

- Rigidezza tratto BC

Fase I (Fig. 11)

o Si considera il tratto BC infinitamente rigido. Segue che:

2M L M L

v ∙

L 24EI 12EI

2v M L

φ′ L 6EI Fig. 11 o

in

ol

pp

8 Co

F-

Fase II (Fig. 12)

o Si considera il tratto AB infinitamente rigido. Segue che:

M L

φ′′ 6EI Fig. 12

Fase I+II (Fig. 12)

o Si applica il principio di sovrapposizione degli effetti. Segue che:

M L 3EI

φ φ′ φ′′ →W

3EI L

La rigidezza del tratto BC risulta essere uguale a quella del tratto CD, i coefficienti di

ripartizione saranno dunque ρ = 1/2, ρ = 1/2.

CB CD

Noti i coefficienti di ripartizione, si procede alla risoluzione della struttura di fase 2 (Fig. 13).

Fig. 13 o

in

ol

pp

9 Co

F-

Fase 1+2 : diagrammi finali (Fig.14) Fig. 14

Sollecitazioni massime: VL 3EI

M η momento max

M 2 2L

3EI

V η taglio campata AC

T L

V 3EI

T η taglio campata CD

2 2L

Calcolo degli spostamenti L

VL 3EI η

η η 0.25 m spostamento nodo B

24EI L 24EI 8

Nota: è interessante constatare che in questo caso, applicando la teoria della trave alla

Eulero-Bernoulli, gli spostamenti risultano indipendenti dalle caratteristiche della sezione.

Mentre le sollecitazioni aumentano all’aumentare del momento d’inerzia della sezione,

essendo imposto lo spostamento del nodo D. o

in

ol

pp

10 Co

F-

2.2 Modellazione con software di calcolo

Si sceglie di modellare le strutture tramite il software di calcolo agli elementi finiti “Straus7”.

Di seguito si riassumono i vari passaggi svolti nell’operazione di modellazione e analisi delle

strutture:

- definizione delle unità di misura del modello;

- inserimento dei nodi e delle eventuali restrizioni nodali (in accordo con le condizioni

di vincolo);

- definizione delle caratteristiche geometriche e meccaniche degli elementi trave;

- inserimento degli elementi beam;

- applicazione dell’end-release per il nodo interno, per permette la rotazione relativa

delle due travi;

- applicazione del carico (struttura ‘a’) o dei cedimenti nodali (struttura ‘b’);

- risoluzione della struttura tramite analisi statica lineare;

- lettura critica del report dell’analisi, il quale riporta i principali input forniti dall’utente,

il numero di equazioni risolte, le sollecitazioni e gli spostamenti massimi ed eventuali

messaggi di errore dovuti ad errori di modellazione da parte dell’utente;

- visualizzazione dei risultati in termini di sollecitazioni e spostamenti.

2.2.a Struttura (a)

In Fig.15 è rappresentato lo schema statico della struttura ‘a’.

Fig. 15

Si è scelto di adottare un profilo in acciaio del tipo IPE 200. Di seguito si riportano

caratteristiche geometriche della sezione (Fig. 16) o

in

ol

Fig. 16 pp

11 Co

F-

Si assume un valore del modulo di Young pari a E = 206000 MPa.

Graficamente, si controlla che l’asse maggiore d’inerzia della sezione sia normale al carico

applicato (Fig. 17) Fig. 17

Di seguito si visualizzano i diagrammi del momento flettente (Fig.18) e del taglio (Fig.19) e

la deformata sul piano verticale (Fig. 20) Fig. 18 o

Fig. 19 in

ol

pp

12 Co

F-

Fig. 20

Sollecitazioni massime:

M M 1,926667 ∙ 10 Nm momento max agli incastri

M 6,422222 ∙ 10 Nm momento max in campata

T 1,133333 ∙ 10 N taglio max incastro 1

T 2,266667 ∙ 10 N taglio max incastro 3

Spostamenti: η 4,639247 ∙ 10 m abbassamento nodo B

Raffronto dei risultati con il calcolo manuale

Di seguito si confrontano i risultati in termini di sollecitazioni e spostamenti ricavati con il

calcolo manuale con quelli ottenuti al calcolatore. Si valuta poi l’errore relativo tra le 2

soluzioni (Tab. 1) Calcolo manuale Straus Errore relativo

∙ 2/3 qL 1,926666 ∙ 10 5,2 ∙ 10

1,926667 ∙ 10

∙ →0

2/9 qL 6,422222 ∙ 10 6,422222 ∙ 10 →0

2/3 qL 1,133333 ∙ 10 1,133333 ∙ 10 4,4 ∙ 10

4/3 qL 2,266666 ∙ 10 2,266667 ∙ 10

2qL /9EI 4,637064 ∙ 10 4,639247 ∙ 10 4,7 ∙ 10 o

in

Tab. 1 ol

pp

13 Co

F-

Non essendo la struttura (a) soggetta a spostamenti imposti, i valori delle sollecitazioni non

dipendono dalle caratteristiche sezionali. Gli spostamenti invece dipendono dalla sezione e

dal materiale adottato. Per il calcolo manuale si è applicata la teoria della trave alla Eulero-

Bernoulli, la quale non permette la perdita di ortogonalità tra l’asse della trave ed il piano

della sezione. Ci si aspetta che all’aumentare del momento d’inerzia della sezione, aumenti

l’errore relativo tra i risultati, in termini di spostamento, del calcolo manuale e quelli forniti

dal software. Si analizza l’andamento dell’errore all’aumentare dell’inerzia sezionale

(Tab.2). Spostamento Spostamento

Calcolo manuale Straus Errore relativo

4,7 ∙ 10

2qL /9EI 4,637064 ∙ 10 4,639247 ∙ 10

IPE 200 2qL /9EI 3,895294 ∙ 10 3,902409 ∙ 10 1,8 ∙ 10

IPE 400 /9EI 9,784770 ∙ 10 9,818809 ∙ 10

2qL 3,5 ∙ 10

IPE 600 Tab. 2

2.2.b Struttura (b)

In Fig.21 è rappresentato lo schema statico della struttura ‘b’.

Fig. 21

Si adotta un profilo in acciaio del tipo UPN 100 (Fig. 22) o

in

ol

Fig. 22 pp

14 Co

F-

La sezione scelta è simmetrica rispetto all’asse minore d’inerzia ma non lo è rispetto all’asse

maggiore. Di conseguenza, se si applicasse un carico (o uno spostamento impresso) al

baricentro della sezione, si genererebbe momento torcente e la sezione si infletterebbe fuori

dal piano verticale. Per evitare l’insorgere di tali deformazioni si applica lo spostamento

impresso nel centro di taglio della sezione. Dal punto di vista della modellazione ciò consiste

nell’applicare un offset alla trave pari alla coordinata del centro di taglio (Fig.23)

Fig. 23

Si effettua quindi l’analisi statica e si visualizzano i diagrammi del momento flettente e del

taglio e la deformata (Fig. 24 – 26) Fig. 24 o

in

ol

pp

15 Co

F-

Fig. 25

Fig. 26

Sollecitazioni massime: M 4,382716 ∙ 10 Nm momento max

M T 5,156137 ∙ 10 N taglio campata AC

T 2,578068 ∙ 10 N taglio campata CD

Calcolo degli spostamenti η 0,2500349 m spostamento nodo B

Raffronto dei risultati con il calcolo manuale

Di seguito si confrontano i risultati in termini di sollecitazioni e spostamenti ricavati con il

calcolo manuale con quelli ottenuti al calcolatore. Si valuta poi l’errore relativo tra le 2

soluzioni (Tab. 3). Si analizza l’andamento dell’errore all’aumentare dell’inerzia sezionale o

(Tab. 2): in

ol

pp

16 Co