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CALCOLO AUTOMATICO DELLE STRUTTURE

a tratti o parabolici a tratti…, e restando un problema semplice, si ottiene una soluzione più precisa rispetto ad

una semplice linea che unisce gli estremi. Ogni sottodominio è un EF, e per ognuno di loro si prosegue come

fatto in precedenza per il singolo elemento ricavando la relazione tra lo sforzo e gli spostamenti dei suoi nodi,

in seguito si devono assemblare i risultati (come nell’analisi matriciale delle strutture).

Il dominio di definizione viene diviso in elementi, e ogni punto di separazione diventa

un nodo; su ogni elemento si può scrivere l’equazione matriciale dello spostamento

, dove l’apice sta per elemento Ottenuto anche il vettore degli

e e-esimo.

sforzi , ora si devono assemblare tutti gli EF rispettando la condizione di

compatibilità ed equilibrio.

La compatibilità si impone agli elementi adiacenti, imponendo ai loro

nodi che occupano lo stesso spazio, la stessa quantità di spostamento.

Per imporre l’equilibrio, ogni nodo deve avere una risultante uguale

e opposta al carico esterno applicato.

Riassumendo:

Viene dato il seguente esempio di una mensola con un

carico uniforme e la sua soluzione esatta, uno spostamento

di ordine parabolico. In seguito si divide il dominio in 4

EF lineari, e lo spostamento totale che si ottiene è una

buona approssimazione di quello reale. Nella fase di post-

processing si può calcolare la deformazione, come

derivata degli spostamenti, ottenendo un grafico a scala,

esattamente come il diagramma degli sforzi, costante a

tratti. Anche questa è una buona approssimazione dello

sforzo reale.

Come ricordato all’inizio del capitolo, un difetto tipico degli

EF agli spostamenti è la violazione di equilibrio locale (i salti

negli sforzi); inoltre, l’entità del salto è proporzionale

all’approssimazione della soluzione. Il percorso eseguito per

valutare gli sforzi segue le frecce rosse sul diagramma di

Tonti: trovati gli spostamenti nodali, con le equazioni di forma

abbiamo valutato gli spostamenti lungo l’elemento, le relative

deformazioni e con il legame costitutivo siamo arrivati agli

sforzi; siamo usciti dal modello.

Martini Rudy 23

CALCOLO AUTOMATICO DELLE STRUTTURE

Di seguito si rappresentano i grafici relativi alla soluzione

esatta (tratto continuo) e quella ottenuta con il FEM di

spostamento deformazione e sforzo.

Di seguito, in rosso, si hanno gli stessi grafici ottenuti dalla

stessa risoluzione del problema dell’asta con la sezione

variabile lungo l’asse.

Questa volta si ha un’approssimazione peggiore perché

la soluzione esatta è più complessa della parabolica.

Se si ingrandisce il grafico degli spostamenti di questa

biella conica, la soluzione reale è definita dalla linea continua (SF), la soluzione lineare approssima come

può quella reale, con un errore che aumenta con l’aumentare dello spostamento; la soluzione parabolica

invece contiene sempre un errore, ma l’approssimazione è migliore di quella lineare.

Ora si vuole mostrare un altro esempio dove si ha una biella conica caricata assialmente che viene risolta con

il FEM agli spostamenti, aumentando di volta in volta la discretizzazione, ma utilizzando sempre elementi

lineari.

24 Martini Rudy

CALCOLO AUTOMATICO DELLE STRUTTURE

Per un solo elemento si ottiene una sola matrice di

rigidezza; per il caso con i due EF si ricava una sola

matrice di rigidezza dalla somma delle due ottenute dai

singoli elementi; allo stesso modo nella soluzione con

3 EF si ottengono 3 distinte matrici di rigidezza per

ogni elemento, e combinate in modo opportuno tra loro

si ottiene la matrice di rigidezza globale di tutta la

biella. Si hanno 3 modelli per lo stesso modello

strutturale. Se si confrontano i risultati, gli spostamenti

`$

^ _ !#

nell’estremo libero si ricavano come ,

a

_

con il valore che si valuta in base alla soluzione

esatta o in base ai diversi casi con gli EF, e sono

riportati nella tabella che segue.

Si osserva subito che aumentando il numero degli EF la soluzione converge verso il valore esatto, ma non è

tutto: all’aumentare del numero degli EF, la soluzione tenderà ad avere un andamento asintotico alla soluzione

esatta, e i risultati che si ottengono sono sempre minori di quello esatto. Come ricordato all’inizio del capitolo,

un minor spostamento significa una maggior rigidezza, e quindi l’approccio agli spostamenti irrigidisce la

struttura.

5.4 T E -B

RAVI ALLA ULERO ERNOULLI

Per ogni tipo di trave lo schema di risoluzione agli EF è

sempre lo stesso, con le grandezze unite dalle stesse

relazioni, come mostrato nel diagramma di Tonti;

cambiano solo le dimensioni di matrici e vettori in base

alle forze e agli spostamenti in gioco. L’unica differenza

T,

tra le bielle soggette a sforzo assiale e alle generiche aste

caricate nello spazio, è la presenza del vettore che

rappresenta le distorsioni (ad esempio termica).

Nel caso generale di una trave alla Eulero-Bernoulli, con

l’unica variabile indipendente è

θ = v’, v.

Martini Rudy 25

CALCOLO AUTOMATICO DELLE STRUTTURE

Data la generica asta, la classe degli spostamenti cinematicamente ammissibili deve rispettare i requisiti di

definizione della deformazione e le condizioni al contorno degli spostamenti; poiché la deformazione, a partire

dagli spostamenti, si trova tramite la derivata seconda, la rappresentazione dello spostamento deve garantire

questa definizione su ogni punto del dominio.

Se ipotizziamo di avere un’asta rappresentata da 2 EF lineari, con spostamento nullo nei nodi esterni e

spostamento nel nodo centrale: la funzione spostamento è continua su tutto il dominio, con derivata

v

discontinua (positiva da una parte e negativa dall’altra); la derivata seconda non si può fare perché la

v”

derivata prima non è derivabile (funzioni di classe ). Per una trave alla Eulero-Bernoulli è necessario

0

v’ C

avere elementi parabolici o più per garantire l’esistenza della derivata seconda.

Quando si scelgono le funzioni di forma si deve rispettare il campo

degli spostamenti cinematicamente ammissibili, quindi si deve

conoscere la richiesta dell’operatore di compatibilità: nel caso di

una trave alla Eulero-Bernoulli è richiesta una funzione di forma di

, le cosiddette Hermitiane (per il caso 1D). Per garantire la

classe 1

C

continuità si devono governare sia che quindi si hanno 4

v v’,

funzioni di forma. Per governare 4 incognite sono dunque necessarie almeno

delle funzioni cubiche, esattamente come quelle scritte in funzione di ξ.

Nell’esercitazione 1 si sono risolte semplici strutture, e confrontate con il

software i risultati erano compatibili. Per dimostrare questo, Straus7 ha

utilizzato elementi con funzione di forma cubica per rispettare tutte le condizioni imposte per avere degli

spostamenti cinematicamente ammissibili, e noi per risolvere le strutture abbiamo utilizzato un metodo che

Integrando l’equazione si arriva alla funzione che risulta

deriva dall’equazione della linea elastica: ’’’’

EIv = 0. v

cubica: le soluzioni coincidono perché sia nei calcoli a mano (soluzione esatta) che in quelli col software sono

basati sulla stessa definizione.

La funzione introdotta è solo un’altra rappresentazione (master) dell’elemento monodimensionale, il cui

ξ

dominio va da a la sua maggiore utilità la si vedrà con gli elementi bidimensionali. Quando l’operatore

-1 1;

di compatibilità chiede la derivata seconda (rispetto ad dell’equazione di forma per calcolare la curvatura,

x) 2Q 2c

bG

2c 2

si può utilizzare questa nuova funzione: la derivata prima per la prima equazione sarà , mentre la

d

2Q 2c

bG

2c 2

derivata seconda . Se si sviluppa la derivata seconda del primo elemento di si ottiene il primo elemento

N

di e così via: . Con il vettore si può creare la matrice di rigidezza,

B, B

come , cioè integrale sul dominio dell’elemento (da a del prodotto

0 L)

per effettuare la trasformazione di coordinate; allo stesso modo si valuta il vettore come

T CB

B g

. La matrice di rigidezza e il vettore che si ottengono sono:

g

La matrice di rigidezza ottenuta qui è la stessa di quella ottenuta nell’analisi matriciale perché in entrambi i

casi sono state utilizzate funzioni cubiche, quindi il risultato che si ottiene è esattamente con il FEM è lo stesso

dei calcoli manuali con la linea elastica.

5.5 T T

RAVI ALLA IMOSHENKO

Nel caso di una trave alla Timoshenko è necessario valutare anche l’energia

associata al taglio nel principio dei lavori virtuali. Le equazioni che andremo a

risolvere sono quelle relative a questa tipologia di trave, e quindi si ha solo la

26 Martini Rudy

CALCOLO AUTOMATICO DELLE STRUTTURE

derivata prima in è dunque possibile utilizzare funzioni di forma che hanno derivata prima diversa da

0

D: C

zero, nel rispetto di questa condizione. Procedendo in questo modo però nasce il fenomeno dello shear locking.

Poiché si considera la deformazione a taglio, quando la trave tende ad essere snella (e quindi ad approssimarsi

ad un comportamento simile alla trave di Eulero-Bernoulli), la derivata prima di deve tendere a Si

θ.

v

rappresentano quindi queste due funzioni come funzioni di forma lineari, e implicitamente la rappresentazione

di risulta:

γ ( )

Se la snellezza aumenta la funzione di taglio deve tendere a zero, quindi i diversi monomi che compongono il

polinomio devono essere nulli:

Questo comporta, nella rappresentazione lineare di alla considerazione che la sezione ruota in maniera

θ,

costante, quindi si impoverisce la definizione e la risposta è più rigida (shear Per risolvere questo

locking).

problema ci sono varie soluzioni; tutto nasce nella matrice di compatibilità dove si ha una disomogeneità al

suo interno nella seconda riga relativa al taglio, con la derivata prima di e la funzione di non derivata. Per

θ

v

migliorare questo difetto si può utilizzare una funzione di descrizione di diverso da (esempio cubico e

θ

v

quadratico), oppure adottare un approccio diverso a quello degli spostamenti.

6 ANALISI DINAMICA

Il problema dinamico si differenzia da quello statico per

la presenza delle forze di inerzia: le funzioni variano sia

nello spazio che nel tempo. In questo caso non ci si chiede

solo come sono distribuite le rigidezze, ma anche come

sono distribuite le masse. La rappresentazione di un

serbatoio raffigura già un modello, con la massa

concentrata maggiormente in un punto, all’estremità

superiore, e un incastro alla base, che governa gli

spostamenti a cui può essere sottoposta la struttura. Nella

figura si vede il punto che simboleggia la massa

concentrata, che si può spostare (trascurando le

deformazioni locali), e lo stelo che unisce la massa

all’incastro che si deforma, del quale potrebbe essere necessario conoscere lo spostamento di ogni punto,

funzione (continua) come detto di e del tempo. Le equazioni che nascono in questo problema sono

x

differenziali di tipo parziali, perché aumentano le variabili indipendenti.

Invece di conoscere gli spostamenti di tutto lo stelo, si potrebbero conoscere solo quelle di alcuni punti (5 in

figura) di controllo, discretizzando il problema; il modello che nasce però è semidiscreto, perché le funzioni

sono discrete nello spazio ma continue nel tempo. In dinamica, però, non basta definire la rigidezza dei tratti

che uniscono i punti di controllo, ma si deve dare anche una massa ai vari nodi, valutare la ripartizione della

massa. Se si considera solo un elemento che unisce la massa alla base si è nel caso di un oscillatore semplice,

un sistema ad un grado di libertà; la rappresentazione alternativa può essere data da un carrello di massa m

libero di muoversi lungo collegata con una molla di rigidezza ad un vincolo, e sulla massa può esistere una

x, k

generica forza orizzontale Noto il legame tra la forza, lo spostamento e la rigidezza (p se si rappresenta

p. = ku),

in un grafico la pendenza della retta che si crea corrisponde alla rigidezza della molla. Poiché la molla è

u-p,

la semplificazione dello stelo, la rigidezza della prima corrisponde alla rigidezza a flessione di una trave

incastrata: .

3

3EI/L

Martini Rudy 27

CALCOLO AUTOMATICO DELLE STRUTTURE

Più diffusa in ambito civile è la rappresentazione di un portale shear type,

con impalcato infinitamente rigido e colonne flessibili e prive di massa, che

offrono rigidezza.

Il caso dell’impalcato presenta inizialmente 6 gdl, 3 per ogni nodo non

vincolato; se si trascura la deformità assiale di tutti i tratti, si eliminano le

forze per le colonne, e la forza che coincide con la sua sorella

2, 5 4

orizzontale. Considerando l’impalcato

infinitamente rigido si trascurano anche i

momenti, ininfluenti, e quindi siamo ad un solo

gdl: nella statica il problema sarebbe già

definitivo, ma nella dinamica dobbiamo valutare

anche le masse per portare anche la dinamica ad

un solo gdl: si attribuisce quindi massa

all’impalcato e massa trascurabile ai piedritti.

Allo stesso modo di quanto fatto prima, è

possibile calcolare la rigidezza del portale.

6.1 D ISSIPATORI DI ENERGIA

Un oscillatore semplice in regime di oscillazione

libera ha uno spostamento nel tempo

rappresentato dal grafico, e continua con questo andamento all’infinito

perché non esiste un dissipatore di energia che lo rallenti. Nella realtà

però esistono sempre delle caratteristiche che dissipano energia, ed

essendo in numero spesso elevato, si trascurano tutti i fenomeni e si

considera un solo parametro, lo smorzamento viscoso equivalente, che

approssima tutti gli effetti. Lo smorzatore si può rappresentare a fianco

e

della molla, indicando lo smorzamento viscoso con che in un grafico

c,

velocità ( )-forza (p) rappresenta la pendenza della retta; lo

smorzamento si sviluppa quando c’è velocità, non quando c’è

uno spostamento.

La rappresentazione in ambito civile è pressoché analoga a

quella del carrello, con uno smorzatore che unisce il vincolo

alla massa.

I parametri che governano il problema dell’oscillatore

semplice sono la massa (inerzia), la rigidezza (elasticità) e lo

m k

smorzamento (dissipazione); l’equazione del moto che lega queste

c

quantità possono essere le più svariate, ma data la semplicità del caso

si impone l’equilibrio delle forze inserendo anche quella di inerzia.

) B * ) B * ) B Y B i j B *k e B *[ B Y B

f g h

In ogni istante la relazione di equilibrio deve essere rispettata; inoltre,

se non esiste siamo nel caso di un oscillatore semplice, altrimenti

p(t)

siamo nel regime di oscillazione forzata (il caso del sisma).

6.2 I L CASO SISMICO

28 Martini Rudy

CALCOLO AUTOMATICO DELLE STRUTTURE

Il sisma provoca uno spostamento del terreno, in seguito al quale si sviluppa l’oscillazione della massa di

u

g

una quantità lo spostamento totale risulta quindi Facendo ora l’equilibrio delle forze si

t

u: u (t) = u (t) + u(t).

g

ottiene la nuova equazione:

) B * ) B * ) B 0 i0 j B * j B * k e B * [ B 0

1

f g h

i j B *k e B *[ B i j B Y B i j B j B

Con questa nuova scrittura si può assumere , con che rappresenta l’accelerazione al

suolo, un dato che ci fornisce l’accelerogramma. Il caso iniziale ora lo si può assumere al caso del sisma.

6.3 S ’

OLUZIONE DELL OSCILLATORE SEMPLICE NON SMORZATO

i j B *[ B 0 j B *l B 0.

Studiamo ora il caso più semplice, un oscillatore semplice non smorzato, la cui equazione risulta essere

Mentre nel caso statico si dovevano imporre le condizioni al

contorno per posizionare le soluzioni del problema, nella cinematica i contorni spaziali sono stati discretizzati

e definiti in un punto con una massa; le funzioni sono solo continue nel tempo, e le condizioni al contorno

devono essere basate su questo. Con il tempo però si hanno delle limitazioni, perché non si possono imporre

un tempo iniziale e uno finale e studiare quello che succede in mezzo, perché a noi interessa la fine; quello che

e 0 0

succede nell’intervallo sono solo dei dati che in genere non ci interessano. Noi abbiamo solo le condizioni al

tempo iniziale, velocità e spostamento , e su questi si studia l’evoluzione dei risultati nel tempo. In

genere l’equazione si preferisce scrivere con il termine che viene chiamata pulsazione propria o pulsazione

2

ω

m n

o ), che caratterizza l’andamento

naturale (l

dell’oscillazione nel caso specifico. La soluzione

dell’equazione differenziale è:

m' *r s

Ne p

V ( 0

q

dove l’ampiezza indica lo

spostamento totale della massa, e dipende dalle condizioni

iniziali. Un’altra importante grandezza è il periodo naturale u

t

T, q

strettamente correlato con la pulsazione naturale, che vale , rappresenta il tempo che impiega

l’oscillatore a tornare alla stessa configurazione; allo stesso modo si ha la frequenza naturale, il reciproco del

q

) u

periodo, e vale .

6.4 S ’

i j B * k e B * [ B 0,

OLUZIONE DELL OSCILLATORE SEMPLICE SMORZATO

L’equazione ora diventa con ordine di derivazione 2 e quindi sono necessarie 2

j B * 2wl e B * l B 0

condizioni al contorno, e come prima lo spostamento e la velocità al tempo iniziale. Dividendo come prima

tutto per la massa si ottiene l’equazione semplificata dove assume lo

ω

m m n x

l w

o √no

stesso precedente valore di pulsazione naturale mentre è il rapporto di smorzamento, .

ξ w 1

Scrivere lo smorzamento in termine di fornisce una immediata valutazione della risposta dello smorzamento:

ξ

se è maggiore di 1 si ha se è inferiore a 1 si ha nel caso in cui si

sovrasmorzamento, sottosmorzamento;

ha lo smorzamento critico. Per l’ingegneria civile il sottosmorzamento è il più importante perché in genere si

hanno valori molto piccoli, circa poiché la soluzione dell’equazione differenziale è:

0.02.

e

N p |cqN p

B T DT l B * 0 k~Dl B T Vk~D l B •

+cq{ +cq{

g g g

q }

Dove rappresenta la pulsazione del sistema smorzato

l l€1 w;

ω D

g

e vale poiché è piccolo, i due sono

ξ ω

pressoché uguali. La vera importanza del rapporto di

smorzamento è in , dove all’aumentare del tempo, il

-ξωt

e

valore diminuisce. Nel grafico sono rappresentati gli

andamenti dell’oscillatore semplice e di quello

smorzato, dove si nota che l’ampiezza decresce.

Di seguito si mostrano in un grafico i diversi effetti degli

smorzamenti ottenuti con: (1); (2);

ξ ξ

= 0 = 0.01

(3); (4).

ξ ξ

= 0.02 = 0.05

Martini Rudy 29

CALCOLO AUTOMATICO DELLE STRUTTURE

I rapporti di smorzamento rappresentati sono in un range

tipico dell’ingegneria civile, e piccole variazioni mettono

in evidenza alti smorzamenti dell’oscillazione; nonostante

tutto è un parametro difficile da valutare, soprattutto se si

è in assenza di un dissipatore vero e proprio, dipendendo

dal materiale in cui è realizzata la struttura.

6.5 F UNZIONI PERIODICHE

Le azioni dinamiche possono essere periodiche, se si

possono scrivere in funzione del seno e del coseno, oppure

possono essere non periodiche, se non seguono leggi

analitiche come il sisma; per il primo caso abbiamo visto come si risolvono, il

secondo tipo di azioni si possono studiare come un’analisi di Fourier, cioè come

combinazione di più funzioni armoniche.

Se si ha una forzante armonica con uno smorzamento viscoso; si

p sen(ωt)

0

definisce pulsazione naturale della struttura ; mentre la pulsazione della

ω n

forzante è La soluzione dell’equazione differenziale non omogenea è data dalla somma della soluzione

ω.

dell’equazione omogenea e dell’integrale particolare; la soluzione della prima è stata trovata precedentemente:

B VT DT l B •

+cq {

• g . La soluzione particolare ha la forma di Col

φ).

u (t) u (t) = A sen (ωt –

p p

passare del tempo, la prima soluzione tende ad annullarsi, e sopravvive solo la soluzione dell’integrale

particolare: inizialmente, quando esistono entrambe le soluzione siamo nella fase transitoria, poi si passa nella

fase a regime. Per trovare la soluzione particolare si ipotizza che u

p

abbia la stessa pulsazione della forzante, ma l’ampiezza incognita;

si sostituisce nell’equazione del moto per trovare l’ampiezza e

u (t)

p

l’angolo di fase Nel grafico si nota la risposta totale ottenuta dalla

φ.

somma delle due soluzioni, e quando la risposta transitoria si annulla

si ottiene una risposta a regime con una legge uguale a quella della

forzante, che dura fin quando continua l’eccitazione data dalla

forzante stessa.

Nel numeratore dell’ampiezza del regime si trova il rapporto tra la

forzante e la rigidezza (p che rappresenta lo spostamento in

/k)

0

regime statico; il denominatore ha al suo interno il rapporto , in

ω/ω

n

particolare, se le due pulsazioni tendono ad essere uguali, il primo

termine si annulla, mentre il secondo tende a zero per colpa del

termine che è molto piccolo: se il denominatore tende a zero allora

ξ l’ampiezza tende ad infinito.

Bisogna dunque prestare

estrema attenzione al rapporto

,

tra le pulsazioni ω/ω

n

risonanza.

chiamato

Nel grafico si mettono a

confronto l’ampiezza di vibrazione con la risonanza per diversi valori

D

di smorzamento, e si osserva come si abbia un picco quando il rapporto

ha valore unitario. Si nota anche che con uno smorzamento elevato il picco

è meno accentuato.

6.6 S CHEMI DISCRETI A PIÙ GRADI DI LIBERTÀ

Valgono le stesse ipotesi avanzate per il sistema ad un solo gdl e le stesse soluzioni per

ogni gdl. In questo caso si realizza la matrice di rigidezza esattamente come è stato fatto

i j * [ 0

per l’analisi matriciale delle strutture: si impongono singoli spostamenti unitari e si

determinano le forze che intervengono. L’equazione che precedentemente

era composta da scalari, ora ha una matrice diagonale delle masse, un vettore degli

m u

spostamenti e una matrice delle rigidezze le dimensioni dipendono dal numero di gdl

k:

della struttura.

30 Martini Rudy

CALCOLO AUTOMATICO DELLE STRUTTURE

Mentre prima si aveva un solo gdl, si cercava come soluzione

quell’unica legge che descriveva quel gdl; ora che si hanno più gdl, si

cerca una legge che descriva allo stesso modo tutti i singoli

spostamenti.

Si ipotizza una forma della soluzione e sostituendola alla funzione

armonica si osserva se può effettivamente essere soluzione di quella funzione. Si ipotizza

dunque una soluzione data da un vettore di scalari (che non dipendono dal tempo) che

moltiplicano una funzione che dipende dal tempo:

In pratica si cerca una soluzione degli spostamenti con tutti i gdl che si muovono nel tempo

j

secondo la stessa legge oraria Avendo un’accelerazione si determina la derivata seconda di si

ƒ. B j B i j * [ 0:

g(t). g(t);

sostituisce dove si aveva e dove si aveva nell’equazione dell’oscillazione

g(t) u(t)

e quindi . Si ottiene dunque un’uguaglianza tra termini che non

dipendono dal tempo e funzioni che dipendono dal tempo, quindi il rapporto tra le funzioni deve essere costante

.

indipendentemente dal tempo; la costante viene chiamata 2

ω

Si prendono ora i due rapporti appena trovati e li si uguagliano alla costante :

2

ω

La prima equazione è un problema generalizzato agli autovalori, risolvibile ponendo uguale a zero il contenuto

della parentesi tonda, la seconda è la banale equazione del moto armonico di pulsazione Quello che emerge

ω.

dalla soluzione del problema agli autovalori è che si trovano un numero di Φ

autovettori quanti sono i gdl, esattamente come le funzioni una per ogni La

ω.

g,

soluzione degli spostamenti finali è data dalla somma dei prodotti tra e la

Φ

relativa Il generico moto lo si ottiene dunque dalla sovrapposizione delle varie

g.

forme modulate per le relative leggi orarie istante per istante.

Le forme modali contenute in sono i modi di vibrare, e quella appena

Φ

modale.

raccontata è l’analisi

Si studia ora un telaio a 3 piani (gdl) e si cerca

di valutare i modi di vibrare della struttura.

Avendo tutti gli elementi di e di è possibile

m k

ricavare e

Φ ω.

La contiene gli autovettori con le ampiezze,

Φ

cioè gli spostamenti, e sono le pulsazioni

ω

associate. Le deformazioni trovate sono i modi

di vibrare che ha la struttura per ogni

pulsazione la combinazione lineare di

ω;

questi 3 moti ci regala il più generale moto di

vibrare possibile della struttura. Si è passati da

un sistema a gdl accoppiati a sistemi ad un

3 3

solo gdl disaccoppiati.

Il generico moto dunque è dato dalla somma di ogni modo

amplificato per una certa legge oraria.

Le forme modali si ordinano in ordine di frequenza (e

pulsazione) crescente, dalla bassa frequenza all’alta

frequenza, come tipico per l’ing. Civile; in conseguenza

all’ordine delle frequenze si osserva che i modi di vibrare

della struttura hanno un incremento di cambio di direzione:

Martini Rudy 31

CALCOLO AUTOMATICO DELLE STRUTTURE

il primo modo mi muove tutto nella stessa

direzione, il secondo modo ha un cambiamento

di segno nella deformazione, il terzo ne ha 3.

Un sistema continuo si può assumere come un sistema a infiniti gdl, con la massa distribuita lungo la struttura

e non concentrata come il modello shear type, collegate da infinte molle. Si hanno quindi infinite forme modali

e infinite frequenze naturali; le forme modali questa volta non saranno rappresentati da vettori ma saranno

definiti da funzioni.

7 IL PROBLEMA ELASTODINAMICO

Si riprendono le stesse equazioni matriciali trovate nel caso della statica,

imponendo la compatibilità cinematica e le relative condizioni al contorno per

„ D ) † j

gli spostamenti, e la condizione di equilibrio dinamico (non più statico) dove

j

si aggiunge il termine inerziale: dove è la matrice di inerzia e

I

l’accelerazione; questo è il modo più semplice per passare dalla statica alla

dinamica generalizzando le forze di volume (forze peso e forze d’inerzia). In

) † j

alternativa le forze di inerzia, nonchè il prodotto tra la matrice di inerzia e

f

l’accelerazione, si indica con . Le condizioni al contorno, essendo un

problema dinamico, riguarda solo le condizioni iniziali di spostamento e

velocità.

7.1 T T

RAVE ALLA IMOSHENKO

Nel caso di una trave alla Timoshenko, e sono i gdl della sezione, e il

θ

u v

vettore indica lo spostamento di un generico punto della sezione in

d

funzione dei gdl della sezione. Il vettore nel piano presenta due

d j

spostamenti, e si costruisce con l’operatore Nel generico punto della

‡ ˆ

A. f

sezione si può assumere che nasca una forza di inerzia per la traslazione. Si cerca di risolvere quindi

questa equazione ricordando che è legato agli spostamenti tramite imponendo l’equivalenza energetica

A,

d u

32 Martini Rudy

CALCOLO AUTOMATICO DELLE STRUTTURE

tra il lavoro che si può computare considerando la trave

come continuo bidimensionale e quello considerando la

trave come un modelle monodimensionale con spostamenti

a sinistra dell’uguale si ha il lavoro del modello 1D,

u.

mentre a destra il continuo 2D. Sostituendo i termini e

b d

j

con le relazioni trovate, si termina con le forze di inerzia che

sono uguali ad un termine tra parentesi che moltiplica :

quel termine prende il nome di matrice di inerzia la

I.

matrice di inerzia presenta fuori dalla diagonale principale

degli elementi nulli perché rappresentano i momenti statici e nell’asse

–y

baricentrico sono nulli, mentre nella diagonale principale si ottiene per le

ρA

e quindi si ottiene

traslazioni mentre per le rotazioni 2 ρI.

= I

Ay

Da questo punto il poi si prosegue come abbiamo già visto, dove le forze

sono date dalla somma tra i carichi esterni e quelli d’inerzia. La matrice M

che viene indicata è la matrice delle masse consistenti perché è in accordo

con tutte le equazioni del problema e nasce da che racchiude le equazioni

N

di forma del problema.

7.2 T E -B

RAVE ALLA ULERO ERNOULLI

Se si considera solo l’aspetto flessionale

abbiamo un solo gdl, lo scalare questo

ρA;

scalare rappresenta la massa per unità di

lunghezza. Per 2 nodi si hanno quindi i 4

possibili spostamenti per le equazioni di

forma Hermitiane, con le rotazioni che in

θ

realtà non sono funzioni indipendenti ma

sono uguali alla derivata prima dello

spostamento Trovate le equazioni di forma

v.

di si trova la matrice d’inerzia calcolata

m

N

come segue e la matrice di rigidezza k.

La variabile tempo finisce nei parametri

nodali, con le equazioni di forma che

indicano come varia lo spostamento lungo l’asse Se si applica la definizione per trovare la matrice delle

x.

‰ C †C Š C ˆVC Š C iC Š

S S S

‹ ‹ ‹

masse consistenti si ottiene .

m

Si la trave si deformasse anche assialmente, poiché le deformazioni assiali e flessionali non sono legate tra

loro, è come risolvere due diversi problemi in uno solo. Non è richiesta una derivabilità elevata e quindi si

possono adottare le equazioni di forma lagrangiane e le matrici che si ottengono sono:

7.3 M ( )

ATRICE DELLE MASSE CONCENTRATE LUMPED

La matrice delle masse consistenti in genere è piena, come si vede dai casi precedenti, e quindi scomoda per

effettuare i calcoli o invertirla. Poiché il problema dinamico studia tanti problemi statici ogni istanti di tempo,

meglio avere una matrice delle masse diagonale o a banda per velocizzare i calcoli.

Per una trave alla Eulero-Bernoulli si hanno 4 gdl con funzioni di forma Hermitiane: per la traslazione verticale

si concentrano le masse nei nodi, così se la trave ha massa lo spostamento del nodo verticale avrà forze

m

per la rotazione si ragiona allo stesso modo, su ogni nodo si considera

mL/2;

mezza asta e l’inerzia rotazionale è nulla perché si approssima la mezza massa

dell’asta in un solo punto. È una soluzione molto approssimativa, ma accettabile.

In alternativa si può migliorare la definizione considerando la mezza asta come

un elemento rigido libera di ruotare attorno al nodo, e così si sviluppa un’inerzia

Martini Rudy 33

CALCOLO AUTOMATICO DELLE STRUTTURE

pari a quella di una barra rigida che ruota attorno ad un nodo. In alternativa esistono

anche algoritmi che migliorano l’approssimazione per rendere diagonale la matrice

delle forze consistenti; il più famoso è l’HRZ Questo metodo prende la

lunping.

matrice delle masse consistenti calcolata, azzera tutti i termini fuori diagonale,

trascurando in questo modo tutti gli effetti traslazionali legati a quegli elementi; poiché in questo modo viene

meno la conservazione della massa, si correggono i valori sulla diagonale per mantenere nelle traslazioni un

valore e di conseguenza le inerzie rotazionali si approssimano ulteriormente.

mL/2,

Abbiamo una semplice struttura e cerchiamo di risolverla con gli elementi finiti.

i j * [ Y B

Ottenute le matrici si può risolvere

il sistema dove

è il vettore che carichi, che non

p(t)

sono assegnati, ma possono essere

le reazioni vincolari.

Per imporre le condizioni al

contorno si cancellano righe e

colonne associate ai gdl vincolati.

Si risolve ora il problema delle

i j *[ 0,

oscillazioni libere con l’equazione

ad esempio con le

analisi modali, impostando il

problema agli autovalori sulle due

matrici.

Con una matrice ci si aspettano 4 modi

4x4

di vibrare e 4 pulsazioni naturali.

Si riportano nella figura le pulsazioni

naturali di ogni modo di vibrare e i valori

esatti tra parentesi; si può quindi calcolare

l’errore.

Sono riportate le pulsazioni in ordine di

frequenza, e si osserva anche che

all’aumentare della frequenza l’errore

cresce: con i due EF di esempio si cerca di

approssimare gli andamenti sempre più

complicati di sinusoidi con le funzioni

cubiche degli EF. Se si rappresenta male la

forma modale si stima male anche la

frequenza associata.

Aumentando il numero di elementi si

migliora la definizione della frequenza,

riducendo l’errore nelle prime frequenza, ma

aumentando il numero di nodi si aumenta

anche il numero di gdl, e quindi dei modi di

vibrare: si otterranno le prime frequenze

molto accurate, mentre le ultime saranno

sempre più inaccurate.

34 Martini Rudy

CALCOLO AUTOMATICO DELLE STRUTTURE

8 PROBLEMI SEMIDISCRETI

Siamo nel caso in cui lo spazio sia discretizzato e il tempo continuo, e si vuole risolvere la dipendenza dl tempo

con i metodi di integrazione nel tempo. Mentre in statica l’obiettivo era valutare la deformata al termine del

i j *[ Y

carico, nella dinamica si vuole osservare come varia la struttura nel tempo. Nell’equazione della dinamica

il vettore contiene elementi che sono funzione del tempo e si deve risolvere questa dipendenza.

u

Esistono diversi algoritmi per discretizzare il tempo, e quello che verrà affrontato sarà

quello alle differenze finite, i più diffusi nei software commerciali. Si deve valutare

come varia lo spostamento nel tempo, quindi si procede per passi successivi a partire

dalle condizioni iniziali al tempo zero. Si divide la retta del tempo in tratti di lunghezza

e noto cosa succede ad inizio passo si studia l’evoluzione alla fine dell’intervallo di

∆t,

tempo; le condizioni di fine passo diventano le condizioni di inizio passo successivo.

Dato l’intervallo di tempo totale che va da a si divide l’intervallo in sottointervalli

0 T,

, e , j

e si chiamano i punti estremi degli intervalli . Con il primo sottointervallo si

∆t

determinano , rispettivamente spostamento, velocità e accelerazione alla fine del primo tratto; questi

valori saranno imprecisi, affetti da un errore derivante da ipotesi semplificative. Le quantità appena trovate

saranno le condizioni iniziali del secondo tratto: l’errore del primo tratto si somma a quello che nasce nel

secondo tratto, e quindi lungo l’asse del tempo questo errore potrebbe falsificare completamente i risultati. Ci

si concentra ora su metodi che assumono i dati ritrovati solo nell’intervallo precedente; altri metodi

one step

raccolgono i dati ottenuti in più intervalli precedenti. Poiché se l’intervallo è ridotto lo è anche l’errore, si deve

studiare l’ampiezza di Per realizzare l’algoritmo che risponda alla nostra esigenza si devono rispettare 5

∆t.

condizioni:

L’algoritmo deve essere incondizionatamente stabile, cioè ogni piccola perturbazione ad un dato

• istante deve produrre perturbazioni limitate negli istanti successivi, indipendentemente dall’ampiezza

dell’intervallo ∆t.

L’accuratezza deve essere almeno del secondo ordine, per garantire un errore al generico passo non

• maggiore di una quantità , dove è una costante positiva.

2

C∆t C

Capacità di ridurre l’influenza sulla soluzione dei modi ad alta frequenza, cioè utilizzano le frequenze

• basse e introducono uno smorzamento sulle alte frequenze, in modo tale che si annullino lentamente

con il tempo quando perdono di precisione (raggio spettrale =1)

Avvio della procedura senza necessità di algoritmi speciali, cioè si sviluppa il processo di integrazione

• solo con le condizioni iniziali.

Onere computazionale ridotto.

8.1 M ’

ETODO DELL ACCELERAZIONE LINEARE

È un tipo di algoritmo alle differenze finite, in cui si impone che l’accelerazione tra i diversi intervalli abbia

{

w ∆{

un andamento lineare. Si chiama un’ascissa temporale adimensionale, con che va da a per indicare

ξ 0 1

M w Ž • w M * • w M

• •|

l’inizio e il fine passo; si assume ora che l’accelerazione segua la generica legge

Con e Dall’accelerazione si integra rispetto al tempo per ottenere la velocità e lo

ξ ξ.

h (ξ) = 1 – h (ξ) =

1 2

spostamento al tempo generico: e . Per valutare

velocità e spostamento a fine passo si deve solo sostituire nell’equazione generica del tratto ξ = 1:

e . L’equilibrio dinamico deve essere valido anche a fine

passo, quindi si valuta, all’istante : .

t n+1

Si sostituisce nell’equazione differenziale: poiché lo spostamento a fine tratto contiene al suo interno tutti

u

n+1 ‘

termini ad inizio passo tranne uno che riguarda l’accelerazione a fine tratto, si raccolgono in base al punto di

rappresentazione: tutti i fattori che moltiplicano si racchiudono nel termine , mentre tutti gli altri termini

a n+1

•|

si indicano con .

Ŷ •| ‘

Il termine è composto da tutti elementi riferiti al tempo iniziale

del tratto, quindi noti, contiene grandezze note, quindi si inverte e

si trova così l’accelerazione a fine tratto ; a questo punto si

a

n+1

possono ricavare lo spostamento e la velocità di fine tratto.

Questo metodo però va in conflitto con la quarta condizione scritta

precedentemente per l’algoritmo: per ricavare l’accelerazione a fine

Martini Rudy 35

CALCOLO AUTOMATICO DELLE STRUTTURE

tratto necessita dell’accelerazione a inizio tratto, ma questo non è una condizione iniziale come la velocità e lo

spostamento. Si inserisce quindi un’accelerazione iniziale fittizia , cioè risolvendo la

condizione di equilibrio all’istante iniziale, ma non è un dato fisico. Questo algoritmo ad inizio tratto presenta

delle imperfezioni dovute all’assunzione di un’accelerazione iniziale non precisa.

8.2 M N

ETODO DI EWMARK

È una variante del metodo dell’accelerazione lineare. Nella valutazione dello spostamento a fine tratto, invece

di fare la media tra l’accelerazione nell’istante iniziale e nell’istante finale, inserisce il parametro che può

β

variare a seconda del metodo utilizzato; questa soluzione ha migliorato la risposta della soluzione.

8.3 M ETODO ΑLFA

Il metodo ha molte funzionalità, con si ha la regola del trapezio, mentre con valori minori si aumenta

α α = 0

la dissipazione alle alte frequenze, l’unico metodo capace di operare su questa linea.

8.4 R AGGIO SPETTRALE

È possibile trovare a volte grafici sui raggi spettrali

tra i vari metodi. Il raggio spettrale varia tra e e

0 1,

per alcuni metodi (indipendentemente dalla

frequenza) vale sempre 1, cioè non dissipa mai le

frequenze; altri metodi giungono a zero, e vuol dire

che dissipano completamente gli oscillatori. Il

secondo metodo integra completamente le basse

frequenze, mentre dissipa completamente le alte

frequenze, quindi nota la nostra discretizzazione

assumiamo come accettabile fino alla frequenza .

ω A

Si deve quindi far in modo di inserire tutte le

frequenze “buone” all’interno della frequenza ,

’ l ∆B

ω A

#

giocando sull’intervallo si impone

’ ∆t:

dove è la nostra ultima frequenza accettabile, e si

ricava così ∆t.

36 Martini Rudy

CALCOLO AUTOMATICO DELLE STRUTTURE

8.5 E RRORE SUL GENERICO PASSO

È un altro elemento sulla valutazione della bontà. Nel grafico

a fianco, dove si confrontano l’errore e la frequenza che

viene integrata, il metodo migliore è quello con la linea più

bassa: si osserva che, i metodi che hanno una migliore

dissipazione delle alte frequenze commettono il maggior

errore tra i vari passi, e viceversa il metodo che non dissipa

le frequenze genera il minor errore.

8.6 E ’

FFETTO DELL INSTABILITÀ

Si prende da esempio un oscillatore semplice forzato ad 1 gdl, e si risolve con il metodo delle differenze

centrali; non è incondizionatamente stabile perché, calcolato l’intervallo soglia se si prende un

∆t = 0.0796,

intervallo minore si ha stabilità, altrimenti si ha instabilità. Si confrontano poi graficamente i due andamenti

ottenuti con diversi ∆t.

Nel primo grafico gli intervalli sono al di sotto della soglia e la definizione è pressochè simile; nel secondo

grafico si è preso un di poco superiore alla soglia, e quello che salta fuori è un andamento completamente

∆t

sfasato rispetto quello più reale.

Poiché è complicato calcolare l’intervallo soglia, è bene utilizzare dei metodi incondizionatamente stabili.

Nel caso di dinamica non lineare le cose si complicano: non sempre i risultati ottenuti in dinamica lineare si

estendono tali e quali al caso non lineare. Il metodo del trapezio che è completamente stabile nella dinamica

lineare, si instabilizza nella dinamica non lineare; l’instabilità si nota maggiormente negli sforzi, che si

ottengono con la derivata degli spostamenti che amplificati gli errori, mentre dagli spostamenti sembra ancora

affidabile.

9 STRUTTURE PIANE (PLATE)

La struttura piana è un corpo tridimensionale caratterizzato da uno spessore di dimensione molto più piccola

rispetto alle altre due e con la superficie media piana. Mentre la trave nel piano ha due comportamenti

fondamentali, assiale e flesso-tagliante, anche i plate hanno un comportamento membranale (carichi paralleli

al piano medio distribuiti uniformemente sullo spessore) e flessionale (carichi ortogonali alla superficie media

di riferimento). Come per le travi, anche per le piastre si ha il caso deformabile a taglio e quello non

deformabile a taglio.

Martini Rudy 37

CALCOLO AUTOMATICO DELLE STRUTTURE

Si userà ora il termine plate per indicare il generico elemento piano, perché ci si può confondere nella

nomenclatura di elementi con comportamento membranale che vengono chiamate lastre, mentre quelle con

comportamento flessionale vengono chiamate piastre.

9.1 P LATE SOGGETTI A SFORZO PIANO

Generalmente si considerano gli assi appartenenti al piano di riferimento

x, y

e l’asse ortogonale ad esso. Le ipotesi che definiscono lo stato piano di

z

tensione con elasticità piana sono la forma, che deve essere piana con un

piano di simmetria (la superficie media); tutti i carichi, compresi i vincoli,

devono essere simmetrici rispetto al piano medio; lo spessore deve essere

molto più piccolo delle altre dimensioni; gli spostamenti nel piano , , le

u u

x y

deformazioni e le tensioni sono uniformi nello spessore; tutte le

componenti di sforzo legate alla direzione ortogonale al piano

(σ , , ) sono trascurabili; inoltre per semplicità si assume il

τ τ

zz xz yz

plate omogeneo. Tutte le azioni agenti sono considerate nella

superficie media.

Gli spostamenti e le deformazioni che esistono in questo plate

, (2

sono quelli che si sviluppano nel piano medio: u u

x y

componenti per gli spostamenti), , , (3 componenti per le

ε ε γ

xx yy xy

deformazioni, uniformi sullo spessore). Allo stesso modo le tensioni e

le forze membranali interne che nascono sono , , e , , .

σ σ τ N N T

xx yy xy x y xy

Tutte le componenti appena elencate possono essere scritte in forma

vettoriale, e possono quindi essere legate tra loro tramite una notazione

matriciale:

Nella relazione si utilizza lo spessore

Ce

s = h

nella matrice perché le forze sono integrate

C N

nello spessore; se avessimo le tensioni normali σ

non comparirebbe Le condizioni al contorno

h.

che definiscono il problema possono essere

anche questa volta sugli sforzi o sugli

spostamenti: la frontiera del plate viene

Γ

suddiviso in una parte dove è bloccato lo

Γ

u

spostamento, e una parte dove sono bloccate le

Γ

t

forze; tutto il bordo deve essere vincolato,quindi

Γ Γ Γ

= +

u t

Assegnata la geometria, la proprietà del materiale, lo spessore, i carichi applicati, le condizioni al contorno

(forze e spostamenti), risolvendo il problema dell’elasticità piana si ottengono gli spostamenti, le deformazioni

e gli sforzi che si sviluppano nel piano.

Esistono dei casi che permettono di arrivare ad una soluzione analitica per risolvere il problema, ma è molto

complicato e quindi si preferiscono adottare metodi numerici come quello agli EF.

9.2 D EF

ISCRETIZZAZIONE DI PLATE AGLI

Con le travi il metodo di risoluzione da adottare è basato sul grado di vincolamento esterno, cioè in base alla

struttura isostatica o iperstatica, ma se i vincoli non sono troppi si può comunque utilizzare il metodo

dell’equilibrio. Nelle piastre invece ci sono 2 equazioni di equilibrio con 3 sforzi (in questo caso) ma in genere

il problema delle piastre nasce iperstatico (detto internamente iperstatico).

38 Martini Rudy

CALCOLO AUTOMATICO DELLE STRUTTURE

Il FEM è basato su 6 passi che, nonostante sia cambiato il problema, questi sono sempre validi: si suddivide il

dominio in più elementi (discretizzazione), per ogni elemento si ricavano le equazioni governanti (che legano

spostamenti nodali con forze nodali), si assemblano le equazioni per formare il sistema risolvente della

struttura, si impongono le condizioni al contorno, si risolve il problema ricavando le incognite (spostamenti

nodali), si ricavano gli sforzi (post processing).

Per prima cosa di deve creare la mesh,

discretizzando il dominio. Ogni elemento è un

sottodominio di forma triangolare o

quadrangolare, in genere le forme più diffuse

nei programmi di calcolo; la loro distribuzione

è casuale, ma devono rispettare delle regole:

l’unione di tutti gli elementi devono dare il

dominio di partenza (salvo la frontiera, che se è curva è impossibile rispettarla), gli elementi non devono mai

sovrapporsi.

Lo spostamento lo si ottiene rappresentandolo

u

con delle equazioni di forma raccolte nella

matrice modulate dagli spostamenti dei nodi

N

raccolti nel vettore q:

. Il numero di

equazioni di forma corrisponde al numero dei nodi.

Il vettore delle deformazioni lo si ottiene

e

applicando la matrice della compatibilità

alla matrice delle funzioni di forma

D N,

modulate sugli spostamenti nodali. La

matrice che si forma dalle altre due è

B

schematizzabile come sottomatrici formate da 3 righe e 2 colonne, che si ripetono per il numero di nodi presenti

per ogni singolo elemento; le colonne di ogni sottomatrice sono applicate in ordine a , , …

N N N

1 2 3

9.3 E F B

LEMENTI INITI IDIMENSIONALI

Gli elementi triangolari, oltre ad essere più semplici per avere meno nodi, sono maggiormente indicati nel caso

di forme complicate perché si adeguano a riempire ogni area.

Quando si realizza la mesh in genere si cerca di approssimare al meglio la geometria, ma è bene approfondire

la discretizzazione in quelle zone dove si ha un alto gradiente di sforzo, cioè dove si ha una grande variazione

dello sforzo in una breve distanza.

Le equazioni di forma di un triangolo a tre nodi hanno la stessa

definizione che avevano nelle travi: valgono uno nel nodo ad esso

associato e zero negli altri nodi; in un triangolo a 3 nodi avremo 3

equazioni di forma. Le funzioni di forma sono lineari perché per 3

punti passa solo un piano, e ognuna descrive l’equazione di un

piano, e la base polinomiale delle funzioni è (1 x y):

u = a + b x+c y

x 1 1 1

u = a + b x+c y

y 2 2 2

sono funzioni con 3 incognite, e necessitano 3 parametri per

a, b, c,

determinarle, i 3 nodi.

Lo spostamento che si ottiene è un piano passante per 3 punti, in particolare dalla moltiplicazione di:

, dove , , sono i 3 valori nodali.

N a + N a + N a a a a

1 1 2 2 3 3 1 2 3

Per come sono costruite le funzioni di forma, lo spostamento su ogni lato dipende unicamente dagli spostamenti

dei nodi di estremità del lato.

Martini Rudy 39

CALCOLO AUTOMATICO DELLE STRUTTURE

Successivamente, definito lo spostamento di ogni

singolo elemento, vi è l’assemblaggio, che si basa sui

principi di compatibilità e equilibrio: il primo comporta

in identificare gli spostamenti nodali dei nodi condivisi

da più elementi, ma poiché gli spostamenti lungo un lato

dell’elemento dipende solo dagli spostamenti dei nodi di

estremità del lato, associare lo stesso nodo significa

anche associare lo stesso lato. Questo ci garantisce una

funzione di spostamento continua del dominio; il requisito di compatibilità è gestito dall’operatore di continuità

che ci dice che dobbiamo fare le derivate prime dello spostamento per poter definire le deformazioni; basta

ricostruire uno spostamento derivabile, continua, di conseguenza è accettabile ottenere un dominio deformato

“spigoloso” perché tra i vari elementi è rispettata la continuità.

Un elemento triangolare a 3 nodi è quindi

caratterizzato dall’avere una deformazione costante

con uno spostamento lineare; è la base di tutti gli EF

bidimensionali, e le sue prestazioni sono povere.

Nell’esempio si ha un problema con una mensola

modellata come se fosse un oggetto bidimensionale da

EF triangolari a 3 nodi. La mensola è bloccata ad un

estremità da un carrello e un appoggio, e dall’altra

parte si hanno due forze che generano una coppia. La

lungo l’asse deve essere nullo, ma quello che si

σ

x

ottiene è un andamento alternato da positivo a

negativo, che mediato dà 0.

Per gli elementi bidimensionali, se si usano pochi elementi e pochi nodi la struttura risponde più rigidamente.

Con gli EF triangolari a 6 nodi si migliora la rappresentazione

senza cambiare la mesh: si aggiunge un nodo nella mezzeria

di ogni lato del triangolo e ora le funzioni di forma aumentano

di grado potendosi appoggiare su 6 nodi, nonché 6 indici di

forma. La base polinomiale da cui sono composte le funzioni

di forma per elementi triangolari si ricava dal triangolo di

Pascal.

Un’altra forma molto diffusa è l’elemento quadrangolare a 4 nodi: si hanno 4 funzioni di forma con valore

unitario nel relativo nodo e nulla negli altri nodi.

La base polinomiale delle funzioni di forma per 4 nodi presenta un monomio

in più: è un monomio bilineare che conferisce una certa curvatura

(1 x y xy);

all’elemento.

Ha un comportamento migliore del 3 nodi, con un nodo in più garantisce una

risposta più ricca. La la si ottiene come derivata dello spostamento in

ε u x:

x

per il 3 nodi si otteneva una costante, in questo caso si ottiene una costante e

un termine lineare in La deformazione non è più costante ma lineare lungo

y.

40 Martini Rudy

CALCOLO AUTOMATICO DELLE STRUTTURE

l’altra direzione. La deformazione in blu, lungo è lineare al variare di ma la stessa deformazione si

x, y,

mantiene per tutta la x.

Anche questa volta si vuole dimensionare una mensola rappresentata non come una trave ma come un oggetto

bidimensionale, incastrata a sinistra e sollecitata a taglio a destra. Il momento flettente è chiaramente un

triangolo nullo nell’estremo libero, quindi ci si aspetta un diagramma a farfalla in , nulla nell’estremo e

ε

x

sempre crescente spostandosi verso il vincolo: in realtà si ottiene una farfalla, ma costante; per ottenere una

migliore definizione della farfalla si dovrebbe migliorare la mesh.

Si pone ora l’attenzione ad un elemento piano soggetto a pura

flessione: le due facce laterali ruotano e le altre si inflettono per

mantenere gli angoli interni a 90°, ma un lato curvo non è più

lineare. Per un EF a 4 nodi invece si comporta diversamente, si

deforma senza la flessione degli altri due lati, e quindi

deformando gli angoli interni. Dal punto di vista meccanico, la

variazione di angolo rappresenta una deformazione tagliante,

quindi lo sviluppo azioni che in realtà non devono esserci (nel caso di sola flessione). La povertà del modello

obbliga quindi l’attivazione dello scorrimento (parassita) per rimediare alle mancanze descrittive alle quali il

modello è limitato; anche in questo caso, con un modello povero, si ha ancora un modello più rigido, con

l’energia interna che dovrebbe essere distribuita tra sforzi assiali e flessionali, ma invece risultano anche delle

tensioni taglianti.

Nella figura a fianco si mostrano gli 8 modi deformativi (3 sono

spostamenti rigidi) a cui possono essere soggetti gli elementi

quadrangolari a 4 nodi. Queste figure si ricavano come autovettori

della matrice di rigidezza dell’elemento a 4 nodi.

Anche negli elementi quadrangolari è possibile migliorare la

definizione aumentando il grado dei lati con l’inserimento di nodi

centrali, anche centrali alla figura. Si dividono infatti in 2 grandi

categorie: gli elementi serendipity hanno i nodi solo lungo i lati, gli

elementi lagrangiani hanno nodi anche all’interno del quadrangolo, creando delle griglie.

9.4 T RANSIZIONE TRA GLI ELEMENTI

La necessità di avere una migliore lettura dei risultati in alcune zone del dominio rispetto ad altre può portare

ad utilizzare elementi più ricchi mescolati ad elementi più poveri. Il passaggio tra questi diversi elementi deve

essere fatto accuratamente, evitando di violare la compatibilità degli spostamenti: nella figura si evidenziano

dei possibili errori di meshatura. Nelle immagini vi è chiaramente un errore nel non far coincidere i nodi

a, b, c

dei vari elementi, e quindi viene meno la continuità della deformazione. Nell’immagine invece c’è la

d

corrispondenza tra i nodi, ma nei rettangoli superiori il lato degli elementi si deforma linearmente, mentre il

Martini Rudy 41

CALCOLO AUTOMATICO DELLE STRUTTURE

lato del rettangolo inferiore si deforma con una legge

parabolica; lo stesso accade anche nell’immagine dove un

e,

rettangolo si deforma con legge cubica e l’altro con legge

quadratica: Nei nodi si ottiene lo stesso spostamento, ma le

linee che uniscono i vari nodi hanno andamento diverso e si

verifica un buco, una sovrapposizione, comunque una non

continuità della deformazione. Nell’immagine è meno

f

visibile, ma il problema che si riscontra è lo stesso delle

immagini ed una corrispondenza tra i nodi ma non tra i

d e,

lati degli elementi. Alcuni codici superano i problemi che

possono nascere nella composizione della mesh utilizzando

elementi di transizione caratterizzati da alcuni lati che si

deformano con una legge (ad esempio lineare) e altri lati che si deformano con

un’altra legge più ricca (ad esempio parabolica).

Aumentare il numero di EF per migliorare la definizione dei risultati è una buona

scelta, così come lo era per le travi, ma negli elementi bidimensionali il costo

computazionale è più elevato, e quindi si deve valutare se utilizzare più EF semplici o meno EF ma che

garantiscano una miglior definizione. Inoltre si possono raffittire dove si ha un alto gradiente di deformazione

e mantenere una mesh più rada dove l’informazione è meno influente.

9.5 E LEMENTI ISOPARAMETRICI

Realizzata la mesh, come si studiano le equazioni di forma di ogni elemento, essendo tutti diversi tra loro?

Generalmente non si calcolano tutte le equazioni di forma di tutti gli EF della mesh, molto oneroso dal punto

di vista computazionale e dispersivo. Si utilizza quindi un approccio chiamato isoparametrico.

Per ogni tipologia di elemento (e.g. triangolare 3 nodi, quadrangolare 4 nodi…) presente nella mesh si crea un

elemento definito in maniera standard: adottate le coordinate locali il quadrato a 4 nodi ha lato 2,

ξ, η,

master

e l’origine degli assi coincide con il baricentro in modo da avere i nodi a coordinate +1 o -1; si scrivono quindi

le equazioni di forma di questo elemento master valido per tutti gli elementi della stesa tipologia. Ma poiché

si hanno tanti elementi reali distorti rispetto a quello master, le equazioni di forma del generico elemento reale

si ottengono con una trasformazione di coordinate, dal sistema locale a quello globale. Nella logica

isoparametrica, il passaggio di coordinate viene effettuato utilizzando semplicemente le funzioni di forma:

guardando la figura, si deve associare

il nodo dell’elemento master al

i-esimo

corrispondente dell’elemento

i-esimo

reale, e quindi si deve definire

un’apposita trasformazione che riporti

i nodi dal sistema locale a quello

globale in corrispondenza dei rispettivi

nodi. Si assume quindi, per il generico

punto:

Dove e rappresentano le coordinate del sistema globale valutate nel riferimento locale, e le coordinate

ξ η

x y

nel sistema locale, e le coordinate dei nodi degli elementi reali nel sistema globale; la funzione che unisce

X Y

i due sistemi sono esattamente le funzioni di forma, calcolate inizialmente. Si entra con e si valutano si

N,

ξ η

effettua il prodotto con le coordinate dei nodi e si ottengono le corrispondenti e Il termine isoparametrico

x y.

è utilizzato perché la trasformazione di coordinate è gestita dalle stesso numero di parametri a cui è gestito lo

spostamento, derivante dall’utilizzo delle equazioni di forma.

Dal punto di vista operativo l’utilizzo di elementi isoparametrici è molto pratico: utilizzando le stesse equazioni

di forma dello spostamento anche per la trasformazione di coordinate, per un triangolo isoparametrico a 3 nodi

la trasformazione i coordinate restituisce sempre elementi lineari; per un triangolo a 6 nodi, le equazioni di

forma sono quadratiche, e quindi la trasformazione di coordinate quadratica permette di trasformare un lato

rettilineo in un lato parabolico, quindi migliora la definizione di contorni curvi.

Lo stesso ragionamento ovviamente vale anche per gli elementi quadrangolari.

42 Martini Rudy

CALCOLO AUTOMATICO DELLE STRUTTURE

Per calcolare la matrice di rigidezza si devono prima calcolare le deformazioni, quindi ma matrice che

B,

moltiplicata per i gradi di libertà dello spostamento dà appunto la deformazione: all’interno della matrice

appaiono le derivate delle funzioni di forma rispetto e (le coordinate globali).

x y

Nell’approccio isoparametrico le funzioni di forma sono scritte secondo le coordinate locali, quindi la generica

derivata appare come:

FQ FQ F FQ F” FQ FQ F FQ F”

* *

“ “ “ “ “ “

Fc F Fc F” Fc F• F F• F” F•

In forma compatta queste espressioni si possono scrivere come:

FQ F F” FQ

FQ FQ

“ “

“ “

Fc Fc Fc Fc

˜

– — – —– — – — – —

F F +

FQ FQ

FQ F F” FQ

“ “

“ “

F” F”

F• F•

F• F•

Poiché i termini incogniti sono le derivate in e si gira il problema, con la matrice Jacobiana contenente le

J

x y

derivate delle coordinate globali rispetto le locali. I termini all’interno della matrice possono ora essere

B

determinati in funzione di e

x y.

Per calcolare la matrice di rigidezza basta effettuare l’integrale sull’area dell’elemento di:

In realtà l’integrale si può effettuare sull’elemento genitore, che avendo lo stesso dominio (e non diverso per

ogni elemento della mesh), risulta più veloce: si riporta l’integrazione sull’elemento genitore con la

trasformazione di coordinate.

E quindi la matrice di rigidezza si calcola con l’espressione semplificativa dell’integrale calcolato

sull’elemento master:

Come ultimo passaggio, poiché questi integrali non restituiscono la soluzione esatta (sono limiti derivanti dai

codici di calcolo) ma numerica, derivante da formule di quadratura, il calcolo dell’integrale è approssimato a

e .

due sommatorie sulla funzione, corretta da alcuni pesi w

w

i j

Alcune tabelle forniscono informazioni su quali punti e valutare la funzione e quali pesi adottare per

ξ η

i j

migliorare la soluzione. Quello più utilizzato è il metodo di Gauss, con i cosiddetti punti di Gauss: sono i punti

da utilizzare nella funzione da valutare nella sommatoria, e ai punti sono associati i pesi. Il risultato che deriva

dalle sommatorie è un’approssimazione del risultato esatto dell’integrale; il risultato però è esatto se la

funzione integranda è polinomiale, ma solo se si utilizza un numero opportuno di punti: in un contesto 1D con

punti di integrazione (di Gauss) si riesce ad integrare esattamente un polinomio di grado (con un punto

n 2n – 1

Martini Rudy 43

CALCOLO AUTOMATICO DELLE STRUTTURE

di Gauss solo funzioni lineari, 2 punti per funzioni cubiche…). Poiché tutta la funzione integranda è governata

dalle funzioni di forma, quindi dal numero dei nodi, in base al numero dei nodi si ha il grado della funzione

integranda e di conseguenza si sceglie il numero di punti di Gauss per ottenere la soluzione esatta.

Nella figura si evidenziano le collocazione dei punti di Gauss in base al loro numero, e la dimensione dei

puntini è proporzionale al peso che gli si attribuisce.

9.6 D ISTORSIONE DI GEOMETRIA

Nella stesura della mesh possono verificarsi elementi distorti in partenza (non a seguito della deformazione),

ma bisogna prestare comunque attenzione alla loro forma: maggiore è la distorsione e maggiore è il

deterioramento della prestazione dell’elemento. Non esiste una vera regola, ma si deve utilizzare l’esperienza

e il buon senso, anche se alcuni software hanno un sistema di controllo della mesh per verificare la presenza

di elementi ritenuti distorti.

Un controllo fondamentale per la distorsione dell’elemento riguarda la positività del determinante della

lo Jacobiano si utilizza con la sua inversa per il passaggio di coordinate tra i due sdr, ma

matrice Jacobiana:

anche come determinante nella valutazione della matrice di rigidezza. Nel passaggio dall’integrale calcolato

sull’elemento reale e quello calcolato sull’elemento master si può estrarre il legame che li lega:

dxdy = det(J) dξdη

dove a sinistra si ha l’area reale, a destra l’area genitore, e il determinante indica come varia nel passaggio da

una all’altra; non può assumere valori negativi (non può esistere un’area negativa) o nulli, ma solo

det(J)

positivi.

Nella figura si mostra un elemento

quadrangolare a 4 nodi, già abbastanza

deformato, al quale viene applicato lo

spostamento del solo nodo 4 verso destra; nelle

prime 2 immagini si ha comunque un elemento

accettabile, in quella centrale il quadrangolo assume la forma di un triangolo, ed è già una condizione limite

da evitare; oltre è doveroso evitare.

10 PIASTRE (PLATE) INFLESSE

Si tratta di elementi bidimensionali soggetti a carichi ortogonali alla superficie media, chiamato bending;

geometricamente è tutto uguale a quanto visto per gli altri plate. Come per le travi, anche i plate hanno un caso

in cui è deformabile a taglio, se lo spessore è consistente, e un caso in cui è trascurabile, se lo è anche lo

spessore. I plate deformabili a taglio sono detti alla Reissner-Mindlin, quelli non deformabili a taglio sono detti

alla Kirchhoff.

10.1 P IASTRE SPESSE

Si immagina che per ogni punto della superficie media sia rappresentata una

fibra, che a sua volta simboleggia la codimensione del modello, ortogonale

alla superficie media e di lunghezza uguale allo spessore.

La cinematica nella trave alla Timoshenko presupponeva che le sezioni

dovessero mantenersi piane ma potevano ruotare rispetto l’asse; nei plate,

di conseguenza, la fibra (la codimensione) deve mantenersi lineare, ma può

ruotare rispetto alla superficie media. I gdl per descrivere lo spostamento

della fibra sono 3: rotazioni lungo gli assi e e una traslazione in direzione il vettore indica il vettore

x y z: d

spostamento di un generico punto nella fibra.

Le componenti di deformazione questa volta sono 5, dati da 3 curvature e 2 spostamenti, ai quali corrispondono

3 componenti di sforzo generalizzato, 3 momenti e 2 tagli.

44 Martini Rudy

CALCOLO AUTOMATICO DELLE STRUTTURE

A livello locale, le tensioni tridimensionali

associate ad un momento provocano una

M x

rotazione della fibra, e quindi un andamento a

farfalla delle ; allo stesso modo avviene in

σ x .

direzione e nel piano per le σ

y, xy

Analogamente, i tagli nascono dalle azioni

trasversali e .

σ σ

xz yz

Le equazioni di compatibilità, equilibrio e legame

che governano il problema hanno la stessa scrittura,

ma si devono ridefinire i vettori e le matrici.

Anche in questo caso, come nella trave, la

curvatura è figlia della derivata della rotazione, lo

scorrimento deriva dalla somma tra la rotazione e

la derivata dello spostamento trasversale.

Ipotizzando un comportamento omogeneo del plate

si ha la scomposizione tra l’azione assiale e quella

tagliante.

Le condizioni al contorno sono simili a quelle che

si possono avere sulle travi; si indicando con i

pedici e le rispettive azioni normali o taglianti.

n s

Nelle piastre deformabili a taglio si hanno 2 tipi di appoggi semplici: blocca la traslazione ma lascia libere

SS1

le rotazioni (i momenti sono nulli); impedisce la traslazione e la rotazione normale, ma lascia libera la

SS2

rotazione tangente.

Nelle piastre, le rotazioni prendono il nome dall’asse su cui giace il vettore rotazione, mentre i momenti

prendono il nome dall’asse ortogonale. Rispetto alla dicitura utilizzata per le travi, la convenzione dei momenti

è invertita.

10.2 P IASTRE SOTTILI

Si impone che la fibra rimanga rettilinea e ortogonale alla superficie di riferimento, quindi passando dalla

piastra spessa a quella sottile le deformazioni tangenziali si annullano, e questo ci fornisce delle equazioni

dalle quali si ricavano le rotazioni in funzione della traslazione verticale.

Martini Rudy 45

CALCOLO AUTOMATICO DELLE STRUTTURE

1

Solo la traslazione verticale è quindi la variabile

indipendente, e quindi si semplifica la scrittura.

Come accadeva per la trave, la matrice di vincolo A

presenta al suo interno delle derivate, e quindi

aumenta l’ordine di derivazione. Le componenti di

deformazione generalizzata sono le stesse ottenute

per il caso di piastra spessa, ma senza gli

scorrimenti. Nelle equazioni di compatibilità

appaiono le derivate seconde, come per le travi.

Anche qui c’è indeformabilità tagliante, ma

comunque c’è (per equilibrio) anche se non si ricava dagli spostamenti.

Le condizioni al contorno sono simili a prima, a meno di qualche termine che

ora è indicato con la sua derivazione, e l’appoggio che in questo caso non

SS1

è più possibile: con lo spostamento si ha la rotazione anch’essa nulla

w = 0,

perché deriva dallo spostamento, ma questa condizione libera entrambe le

rotazioni.

Le funzioni di forma per le piastre sottili devono rispettare dei criteri di

compatibilità dettati dall’ordine di derivazione che compare nell’operatore di

compatibilità esattamente come per le travi alla Eulero-Bernoulli. Per

D,

poter calcolare le deformazioni si devono calcolare le derivate

seconde dello spostamento, quindi si devono garantire delle

equazioni di forma che permettano di fare le derivate seconde,

non solo sul singolo elemento, ma sull’assemblaggio

(continue nella forma normale e nella derivata prima). Anche

nelle piastre si hanno dunque le funzioni 2D delle Hermitiane.

Questo modello però non è però molto funzionale perché non

tiene conto del taglio (anche se in seguito si aumenta lo

spessore) e si devono trovare equazioni di forma complicate.

Meglio lavorare con modelli di plate spessi, validi anche nel

caso di spessori sottili, che tiene anche conto del taglio.

Ogni nodo ha 3 gdl, che

per un quadrangolo significa in totale 12 gdl; tutti gli operatori hanno

derivate prime, niente di complicato, ma il problema dello shear locking

si sviluppa anche qui: se un elemento per piastre spesse non è progettato

bene può presentare un anomalo irrigidimento quando si riduce lo

spessore.

Per rimediare a questo problema si possono utilizzare metodi diversi da

quello agli spostamenti.

Nel comportamento membranale del plate, il generico punto aveva a 2 gdl (le due

traslazioni nel piano medio), mentre nel comportamento flessionale i gdl sono 3 (2

rotazioni e la traslazione ortogonale): per una piastra a comportamento misto (shell), i

gdl si sommano e risultano quindi 5. In realtà esiste un sesto gdl, il drilling, che di per

se non influisce nei risultati, ma è da tenere in conto quando si hanno 2 elementi shell

che lavorano insieme ma non sono complanari; nei software si trova il gdl drilling per rimediare a questo

effetto.

46 Martini Rudy

CALCOLO AUTOMATICO DELLE STRUTTURE

11 CONVERGENZA

Come visto in un esempio in precedenza, al rinfittire della mesh

i risultati che si ottengono convergono verso la soluzione: il

requisito della convergenza è fondamentale per il FEM, perché

ci fornisce un suggerimento circa la direzione da prendere per

migliorare i risultati. Il FEM converge verso la soluzione esatta

ottenibile con calcoli matematici più o meno approssimati

secondo le ipotesi. Il problema nasce quando si sbaglia a

descrivere inizialmente il problema fisico con il FEM; a quel

punto il metodo converge verso una soluzione, ma non è quella

esatta del reale problema perché l’errore di impostazione si trova

alla base di tutto (e.g. si sbagliano le equazioni del problema, o

i modelli degli elementi che descrivono la struttura come considerare una trave invece che un plate).

L’approccio agli EF basata sugli spostamenti converge dal basso, mai dall’alto, perché si sottostima lo

spostamento effettivo, quindi si irrigidisce la struttura; questo deriva dal considerare non gli infiniti modi in

cui può deformarsi la struttura, ma solo un numero finito di modi associato a certi punti di controllo e certi

funzioni di forma che governano gli spostamenti nei punti di controllo: ogni vincolo è un irrigidimento.

La convergenza dall’alto la si ottiene con il metodo basato sulle forze.

Si presume di avere una discretizzazione su un dominio monodimensionale con elementi di dimensione e si

h

assumono equazioni di forma di grado (e.g. quadratiche). Quello che facciamo può essere rappresentato con

p il punto

uno sviluppo in serie di Taylor : imponendo x

0

baricentrico dell’elemento, possiamo muoverci attorno a questo punto per una distanza

massima e si arresta lo sviluppo in serie al grado L’errore sullo spostamento

h, p-esimo.

che si ottiene dal troncamento dello sviluppo in serie sarà e quindi, facendo

il logaritmo . In un piano log, si ricava una retta che passa per l’origine

velocità di convergenza,

e ha pendenza La pendenza prende il nome di ed è un

p+1.

parametro sul quale possiamo classificare i diversi elementi, perché si cerca di ottenere

una maggior velocità di convergenza, e per farlo si deve aumentare il grado del polinomio dello sviluppo di

Taylor, e quindi delle funzioni di forma. A parità di modificando il grado la retta cambia pendenza.

h, p

Si vuole valutare ora l’andamento dell’errore al raffittire della mesh: partendo da elementi lineari

monodimensionali, si è visto che l’errore vale con che rappresenta la soluzione “esatta” o

2

e =(u -u)=O(h ), u

1 1

almeno un quantità molto vicina a quella esatta. Se si bisezionano tutti gli elementi, cioè si dimezza la

lunghezza di ogni singolo elemento mantenendo la stesso livello di dettaglio, l’errore con risulta ora

h h/2

• N +N

T ™š 4:

›. G G

N +N

come Se si fa il rapporto tra i due errori appena trovati: significa

O O

dunque che solo raddoppiando il numero di EF, mantenendo inalterato il grado delle funzioni di forma, l’errore

si riduce di 4 volte.

Nella figura sottostante si prende come esempio uno stesso elemento al quale si cambiano le condizioni di

vincolo, prima incastrato, poi e infine Su questi elementi sono stati fatti diversi grafici sullo sviluppo

SS1 SS2.

dell’errore al miglioramento della mesh. Tra tutte le linee, quella con i pallini neri è migliore delle altre

perché, nonostante abbia la stessa velocità di convergenza, si trova sotto alle altre, e quindi ha un errore

minore rispetto alle altre a parità di gdl.

Martini Rudy 47

CALCOLO AUTOMATICO DELLE STRUTTURE

Questi risultati grafici si ottengono solo se la mesh successiva più fitta contiene tutti i nodi della precedente

mesh più rada.

La retta lineare passante per

l’origine nel grafico log-log

dell’errore lo si ottiene in genere

per elementi lineari; per gli

elementi bidimensionali non

regolari presentano delle

deformazioni anche nella retta di

rappresentazione dell’errore.

Questo si spiega con il passaggio

delle funzioni di forma

dall’elemento master a quelli

reali deformati, tramite

trasformazione di coordinate e

altri elementi che sporcano la definizione polinomiale, e quindi si hanno delle imprecisioni.

Per verificare la validità l’elemento, passato il quale si ha certezza che l’elemento converga, si adotta il patch

un elemento converge se è capace di rappresentare in maniera esatta lo stato di deformazione costante, il

test:

più semplice.

Si effettua ora l’analisi di convergenza su

un caso molto più realistico: data la

struttura reticolare, la si risolve, si

ottengono le reazioni vincolari e si

prosegue con la valutazione degli appoggi.

La soluzione analitica non è semplice e si

prosegue con il FEM, studiando il caso di

elasticità piana, partendo da una mesh

grossolana che verrà raffittita man mano.

48 Martini Rudy

CALCOLO AUTOMATICO DELLE STRUTTURE

Dai risultati che si ottengono si osserva che il risultato dello spostamento aumenta sempre più; questo si

verifica soprattutto quando le prime mesh sono molto grossolane, ma i risultati devono convergere

maggiormente nei successivi passaggi,

cosa che però non succede in questo

esempio.

Se si osservano gli sforzi, , ad ogni

n

yy

raffittimento lo sforzo è sempre maggiore.

Anche qui non si ha convergenza.

La causa di tutto è data dalla non esistenza

del carico concentrato: lo sforzo dovuto a

questa azione si valuta come rapporto tra

la forza e la superficie, ma la superficie su

cui agisce è nulla. La soluzione

matematica di un problema che ha

superficie di azione del carico nulla, ha

sforzo e spostamento che vanno ad

infinito. Raffittendo la mesh il software

diminuisce ancora di più la superficie

infinitesima, e i risultati peggiora ogni

volta perché la soluzione è singolare.

Banalmente questo problema può essere

risolto spalmando l’azione su una

superficie piccola, ma finita.

Se si riesegono le verifiche effettuate in

precedenza si ottengono i seguenti risultati molto più

precisi e accettabili, e soprattutto si ottiene la

convergenza sia negli spostamenti che negli sforzi.

11.1 S INGOLARITÀ

Altri casi di singolarità si possono verificare con una piastra infinitamente rigida

su suolo elastico: le tensioni tendono ad infinito nell’interfaccia tra il suolo e la

piastra. Ancora, in una mensola incastrata

rappresentata come un elemento piano, la

teoria delle travi vedrebbe un andamento delle

tensioni assiali a farfalla lungo lo spessore, ma la teoria dell’elasticità che

vede la trave come un continuo, prevede un andamento che tende ad

infinito agli estremi inferiore e superiore, dove la tensione perde

continuità e passa da zero ad un valore diverso da zero.

Martini Rudy 49


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DESCRIZIONE APPUNTO

Calcolo Automatico delle Strutture
Riassunti del corso e del laboratorio con straus7
introduzione agli elementi finiti
analisi matriciale delle strutture
elementi trave truss e beam (1D)
nodi rigidi ed elastici
modello tridimensionale
elementi finiti e attendibilità [travi alla eulero bernoulli e alla timoshenko]
analisi dinamica
caso elastodimanico
problemi semidiscreti [metodo dell'accelerazione lineare, newmark, raggio spettrale e instabilità]
elementi bidimensionali (plate)
convergenza
problemi di non linearità (meccanica e geometrica)
instabilità


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea magistrale in ingegneria civile
SSD:
Università: Bologna - Unibo
A.A.: 2018-2019

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher brudypo89-10 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Calcolo automatico delle strutture e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Bologna - Unibo o del prof De Miranda Stefano.

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