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Figura 73. Andamento dell'errore all'aumentare della dimensione caratteristica h per i vari elementi

Dal grafico e dalla tabella sopra riportati si evince ancora una volta come l’elemento QUAD4 per il

3D Membrane sia, insieme al TRI3, nettamente il peggiore in termini di accuratezza, mentre il TRI6

evidenzia un errore minore rispetto al QUAD9, solamente per il fatto di aver subito una maggiore

discretizzazione (dal momento che più la retta e traslata verso il basso e più l’errore è minore).

Tali risultati sono in accordo con il fatto che all'aumentare della base polinomiale dell'elemento,

questo potrà descrivere andamenti della deformazione sempre più complessi, fornendo una

soluzione generalmente più accurata, mentre un elemento descritto da funzioni di forma più

semplici risulta più rigido, in quanto riduce la possibile deformazione dell'elemento.

In ogni caso, si osserva una diminuzione dell’errore all’aumentare della discretizzazione, e quindi la

convergenza verso la soluzione di riferimento per tutti e 6 i modelli rappresentati, tanto più

velocemente quanto più è ripida la retta.

Si può notare infatti come inizialmente l’errore commesso con elementi di tipo QUAD4 Plane Stress

sia simile a quello commesso dai QUAD8 e QUAD9, per poi divergere all’aumentare della

discretizzazione a causa appunto della minore velocità di convergenza.

Tensioni mediate e non mediate

Nei modelli ad elementi finiti il valore della tensione in un nodo risulta generalmente diverso per

tutti gli elementi che vi si appoggiano. Ciò dipende dal fatto che la formulazione degli elementi finiti

prevede la compatibilità come requisito di base al nodo e non l'imposizione dell'equilibrio al nodo.

Quindi, per ottenere una visualizzazione più uniforme dei risultati rappresentati mediante un

contour (mappe di colore nelle quali ad ogni valore di stress, spostamento, momento, ecc…, viene

attribuita una specifica sfumatura di colore), si fa uso di diverse tecniche cosiddette di smoothing o

di media, che mirano alla definizione di un valore unico (mediato) nel nodo (prettamente per

ottenere continuità nella rappresentazione grafica del campo da visualizzare) alle grandezze

rappresentate. Straus7 fornisce varie opzioni per eseguire le medie, e tra queste la più usata è

Average Same Property, che esegue la media solo nei nodi condivisi da elementi aventi la stessa

proprietá, mentre diversamente lascia un contour discontinuo. Per visualizzare un valore mediato

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anche in presenza di diverse proprietà è disponibile l'opzione Average All Properties, mentre se si

desidera una rappresentazione non mediata dei risultati basterà selezionare la voce Never Average.

Si riporta quindi di seguito, per una mesh rappresentativa di ciascuna tipologia di elemento, la

rappresentazione del contour per tensioni mediate e non mediate della mensola in esame

utilizzando le opzioni Average Same Property e Never Average:

(a)

(b)

Figura 74. Visualizzazione del contour plot con (a) e senza (b) averging dello sforzo in direzione Y globale per elementi TRI3 (sinistra)

e TRI6 (destra)

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(a)

(b)

Figura 75. Visualizzazione del contour plot con (a) e senza (b) averging dello sforzo in direzione Y globale per elementi QUAD4 3D

Membrane (sinistra) e QUAD4 2D Plane Stress (destra)

(a)

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(b)

Figura 76. Visualizzazione del contour plot con (a) e senza (b) averging dello sforzo in direzione Y globale per elementi QUAD8

(sinistra) e QUAD9 (destra)

Nella rappresentazione di Figura 14, 15, 16, si è scelto di non utilizzare una mesh troppo raffittita

per limitare l’eccesiva presenza di elementi di disegno propri del software Straus7, come i nodi o i

lati di ciascun elemento che compone la trave, cercando così di dare più importanza alla

visualizzazione cromatica degli sforzi.

Tale scelta, nelle mesh più povere comporta una bassa precisione nella rappresentazione dei

corretti valori di sforzo, ma contrariamente permette di visualizzare in maniera più nitida l’effetto

dell’averaging. Quanto detto risulta evidente osservando le Figure sopra riportate, poiché in mesh

povere come TRI3 o QUAD4 per 3D Membrane gli sforzi sono nettamente minori rispetto ai modelli

più ricchi come QUAD8, QUAD9 o lo stesso QUAD4 per 2D Plane Stress, che quindi, oltre a fornire

valori di spostamento più accurati (come riportato in Tabella 1 e 2), migliora di conseguenza anche

l’approssimazione per i valori degli sforzi. 61

Homework 7

Volta di Scordelis-Lo

Figura 77. Volta di Scordelis-Lo

Obiettivo del seguente elaborato è quello di svolgere delle analisi della struttura sopra riportata al

fine di valutare lo spostamento del punto A come indicato in Figura 1, discretizzando la volta con

elementi flat-shell (o Plate/Shell) ed elementi brick utilizzando rispettivamente QUAD4 e HEX8.

I Plate/Shell sono il tipo più generale di elementi piastra in quanto includono sia la membrana

tridimensionale che le azioni flettenti e possono quindi essere utilizzati per l'analisi di piastre piane

e gusci tridimensionali. Le shell sono classificate come spesse o sottili a seconda dello spessore

relativo del guscio rispetto alle dimensioni complessive della struttura. In generale, esse sono

considerate spesse quando lo spessore è maggiore di circa un decimo della dimensione nominale

della shell stessa. 62

Un'importante differenza tra gusci spessi e sottili è che tutte le deformazioni fuori piano in gusci

sottili derivano dall'azione di flessione mentre in quelli spessi sia la flessione che il taglio

contribuiscono alla deformazione totale fuori piano.

In Straus7 un elemento Plate/Shell è un elemento strutturale sottile soggetto a forze spaziali

arbitrarie. Normalmente il termine piastra si riferisce a un elemento sottile piatto soggetto solo a

carichi normali al piano, cioè trasporta carichi trasversali mediante azioni flettenti. Quando

l’elemento sottile è curvo esso viene indicato come una shell e, in un elemento di questo tipo, cioè

a guscio, il carico viene trasportato combinando forze membranali e flessionali. Tuttavia il termine

plate viene spesso usato per indicare generalmente uno qualsiasi degli elementi di superficie di

Straus7.

Osservando un sistema di riferimento locale, ogni nodo possiede in questo caso tre gradi di libertà

traslazionali (ovvero lungo le tre direzioni che definiscono lo spazio) e due gradi di libertà rotazionali

attorno agli assi paralleli al piano della piastra, escludendo cioè la rotazione attorno all’asse

perpendicolare.

In termini di componenti di sollecitazione e deformazione in un piano parallelo al piano medio, la

relazione costitutiva del materiale per un'applicazione di Plate/Shell è la stessa che per il caso Plane

Stress.

L'elemento brick ha una formulazione analoga ed è usato per analisi sul solido continuo 3D, tuttavia

per avere corrispondenza con la teoria elastica esso non ha i gradi di libertà rotazionali, quindi ogni

nodo può solo traslare nello spazio, non può ruotare, ed eventuali momenti flettenti del corpo

saranno ricavati come integrazione degli sforzi nei singoli nodi.

In Straus7 sono disponibili diverse forme per questo elemento: tetraedro a 4 e 10 nodi, piramidale

a 5 e 13 nodi, cuneiforme a 6 e 15 nodi, cubica a 8, 16 e 20 nodi.

Le componenti di sforzo e deformazione sono prese in considerazione senza particolari assunzioni,

contando tutte e 6 le componenti.

L’elemento brick è quello che più approssima la realtà, tuttavia richiede un onere computazionale

maggiore e una modellazione più complicata.

Modellazione

Per la realizzazione della struttura si utilizza il software di calcolo agli elementi finiti Straus7. Per

prima cosa, attraverso la sequenza di comandi Global>Coordinate System, è necessario creare due

ulteriori sistemi di riferimento, rispetto a quello globale di partenza. Il primo di essi consiste

semplicemente in una rotazione di 90° degli assi globali, con origine in un punto creato

precedentemente, avente una sola coordinata diversa da zero e pari alla lunghezza del lato della

volta (in questo caso gli assi X e Y del nuovo sistema di riferimento sono stati posti coincidenti

rispettivamente agli assi Z e X del sistema globale).

Quindi si procede copiando per incremento il punto origine degli assi in questione, di una quantità

pari al numero di nodi della discretizzazione voluta, ed ovviamente anche l’intervallo tra di essi sarà

in funzione di tale scelta.

Si crea dunque anche il secondo sistema di riferimento, questa volta di tipo cilindrico, di tipo YZ con

centro nel primo punto inizialmente creato (nodo 1) e si collegano i punti precedentemente creati

mediante elementi biella privi di qualsiasi proprietà geometrica e strutturale.

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Figura 78. Finestre per la creazione dei due sistemi di rifermento e dell’elemento biella

Attraverso i comandi Tools>Extrude>by Increment, selezionando gli elementi biella appena creati e

il sistema di riferimento cilindrico all’interno della finestra del comando di estrusione, sarà possibile

creare la volta oggetto di studio. Il valore da impostare sarà unicamente la coordinata θ, ovvero

l’angolo sottointeso dalla volta, dividendolo per un numero pari alla discretizzazione scelta, che sarà

poi lo stesso per il numero di ripetizioni. Nella sezione Targets si dovrà poi scegliere di utilizzare

elementi QUAD4, come richiesto nella consegna dell’esercizio (in questo caso si riporta l’esempio

con 4x4 elementi). Figura 79. Finestra per l'estrusione degli elementi biella

Si riporta di seguito quanto realizzato con il procedimento appena descritto:

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Figura 80. Volta oggetto di studio realizzata con il software Straus7

È possibile ora creare l’elemento flat-shell richiesto impostando le relative proprietà (riportate nel

testo dell’esercizio) nella finestra Plate Element Property, selezionando la tipologia di elemento

Plate/Shell: il programma attribuirà direttamente questi valori alla struttura appena creata. Sarà

inoltre necessario impostare anche lo spessore della volta poiché per i flat-shell esso è condensato

nel modello, a differenza degli elementi 3D (Brick) dove lo spessore viene definito in base alle

coordinate dei nodi.

Figura 81. Finestre per l'assegnazione delle caratteristiche geometriche e strutturali

Si procede ora con l’imposizione dei vincoli alla struttura. Essendo un diaframma rigido gli

spostamenti in X e Y (rispetto al sistema di riferimento ruotato) sono bloccati poiché in caso

contrario non sarebbe rispettata la simmetria, dal momento che la volta realizzata fa parte di una

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struttura più ampia. È