Calcolo automatico delle strutture M - S

ELEMENTI ISOPARAMETRICI:

In figura è si hanno 2 elementi a 4 nodi, uno è un quadrato preciso di

lato 2 ed è centrato nel SdR ξη, ed è detto elemento master/genitore,

mentre l’altro è un generico elemento della mesh che non ha una

forma precisa (elemento reale) si trova in un SdR reale xy. In comune

hanno il fatto di avere lo stesso numero di nodi.

Si cerca di valutare le cose che avvengono nell’evento reale facendo i

conti però sull’elemento master, quindi occorre una trasformazione di

coordinate che le metta in relazione. L’elemento master è fatto in

questo modo per tutti gli elementi a 4 nodi, si vuole fare in modo che

sia rappresentativo di qualsiasi elemento reale, quindi serve una

funzione x che mappa l’elemento master in uno qualsiasi degli

elementi reali. Se si riesce a definire la trasformazione.di coordinate,

allora è possibile fare tutti i conti sul master e farli valere per

l’elemento reale.

Quindi le funzioni di forma si formulano solo sull’elemento master,

solo una volta, come anche gli integrali, dopodiché si trasferiscono i

risultati al generico elemento reale con un’opportuna trasformazione di coordinate, che è diversa per ogni elemento reale (l’unica

cosa che cambia e che è da ricalcolare, ora non si devono calcolare le funzioni di forma per ogni elemento), quindi se si hanno 100

nodi si avranno 100 funzioni di trasformazione.

Quindi l’idea degli elementi isoparametrici è quella di utilizzare, per scrivere la trasformazione di coordinare, le stesse funzioni di

forma che si utilizzano per la rappresentazione dello spostamento, quindi se le funzioni di forma sono le stesse, anche il numero di

parametri che governano lo spostamento e la trasformazione di coordinate è lo stesso (questo è qualcosa di geometrico, sia la

rappresentazione dello spostamento che la geometria sono gestite con le stesse funzioni di forma e lo stesso numero di parametri).

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rappresentazione dello spostamento che la geometria sono gestite con le stesse funzioni di forma e lo stesso numero di parametri).

In verde si ha l’espressione della generica funzione, come viene scritta per gli isoparametrici. Le espressioni contengono le funzioni di

forma scritte in ξη (sull’elemento master che è sempre lo stesso, per cui si scrivono una sola volta, sono quindi un dato), moltiplicate

per le coordinate dei nodi dell’elemento reale che si sta processando (se si cambia elemento basta cambiare le coordinate). Nel

riquadro rosso si ha la stesa notazione, ma più compatta (ma l’importante è il verde).

Se si usano le stesse funzioni forma per descrivere lo spostamento anche per descrivere come

cambia la geometria da elemento master a reale, avrà implicazioni anche sul tipo di geometrie reali

che si possono descrivere.

In figura si ha quello che può succedere per un elemento a 3 nodi, il master è un triangolo rettangolo,

le funzioni di forma sono lineari, che si possono utilizzare anche la trasformazione di geometria,

quindi si può passare da un triangolo ad un altro che ha sempre i lati rettilinei (non è possibile

rappresentare un alto curvo con una funzione lineare).

Se si passa ad elementi di ordine superiore, ad es 6 nodi, le funzioni di forma sono quadratiche,

quindi si possono avere elementi reali con i lati curvi, perché la trasformazione di forma sarà

quadratica.

Lo stesso vale per gli elementi a 4 lati.

Quindi con un elemento a 4 nodi, un elemento curvo si può rappresentare solo con una serie di

segmenti rettilinei, se invece si usano elementi di ordine superiore si può vedere come una serie di

paraboline.

Meglio si rappresenta la geometria dell’oggetto, migliore sarà l’accuratezza del risultato.

Quindi nell’ambito degli elementi isoparametrici salire di grado non ha solo effetti benefici sulla rappresentazione dello

spostamento, ma anche su quella della geometria, se questa prevede lati curvi.

Si ricorda che dentro B ci sono le derivate delle funzioni di forma rispetto a x e y, ma ora si sono scritte le funzioni di f orma N

rispetto a ξ ed η, per poterle derivare rispetto a x ed y si deve utilizzare la regola della catena:

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lunedì 6 maggio 2024 08:41

Relazione in blu è come per una generica funzione f

definita in xy e integrata sul dominio A, grazie alla

trasformazione di coordinate che mette in relazione il

dominio A con un dominio quadrato (master) che va da -1

a 1, come si può fare l’integrale sul dominio quadrato,

quindi si deve riesprimere la funzione in termini di ξ ed η,

e l’elemento di area dxdy diventa il det(J) dξ dη.

Quindi l’integrale che esprime K si riesce a scrivere sul

master element con l’integrale in rosso, che è comodo

perché è uguale per tutti gli elementi quadrangolari,

quindi si può cercare una regola di integrazione che

funziona correttamente qui per poi utilizzarla sempre.

Si utilizza la regola di integrazione numerica alla Gauss,

che vale su un dominio -1,1, e la si ripete in una direzione e nell’altra, questa

regola può prevedere l’utilizzo di 3 punti di Gauss, dopodiché si hanno delle

tabelle che forniscono, a seconda del valore di p, le due coordinate in cui

valutare la ξ ed i relativi pesi. Con questi dati si scrive l’integrale come quello

riquadrato in giallo, quindi si trasforma l’integrale in una sommatoria in cui

ogni addendo è funzione valutata in un certo punto * peso.

Se si utilizzano p punti si riesce ad integrare esattamente un polinomio di

ordine 2p-1. Quindi se si conosce la funzione interganda si può scegliere il

numero di punti di gauss in modo opportuno.

Per passare da 1d a 2d, occorre ripetere quello che si fa in una direzione

anche nell’altra, quindi usare 2 punti di Gauss significa che si utilizza una

griglia 2x2 (2 punti di Guass in direzione ξ e 2 in direzione η). Che è quello che

si ha nella figura a dx, dove si ha una griglia 2x2, per cui i punti di Guass

diventano 4 e si fa l’integrale doppio, che si può trasformare in una doppia

sommatoria attraverso la regola di Gauss.

Si osserva che nel caso di 2 punti di Gauss i pesi valgono 1, per questo i lati

vengono divisi in segmenti lunghi 1.

A questo punto è possibile calcolare agevolmente l’integrale per il generico

elementi, poi seguono le classiche fasi di assemblaggio, condizioni di vincoli,

dei carichi, ecc.

Distorsione di geometria:

L’utilizzo di elementi iso parametrici è necessario perché nei casi reali gli elementi hanno forme varie. L’approccio iso parametrico

rende la gestione operativa della distrazione geometrica comoda, però presenta dei limiti, che hanno poi effetti anche sulle

prestazioni.

In figura si ha un generico elemento a 4 nodi distorto, la griglia è

rappresentativa delle areole dx e dy, nella sequenza di immagini si ha lo stesso

elemento e stessa griglia, si prende il nodo 4 e si sposta verso dx aumentando

la sua distorsione geometrica, tra iI primo e il secondo caso, ci sono areole

schiacciate nella zona del punto 4. Nel terzo si porta il punto 4 sull’allineamento 1-3 facendo diventare il quadrilatero un triangolo, ci

sono areole nella zona del punto 4 che si sono completamente schiacciate arrivando ad avere area =0, quindi qui il determinan te di j

deve essere 0, questa è la condizione limite, oltre alla quale non si può andare. Si nota anche che si necessita di calcolare J , ma se J ha

determinante nullo non è possibile farlo, quindi si comincia ad avere problemi numerici. Le immagini seguenti sono irrealisti che,

siccome si ottengono aree negative.

Uno dei modi con cui il codice fa dei check sula distorsione può essere appunto la valutazione del determinante del Jacobiano .

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In figura si ha il caso di un elemento a 9 nodi, si parte da una situazione dove si ha una leggera

distorsione, dopodiché il nodo 5 si sposta verso il nodo 2. Si osserva che le aree tra il punto 5 e 2 si

stanno schiacciando. Le 3 immagini sotto sono irrealistiche.

Poi si osserva il caso di un triangolo a 6 nodi, si hanno due tipi di distorsioni differenti a secondo che si

portino i nodi verso il centro o verso l’esterno, in entrambi i casi si rischia di avere aree che collassano

in aree nulle.

Quindi in generale si può affermare che grazie all’approccio isoparametrico si possono gestire elementi

di forma generica, ma si deve evitare di spingersi troppo lontani dalla forma del master. Quindi evitare

elementi troppo allungati con lati che formano angoli troppo acuti, per evitare problemi numerici che

derivano da determinanti di J tropo piccoli.

Effetti delle distorsioni degli elementi sulle performance degli elementi stessi:

Vengono presi dei problemi semplici e vengono risolti con diverse mesh di elementi sia regolari, dove la distorsione è modest a, o mesh

distorte, per poi confrontare le prestazioni.

Trave a mensola caricata con una forza tagliante ad un estremo, le sue proporzioni sono tali da

poterla immaginare come una trave, ma si può comunque risolvere con elementi bidimensionali.

Si tratta di una trave soggetta a taglio. Si hanno i risultati ottenuti con diverse mesh e diversi

elementi, il primo caso prevede un unico elemento, il secondo due elementi distorti, oppure 5

elementi disposti come in figura. Sotto si hanno i risultati ottenuti sulle varie mesh con elementi

a 12 e 16 nodi (poco diffusi), si ha la distribuzione della tensione normale in direzione

orizzontale, ma anche la soluzione esatta che coincide con la

mappa dell’elemento a 12 e a 16, quindi gli elementi a 12 e 16 nodi

sono talmente ricchi che con un solo elemento regolare coglie la

soluzione esatta.

La mesh 2: il 12 nodi risente della distorsione e perde la soluzione

esatta, l’elemento a 16 nodi è meno sensibile alle distorsioni della

geometria continuando a dare la soluzione esatta, passando a 5

elementi il 12 nodi ha perso la soluzione esatta, il 16 conferma la

scarsa sensibilità alle distorsione della geometria (si ricorda che il

16 è un elemento di tipo lagrangiano, che presenta anche nodi

interni, il 12 è un elemento di tipo serendipity).

Mensola con un momento flettente: ora si ha flessione pura, vengono messi a confronto le

prestazioni di elementi più poveri, quindi anche 8 e 9 nodi. La flessione pura prevede un

diagramma a farfalla di Navier uguale da inizio a fine, quindi la soluzione esatta è quella della

figura 1, questa è la soluzione esatta che tutti gli elementi sono in grado di cogliere con una mesh

di un solo elemento. Poi si ha la mesh con due elementi distorti, si noti che i serendipity (8 e 12

nodi) soffrono della distorsione di geometria, perché non colgono l