Geometria - Esercitazioni

Geometria

Esercizi Fabio

Esame: 1h 30m, 10 test + 2 esercizi

(x₀, y₀)

y - x

y - y₀ = m (x - x₀)

x+y ≥ 0 2a. Inclusivo

x+y > 0 2b. Escluso

y = x

Esercizio 1

Trovare tutti i punti del piano che soddisfano la condizione:

|x+y| ≤ |x-y|

|x| = {x se x ≥ 0

-x se x < 0

|x| = -x ≥ 0

• 1. x+y ≥ 0 x-y ≥ 0

⇒ x+y ≤ x-y

• 2. x+y ≥ 0 x-y < 0

⇒ x+y ≤ -(x-y)

• 3. x+y < 0 x-y ≥ 0

= x+y ≥ -(x-y)

La soluzione finale sara:

sol1 ∪ sol2 ∪ sol3 ∪ sol4

Sol1:

condizioni iniziali

ESERCIZIO (4)

Nello spazio ordinario (R³) essendo

sapendo che

_u² = 1 e _v² = 2

cosθ =

• _{u' v'}
• _{u' v'}

= ¹/₂ =

(√^{u'2 _{v' 2})}

cosθ = ¹/₂

_{|u'| = 1}

= |u' x v'| ³ 1

cos = ∠ √3 /2

√3

(_{u V}) x = (_V)

_{u V} =

• _{u V}
• _{u' V'}
• _{u' U'}

^{u' v'}= ¹

√

^{u' dV' = √ u2_{22 + √ u23}}

ESERCIZIO 6

Trovare i vettori complanari con u = i - k e v = i + j ed ortogonali a u x v

< x, u x v > = 0

CONDIZIONE DI COMPLANARITÀ

< x, u x v > = _{( ¹ 0 ⁰ -1 ^{1 0} 0 ) ^e}

= a ₂ [ ₄ ¹ b ₄ ⁰ c ₂ ]

= a - b + c = 0

x, per ip. deve anche essere ortogonale a (u + v)

2a + b - c = 0

\(a - b + c = 0\) and \(2a + b - c = 0\)

a, -1, c = 0

a, -b+c = 0 e IC(R)

Esercizio

Dati in E³ P₁ (2,1,1) P₂ (3,1,4) e P₃ (1,1,2)

1. Determinare, con le loro parametriche e cartesiane, le rette passanti per P₁ e P₂
2. Determinare, parametriche e cartesiane, per le rette P₁ passanti per P₂ e P₃
3. Trovare l'equazione del piano passante per P₁ e ortogonale alle rette PARALLELE a P₂ e P₃ (P₂^e P₃^v)
4. Determinare un'equazione per piano passante per P₃ ortogonale alle rette

• (x-2 -3t) Y+ (t+2), Z - 2i - 3t
• Componenti del vettore di piano

P₇³ = C < br> (0)

Determinare ( x−2 - 1 + 2 - 1 + 2…₃) Eq. del… Metodo per eliminazione dei parametri (2- 1 −1) λ − z −1 λ < b r >+2 2(z − x ) λ λ = −X) +2( z < ) 1 + λ …- 2z -X

y ∥2− X − 1…

p> ๑ 1 + … = (λ + x) / / λ− xi λ

Esercizio 1

Determnare la distanza dal punto

d_A (Pi) = ^{|2(1) + t(-1) - 3(0) + 1| / sqrt2^2 + 1^2 + (-3)^2}

d = ^{2 / sqrt14}

Esercizio 2

Determnare la distanza dal punto

r: X = -1 + t Y = -2 + t Z = + 1 direzione retta

Se t E R :

{t = 1 - t 1 -2 + t+1 0}+2+1

{t - 0 t = - t - 1

D A Pi: Ax 1 by 1 Cz 0

• cid 2 +
• (cid:214)
• 4 4
^X3 (cid:13) _{= (cid:3) (cid:312)(cid:13) (cid:214)} X
(cid:213) ^{X4 (cid:13)_{4 (sup(cid:213)i) (cid:213)80>1 4 F(cid:214=)e8}}

7 6 2 (cid:214) 8 9)

Esercizio

In R⁵

W₁ = { (x₁,

x₄) | 2x₁ - x₃ - x₅ = 0 = x₄, 3x₂ }

W₂ = { (x₁,

x₅) | 3x₂ - 3x₁ - x₄ = 0 :

x₂ + x₃, 2x }

Determinare le dimensioni di W₁, W₂, W₁ ∆ W₂ e di

W4 ∆ W₂

Osserviamo che W₁ = Vi dell esercizio procedente

dim(W₁) = 3

2x₁ = x₂ + x₃, W₂ = { x₁,

0 x₃

= (4/2), (4/2),

(0 0(0))

W₁:

3 3 0 1 0 1

1 -1 0 0

1 0 1

-1/3(0))

2 1 -1 0

0

-1 -1 1/3(0)

1 2/3 (0)

x₁.

x₂ - x₃ 4/3 x₄

x₂ - x.

x₃ =

2/3 x₄

->V₂

{

x₃ x₄ x₅

} x₁.

x∈R

Esercizio

A ∈ M_m×n si dica invertibile ⟺ I B E I_m×n

A^-1

A_m×n invertibile det(A) ≠ 0 ⟺ {|S_i{S_i}} = n

¹/_det(A) (AdjA)

La matrice aggiunta è la matrice del minari di A traposio

Determinare A^-1 se A

[Identità]

Metodo

ESERCIZIO

1 2 3 0

1 2 0 -3

4 -3 1 1

0 4 -5 0

0 -5 1 4

0 0 2 3

Quando calcoliamo il determinante e scambiamo due righe, dobbiamo mettere un MENO davanti al det.

- | 2 3 0 |

| 1 2 3 0 |

| -4 -1 1 |

| -4 -5 4 |

| 0 4 -5 0 |

- | 0 -5 1 4 | | 0 0 2 3 | =

| 1 2 3 0 | = 0

| 0 -4 3 | 0

-3 | 0 4 -5 |

-3 | 1 2 3 |

| 0 0 0 4 |

| 0 0 0 3 |

= 0

= -3

-3 | 0 4 -5

| 1 2 3

| 0 0 4

| 0 0 3

= 0

1 2 3 0

0 1 2 3 =

0 1 1 4

0 3.3 -3 -5

1 2 3 0

0 4 2 3

0 15 12 14

0 4 2 3

= -3

| 1 2 3 0

0 1 2 3

0 1 1 4

0 3 -3 1.3 1.5

1 2 3 0

0 1 2 3

0 0 1 4

0 0 0 30

È una matrice TRIANGOLARE superiore

Il determinante di una matrice triangolare superiore o inferiore è uguale al prodotto della diagonale

= 3 ( 1 . 1 . 1 . -30) + 3 (-30) = -90