Esercizi Geometria

1^a Prova di Autovalutazione 2001-2002

1. p₁(x) = x² + x
2. p₂(x) = x² - 1
3. p₃(x) = x² + 9x + 1

• α + β = 0
• α + 9β = 0
• β = -1

2. (ker>³ℝ³)

• Kerρ somma diretta

6. v_k = 2i + 2j - 2k

• -2b - 2c ⊂
• + (2a + c) σ
• + (2a - 6)

1) 1 2 3 1

   0 1 0 1

-1 -1 -1 0

P₃↔P₂

A =

( 1  3  1)

( 0  0  1)

(-1 -1 -1)

P₃→P₃

° pivot = a₁₂ ⇒ rango (A) = 2

2) V₁ = i + 2j

V₂ = i + 3k

V₃ = 2V₁ + V₁∧V₂

u = -8i - j + 10k

V ∧ V₂ = i j k

       1 2 0

       1 0 3

= i (-6) - j (-3) + k(-2) = -6i + 3j - 2k

⇒ V₃ = 2(i + 2j) + i - 6i + 3j - 2k = 2i + 4j - 6i + 3j - 2k

Combinazione lineare di V₁, V₂, V₃

aV₁ + bV₂ + cV₃ =

= -ai - a2j + bi + b3k + ci + c(j + 3j) + (-6)j - 2ck

= i (a + b + c) + j (2a + c) + k (3b - 2c)

{ 2c + b - a = -8

  { a + 3c = -5

  { b - c = 5

a = - 5 + 3c

b = 5 + c

c=-3

a = -5 + 3c

b = 5 + c

⇒ (1, 2, -3) coordinate di u

3) A = (1, 2, -1)

B = (0, 2, -1)

C = (1, -1, 1)

(a; C) = (0, 3, -2)

u = i   j  k

     0 3 -2

   -2 0 0

= (0, -5) (0 - 2) ∀k(0, 3)

= 9i + 13k

1/2 | u ∧ V | = 1/2 √ (s + s = √13/2 ≤ 9

1) N ... retta passante per P_A = (0,2,5) e P_B = (0,0,3)

... retta passante per Q = (3,0,4) e ...

...: -Cx + 9y - 6z = 0

N = (4,9,-6)

Punto di ... tra r, s e a ...

coord. ...

(P_A-P_B) = ³/₂

• x = 0; x = ...
• y = 0; x = 2F
• 2z = -3 + 3x

retta per Q

• x = 3 - 6x
• y = 0 + 9x
• 2 = a - 6x

x = y

• z = cx - 3
• x = 3 - 2x
• z = 0 - 3x

x = 3 - 2x

• 2z = cx - 3
• x = y

x = 1

• y = 1
• x = 1

=> a = 3

8)

Q = ^{(x - 3)} [(3 - 2)]

• lambda - 1
• -1 +1
• -1

Q - 2L =

• lambda - 2
• -1
• -1

SECONDO TEST DI AUTOVALUTAZIONE

1)

A = 1 2 1 2-2 -1 3 1-1 3 -1 -12 3 1 2

R2 - 2R1R3 - R1R4 - 3R1

A = 0 0 1 30 1 0 21 -2 0 -3

Da qui A = 3Insieme soluzioni Δx ≠ 0dim S = 3 - 2 = 3

2)

(p w) = 9w - x(p r) = x(s) (r p s)x(i) = 9i + x - 1, -i + x k (i + 5) = 9i - (i + 5) = i - 5x(r5) = 2.5 r 5 p i i x k (i + s) = 0.5x(i) = 2k + x - k = i x k (i, i, s) = i + x 4 ok

A = 0 0 0 0

det A = 9 . 9 = 9

3)

x1 x0 + x27 + 7x = 12x + y = 3

3x + 3y - 3z = 1x - y - z = 21 2 -1 -1-1 1 1 1

R2 - 2R1R3 - 3R2R4 - R1

A = 0 0 0 10 3 -2 -10 -3 5 3

R2 - R3

A = 2 1 43 -2 10 5 -1

R2 - R1

A = 9 1 -46 1 -5

R3 = R5

Da qui A = 2 ≠ (A|B) = 3Parallele non coincidenti.

1 5 k

(b-a)_NL = -2 -2 -1 = (4c) - 5 (4u) + 8k (-1-1)

(c-a) = 1 0 -3 = cu - cu -5 - 3k

=> μ = c(1, 4, 3)

Passa per Q

c(x-1) = cu(y-4) -3(z-1)=0

equat: c(x-1)=cu(y-1) d: cx-cu - 6y -32+1=0

n: retta passante per Q e a, a, d

x=5+cu

y=-3-dt

z=5-3t

Intersezione retta e piano

c(x - 3. c(τ) -d (x -cu)-3(-3t)-1=0

20-116t -98 - 6x + 8t -1 =0

A=n=cu n=a=1 => P(α, β, -3)

Θ=(1,0,1) B=(0,9,-3) C=(0,1,1)

Q=(5,-1,2)

B-Θ= ( ^-1) ( ⁹) ( ^-2)

C-Θ= ( ⁰) ( ¹) ( ⁰)

1 5 k

(b-a)= -1 2 1 = (4c) - 5 (4u) + 7k (-1-1)

(d-a) 1 a 0 = cu - cu -5 - 3k

cu(x-1)=cu(y-1) t=-1

=> P₁(1,-3,5)

15/10/2021

Esercizio

• A = _{(1 0) (5 2)} è simile ad una matrice diagonale? ⇔ A è diagonalizzabile
• p_A(λ) = det (_{(λ−1 0) (−5 λ−2)}) = (λ−1)(λ−2)

λ1 = 1, λ2 = 2 sono gli autovalorin valori distinti ⇒ è diagonalizzabileVoglio indietro una base di autovettori dim v_i(A) = 1 dim v₂(A) = 1

V1(A) = ker (A-1I) = ker(_{(0 0) (5 1)})= {_{(x) ∈ R² : ((0 0) (5 1))(x) = (0) (0) }spaur({(1) (-5)})}

5x+0y = 0 ⇒ y = −5xV2(A) = ker (A-2I) = ker (_{(−1 0) (5 0)})= {_{(x) ∈ R² : ((−1 0) (5 0))(x) = (0) (0) }X = x0 = {sub}((1) (0))}

diagonalizzazione: (_{1) (0) 5 1}) = (_{1 0) (5 λ)}) (_{1 0) (0 2)}) (_{1 0)-1 (−5 λ)}

Esercizio

B = _{(2 3 5) (1 4 1) (5 2 −1)}

• p_B(λ) = polinomio di 3 grado
• "λ (λ + b) scompone in" (sotto lambda primo)

somma autovalori = tr B = 3prodotto autovalori: det B = 0, (−2 1 3), = −10E diagonalizzabile?

det = det (_{(5−λ 3 5) (1 4−λ 1) (5 2 2−λ)})= (λ−2) [(λ−2) (λ−1−2) −a] = 0= (λ−p2 b)(λ²−λ−5) = (λ^3−4λ²−27λ+13) = λ^3−2λ²+λ+3 −10 2=a 2/b

⇒B è diagonalizzabile (3 autovalovi distini)

V_A(A-λI)=Ker(A-λI)

Ker(A)

• 2 λ
• 1 2-λ
• 1-2 -λ

riga3 - riga1 = riga₃₂

• 2 1 1
• 0 2-λ 0
• 0 3-λ 3-λ

Ker V₃P²

• 2 1 1
• 0 1 0
• 0 0 0

(x 2) => (0 0)

-2x+4λ=0

-3y -3λ=0

x - 2

y - 3

(2 2 2 3) ∈ R³ = span ({v})

Per C.n.s. Sistemato

• 1 λ 1
• 1 0 λ 1
• 1 λ +1 0
• 2 (1+λ 1λ) - (1+λ 1λ1 λλ 1 λ 10)
• 4 = λ(1 1 1)
• u = λv = 4
• 1 λ 1

Esercizio

3λ λ

• 0 0 0
• - λ λ
• 3 λ λ λ λ λ
• 1 λλ λ
• λ λ λ
• λ λ λ λλ λ

Forma di diag. T

P_A(λ) = (λ-λ) (λ-1) (λ-1)

• a₁ = 1
• a₂ = 1
• a₃ = 1²

Det (A-λI)

1 - a_l

2λ λ λ λ λ λ

deto = λy

=deto

1 λ λ

λ λ λ

λ 0 λ λ λ

det= λy, λ λ λ λ λ

1 λ λ

1 λ = λ

λ λ= 0

Diagoma.

R < sub>= λ

λ - a∪ _y()

rang _(A-λI)

• 0 0= 0
• 1 λ0 λ
• λ 1 λ0

diagonalizzabile.

=3-

řango