Esercizi geometria

Esercizio 1

1. Dati i vettori a = (2, 4), b= (1, 2), c = (-1, 1), d = (3, 6), stabilire se c e d appartengono a Span{a, b}.

Span {_a, _b} = {_a = (2, 4), _b = (1, 2)}

c = (-1, 1)

d =(3, 6)

c ∉ Span {_a, _b}

• (-1, 1) = _α(2, 4) + _β(1, 2)
• 2_α + _β = -1
• 4_α + 2_β = 1

d ∈ Span {_a, _b}

• (3, 6) = 2_α + _β
• 2_α + _β = 3
• 4_α + 2_β = 6
• _α = 1
• _β = 1

Soluzione

c ∉ Span {_a, _b}

d ∈ Span {_a, _b}

2) Stabilire quali dei seguenti sottoinsiemi di R⁴ sono linearmente indipendenti:

1. {(1, 2, 0, 0), (2, 4, 0, 1), (0, −2, 1, 1)}
2. {(1, 2, 0, 0), (2, 4, 0, 1), (0, 0, 0, 1)}
3. {(1, 2, 0, 0), (2, 4, 0, 1), (0, −2, 1, 1), (3, 4, 2, 0)}
4. {(1, 2, 0, 0), (2, 4, 0, 1), (0, −2, 1, 1), (3, 4, 1, 2)}

A) {α(1, 2, 0, 0) + β(2, 4, 0, 1) + γ(0, −2, 1, 1)}

{ α + 2β = 0 2α + 4β = 0 β + γ = 0 }

→ β = 0_A linearmente indipendente

B) {α(1, 2, 0, 0) + β(2, 4, 0, 1) + (0, 0, 0, 1)}

{ α + 2β = 0 2α + 4β = 0 β + = 0 }

α = 2β = −1 = 1

B non è linearmente indipendente

C) {α(1, 2, 0, 0) + 3(2, 4, 0, 1) + γ(0, −2, 1, 1) + μ(3, 4, 2, 0)}

{ α + 2β + 3γ + μ = 0 2α + 4β − 2γ + 4μ = 0 γ + μ = 0 β + 2μ = 0 }

C è linearmente indipendente

D) {α(1, 2, 0, 0) + β(2, 4, 0, 1) + (0, −2, 1, 1) + μ(3, 4, 1, 2)}

{ α + 2β = 0 2α + 4β = 0 γ + μ = 0 β + 2μ = 0 }

γ = 1μ = −1β = −1α = 5

D non è linearmente indipendente

A e C sono l.i.

Esercizio 10

Determinare la matrice:

1¹2⁵|2^wv^y

1^{(1, 0)}0^{(0, 1)}

x + 2z = 0

-5x + 4z + 2t = 1

1|5²2^y|^z1

5x - 4z + 2t = 0

y = -xz = 2t

t=1^{0t =}

(6 - 1 1)|¹2

Esercizio 11

Date le matrici:

A =1^{1 1}0^{1 0}1^{1 1}

B =1^{1 0 -1}-1^{-1 1}0^{-1 0}

detereminare una matrice X ∈ M(3;ℝ) tale che AX = -B.

R₂ → R₃ - R₂

R₂ -> R₂ - R₃ + R₂

R₃ → R₃ - 2R₂

R₃ → R₃ + R₂

R₁ → R₁ - 2R₂

dZ =

x - z + 2 = 1

-y + z - 4 = 1

k - 3 = 0

x =

y =

z =

k =

3

1/2, -1/2, -3/2

26) Calcolare il rango della matrice

A =

(1 -4 4 0 1 3)

(-1 4 -3 -1 0 -2)

(0 0 1 -1 1 1)

(3 0 -1 2 1 1)

R2 -> R2 + R1

R2 -> R2 - 3R4

R4 -> R4 - R3

R12 >R4

(1 -4 4 0 1 3)

(0 0 1 1 1 1)

(0 -12 -13 1 -5)

Rango = 3

Esercizio di geometria

O

Eserc 210

P = (3,2,1) P2 = (1,4,1)

x y z 1

12 y z 1

1111

0

x - 2y + z = 0