Esercizi geometria

Esercizio 1

1) Dati i vettori a = (2,4), b = (1,2), c = (-1,1), d = (3,6), stabilire se c e d appartengono a Span({a,b}).

Span {c, b} = {a = (2,4), b = (1,2)

c = (-1,1) ----> d = (3,6) 1 + 1 = (3,6), 2 + 2 = (4,2)

-1,1 = (2,4) + (1,2)

• -1,1 = 2 + 3

Span {a, b} = a = (2,4), b = (1,2)

d(2,4) + (1,2)

• 2d + = 1 ----> x 0
• 4d + 2 = 1 ----> x 0

d = (3,6) = 2(2,4) + (1,2)

2 + β (3) = (2,4)

• 2d + = 1
• 4d + 2 = -

2 + (3) [= 3] -

• - 2 =

Soluzione

c ∉ Span({a,b})

d ∈ Span({a,b})

Esercizio 1

1) Dati i vettori a = (2,4), b = (1,2), c = (-1,1), d = (3,6), stabilire se c e d appartengono a Span({a,b}).

Span {a,b} = c = α (2,4) + β (1,2) d = α (2,4) + β (1,2) (-1,1) = α (2,4) + β (1,2) (-1,1) = 2α + β 1       2α + β = -1       4α + 2β = 1 (3,6) = α (2,4) + β (1,2) 3,1 = 2α + β 6 = 4α + 2β       2α + β = 3       4α + 2β = 6 α = -1 β = 1

Soluzione

• c Span {a,b}
• d ∈ Span {a,b}

2) Stabilire quali dei seguenti sottoinsiemi di R⁴ sono linearmente indipendenti:

A = {(1, 2, 0, 0), (2, 4, 0, 1), (0, −2, 1, 1)}

B = {(1, 2, 0, 0), (2, 4, 0, 1), (0, 0, 0, 1)}

C = {(1, 2, 0, 0), (2, 4, 0, 1), (0, −2, 1, 1), (3, 4, 2, 0)}

D = {(1, 2, 0, 0), (2, 4, 0, 1), (0, −2, 1, 1), (3, 4, 1, 2)}

A) {α(1, 2, 0, 0) + β(2, 4, 0, 1) + γ(0, −2, 1, 1)}

• 2α + β = 0
• 4α + 4β − 2γ = 0
• β + γ = 0

A è linearmente indipendente

B) {α(1, 2, 0, 0) + β(2, 4, 0, 1) + γ(0, 0, 0, 1)}

• α = 2
• β = −1
• γ = 3
• −2 = 0
• 4 − 4 = 0
• 1 + γ = 0

B non è linearmente indipendente

C) {α(1, 2, 0, 0) + 3β(2, 4, 0, 1) + γ(0, −2, 1, 1) + μ(7, 4, 2, 0)}

• 2α + 3β + μ = 0
• 4α + 8β − 2γ + 4μ = 0
• β = 0
• 2μ = 0

C è linearmente indipendente

D) {α(1, 2, 0, 0) + 3β(2, 4, 0, 1) + γ(0, −2, 1, 1) + μ(3, 4, 1, 2)}

• Y = 1
• μ = −1
• β = −1
• α = 5

D non è linearmente indipendente

AcC non L.I.

3)

Nello spazio vettoriale R³ sul campo R, sia A = {a, b, c, d} R³, dove a = (1, 2, 3), b = (6, 0, 7), c = (8, 4, 13), d = (32, 4, 41). Trovare una base e la dimensione di Span(A).

• a + 2b = 0
• 2a = 0
• 3a + 7b = 0

B = {c, d}dim Span(A) = 2

4)

Calcolare la dimensione del sottospazio vettoriale di R⁴

• d + 3b = 0
• 2d = 0

dim W = 2

5) Stabilire se i sottoinsiemi

W₁ = {(x,y,z,t) ∈ ℝ⁴: x - z - t = 0}

W₂ = {(x,y,z,t) ∈ ℝ⁴: x - y - z + t = 0, x + 2t = 1}

sono sottospazi vettoriali di ℝ⁴. In caso affermativo determinarne una base e la dimensione.

A)

W₃ = {(x,y,z,t) ∈ ℝ⁴: x - z - t = 0}

y = x - z + t

• x = l
• y = l + m
• t = m
• z = m

l,m,n,m,n

= (l,l - m,m,m) + (0,-m,0,m) + (0,-m,m,0)

= l(1,1,0,0) + m(0,1,3,0) + n(0,-1,3,0) = (0,0,0,0)

l = 0

em = 0

n = 0

m = 0

Una base di W₃ è {(1,1,0,0),(0,-1,0,2),(0,-1,1,0)}

dim W₃ = 3

6) Provare che i sottoinsiemi

W₁ = {(x,y,z,t) ∈ ℝ⁴: x + y - z - t = 0}

W₂ = {(x,y,z,t) ∈ ℝ⁴: x - y - z + t = 0}

sono sottospazi vettoriali di ℝ⁴. Determinare basi e dimensioni di W₁, W₂, W₁∩W₂.

• W₃ = {(x,y,z,t) ∈ ℝ⁴: x - y + z - t = 0}
• t = x + y - z

• x = l
• z = m
• t = l + m - m

l,m,n,m,n = l(0,0,0,0) + (0,m,0,m) + (0,n,0,-m) + (0,1,m,0) + (0,0,1)

l=0m=0z=0lm-m=0

z=3

Una base di W₁ è (1,0,0,z), (0,z,0,s), (0,0,z,t) e dim W₁ = 3

W₂ = {x,y,z,t) ∈ R⁴ : x - y - z + t = 0}

z = x - y - t

{x = ly = mt = mz = l - m. m }

(l,m,m, l - m. m) = l(1,0,0,l) + (0,m,0,m) - l(0,0,m,m)

(l,3m,0,d) = m(0,2,0,1) + m (0,0,z) - d(0,0,0,l) = (0,0,0,0)

l=0m = 0z = 0l - m.m =0

z=1

Una base è (1,0,0,z), (0,z,0,-z), (0,0,z,1) e dim W₂ = 3

W₃ = W₂

a(1,0,0,z)+b(1,0,1) c(0,0,z,1) + d(0,0,z) + e(0,0,z) = (0,0,0,1)

a|d+e = 0b+e = 0c+f=0a+b+c+d+e+f = 0

W₃ ∩ W₂

x - y - z + t = x - y-z + t = 0

{ x+y - z + t = 0y - z + t = 0

Quindi, rango della matrice del sistema Z = 4-2 = 2

dim W₁ ∩ W₂ = 2

Esercizio 10

Determinate la matrice \( \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \) tale che

\( \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 5 & 12 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \)

\( \begin{matrix} x + 2z = 6 \\ y + z = 0 \\ 5x + 12z = 1 \end{matrix} \)

\( \begin{matrix} 5x + 12z = 0 \\ x + z = 6 \\ y + z = 0 \end{matrix} \)

\( \begin{matrix} x + z = 6 \\ y + z = 0 \\ 5x + 12z = 1 \end{matrix} \)

\( \{ \begin{array}{l} z = -\frac{1}{2} \\ y = z \\ x = \frac{12}{5} \\ \end{array} \)

\( \{ \begin{array}{l} 2 = 5 \\ 5 = 12 \end{array} \} \)

\( \{ \begin{array}{l} x + \frac{2}{2} = 1 \\ x = 12 \times \frac{2}{2} \end{array}\)

\( \{ \begin{array}{l} 2 \times \frac{2}{2} = 1 \\ \end{array} \}

\( \{ \begin{array}{l} x = 6 \\ z = \frac{2}{2} \end{array} \} \)

\( \begin{pmatrix} 6 \\ -1 \\ \frac{5}{2} \end{pmatrix} \)

Esercizio 11

Date le matrici

\( A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \)

\( B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix} \)

determinare una matrice \( X \in M(3;\mathbb{R}) \) tale che \( AX = -B \).

\( R_1 \rightarrow R_2 - R_3 \)

\( R_2 \rightarrow R_1 - R_3 \)

\( R_3 \rightarrow R_1 - R_2 \)

\( R_2 \rightarrow R_2 - R_3 \)

\( R_3 \rightarrow R_2 - R_3 \)

\( R_2 \rightarrow R_1 - R_2 \)

\( \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \)

\( X = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} \)

\( R_2 \rightarrow R_3 - R_2 \)

\( R_1 \rightarrow R_1 - R_2 \)

Esercizio 16

14) Risolvere con il metodo di eliminazione di Gauss-Jordan i seguenti sistemi lineari:

1)

• x + 2y - z + 3t = 1
• x + 3y - 2z + 3t = 0
• 2x + 4y - 3z + 6t = 4
• z + y - z + 4t = 6

{x, -1, 2, 2}

II)

• z + 2t = 3
• 2x + 4y - 2z = 4
• 2x + 4y - x + 2t = 7

No soluzioni

21)

Calcolare i determinanti delle seguenti matrici

• A = (^{5 3}/_{2 -1})
• B = (^{1 2 0}/_{3 -4 5}/_{-2 1 -1})
• C = (^{5 4 2 1}/_{5 3 1 -2}/_{5 -7 -3 9}/_{1 -2 -1 4})
• D = (^{1 2 1 1}/_{0 0 0 0}/_{2 0 0 1}/_{0 0 0 0})

1 ^{5 3} 2 -1 = -5 - 6 = _-11

4) R₂ R₅

R₅ - ²/ ₅R₄ + R₅

Esercizio 20

20) Determinare il rango e il segno della permutazione

p = ^{( 1 2 3 4 5 6 7 8 )}

3 - 2 - 5 - 7 - 1

1.5 - 5.3 = 3_{(2,6) =3}

2 6

sgn(p) = (-1)₅ = -1 => sgn(p) = -1

Esercizio 22

22) Calcolare il determinante della matrice

A

4 A

Esercizio 23

23) Calcolare le inverse delle seguenti matrici

A =

B =

C =

D =

4) Controlliamo se la matrice è invertibile controllando se il det ≠ 0

R₄ -> R₃ - R₄

R₄ -> -⁵⁄₂R₂ + R₄

R₄ -> R₄ - ²⁄₃R₃

R₂ -> R₂ - R₂

R₄ -> R₄ - ²⁄₃R₅

R₂ -> 3R₁ - R₂

R₃ -> R₃ - R₂

R₂ -> ¹⁄₃R₃ - R₂

R₄ -> R₄ + 2R₄

R₆ -> -¹⁄₂R₄

R₃ -> 3R₃ - R₄

B)

| 1 0 2 1 0 2 || 2 -7 3 2 -7 3 || 4 1 8 4 1 8 |

= 3 + 4 - (5 + 3) = 75 + 4 + 3 = 1

| 1 0 2 0 1 0 || 0 -7 3 0 2 0 || 4 1 8 0 0 1 |

R₃ -> R₃ - 2R₁R₂ -> R₂ - 2R₁

| 1 0 2 0 1 0 || 0 -7 3 0 2 0 || 0 1 4 0 -4 1 |

R₃ -> R₃ - R₂

| 1 0 2 0 1 0 || 0 1 2 0 2 0 || 0 0 1 0 -2 1 |

R₁ -> R₁ + 2R₃

| 1 0 0 -4 0 0 || 0 1 2 0 2 0 || 0 0 1 0 -2 1 |

R₂ -> R₂ - 2R₃

| 1 0 0 -4 -2 2 || 0 1 0 0 4 -2 || 0 0 1 0 -2 1 |

C)

| 2 0 1 2 0 1 || 2 1 1 2 1 1 || 0 0 1 0 0 1 |

= 5 ≠ 0

| 1 0 1 0 0 1 || 1 1 1 0 1 0 || 0 0 1 0 0 1 |

R₂ -> R₂ - R₃

| 1 0 0 0 -1 2 || 1 1 0 0 1 0 || 0 0 1 0 0 1 |

| 1 0 0 -4 0 5 || 0 1 0 0 2 0 || 0 0 1 0 -2 1 |

R₁ -> R₁ - R₂ - R₃

D)

| 1 1/2 0 00 || 1/2 1/2 0 0 || 0 0 1 0 1 || 1 0 0 2 1 |

| 1 1/2 1/2 0 || 1/2 1/2 0 0 || 0 0 1 0 -1 0 |

= 1/2 + 1/2 = 1 ≠ 0

| 1 1 0 1 0 || 1 0 0 0 0 || 0 0 1 0 1 || 0 1 0 0 -1 |

R₁ -> R₁ + R₂

R₂ -> R₂ - R₁

| 1 1 0 1 1 || 0 -1 0 -1 0 || 0 0 1 0 1 || 0 1 0 -1 0 |

R₁ -> R₁ + R₃

| 1 1 0 1 0 || 0 -1 0 -1 0 || 0 0 1 0 -2 || 0 1 0 -1 -1 |

R₁ -> R₁ + R₂

| 1 1 1 0 0 || 0 0 1 1 1 || 0 0 1 0 1 || 0 1 0 1 0 |

24)

Stabilire per quali valori del parametro reale λ esiste la matrice inversa della matrice

VERIFICA

25)

Stabilire se i seguenti sistemi lineari sono di Cramer e, in caso affermativo, risolverli:

det≠0 Sì, con Cramer

D_x = 1   1   -2   3   |   R₂ - 2R₃ → R₂2   1   3   1     R₂ - R₃ → R₁1   2   1   4     R₄ = 0

1   1   2   3   |   R₃ - 5R₂0   -1   4   30   4   30   3

D_z = 1   2   1   3   |   R₃ - 3R₂ R₄ → R₄ - 2R₃

1   1   2   3   |   R₁ → R₁ - R₂ 0   -4   1   -40   2

x = D_x / D = -70 / -25 = 14 / 5

y = D_y / D = -50 / -25 = 2

z = D_z / D = -54 / -25 = 54 / 25

t = D_t / D = -44 / -25 = 44 / 25

(14/5   2   54/25   44/25)

II)

x + y - 2z + 3t = 0

2x - y + 5t = 0

-2y + z + t = 0

2x + y + z + t = 0

Det =

x = Dx/det = 0/25 = 0

y = Dy/det = 0/25 = 0

z = Dz/det = 0/25 = 0

t = Dt/det = 0/25 = 0

III)

x + y - 2z = 1

2x + 2y - z = -1

-x + 3y - 3x = 0

26) Calcolare il rango della matrice

A = 1-4-4013 -14-3-10-2 001-111 30-1121

R2 → R2 + R1

R3 → R3 - R1

R2 ↔ R4

R3 → R3 - R1

Rango = 3

Esercizio di geometria

P₂ = (3, 2, 1), P₁ = (1, 1, 1)

x - 2y + z = 0

(p₂p₃)

p₂ ≡ (4, 1), p₃ ≡ [5, -1]

2x + 4y + 6 = 0

p₂ = b

{x + 1/2 = 4

{y + 1/2 = 1/2

(P₄ = [7, 0])

Combinazione a

p₃ ≡ (5, -1), (p₄ ≡ [7, 0])

-2y - 7 = 0

(p₂p₄)

p₁ ≡ [3, 2] ,(p₂₃(7, 0))

2x + 4y - 14 = 0 => (x + 2y - 7 = 0)

Esercizio applicazioni lineari

A = [-2 0 1]( 3 0 )

B = [1 1 1] (1 0 1) [-1 0 -2]      R³

B' = [1 1 2] (4 -1)      R²

S = R³ R²    (-1, 1, 2) (4 , -1)

B = [v₁]  [v₂]  (u₁   u₂ )[-2 0 1] [3 0 ]

u = x, y, z = u₁ (1,1,1) + u₂ (1,0,1) + u₃ (1,0,-2)

u₁ + u₂ = xu₁       = yu₁ - 2u₃ = z

u₁ + u₂ = xu₁    +       = yx + u₂ - 2u₃ = z

u₂ = x - yu₃ = x - z

[v₁] = [-2 0 1] (2x - 2)(V₂)   [3 0 ]          ( -2x -7)

E B' B³

((y,4,z) > S (x,y,z) 7.5x + 12y + 8z - 2x - 3y

(-2x + 2) (-3x + 3y +2z) (-4, -1)

(-3x+2