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Operazioni tra vettori in Rn

Rn = {V ∈ Rn : (v1, v2, ..., vn) con vi ∈ R}

Somma con un altro vettore

u+v = (u1+v1, u2+v2, ..., un+vn) ∀u,v∈Rn → Rn

Prodotto con uno scalare

t·v = (t·v1, t·v2, ..., t·vn) ∀v∈Rn ∀t∈R → Rn

Prodotto con un altro vettore

u·v = ∑ uivi ∀u,v∈Rn → R

Proprietà delle operazioni tra vettori in Rn

  1. (u+v)+z = u+(v+z) ∀u,v,z∈Rn → Rn = Rn (operazione interna)
  2. (u+v)∈Rn, z ∈ R

Operazioni tra vettori in C

Somma con un altro vettore

z+z̅ = (x1+x2, y1+y2), x = Re(z), y = Im(z) ∀z ∈ C

Prodotto cartesiano/scalare

z·w = (x1x2 - y1y2, x1y2 + x2y1) ∀z,w ∈ C

Operazioni tra vettori in Rn

Rn = {v ∈ Rn | v = (v1, v2,..., vn)}. Si definisce n-upla (vettore di n coordinate/componenti) se poniamo n = 2.

Proprietà delle operazioni tra vettori in Rn

  1. (u + v) + z = u + (v + z) ∀u,v,z ∈ Rn → Rn = Rn (operazione interna).
  2. (u + v) ∈ Rn, u = (t1 + v n) = u ∈ Rn, v = (v1 + z &sub>j).
  3. (tS) ∈ Rn = Rn (operazione esterna).
  4. (t(u)) ∈ R2 = Rn, u = (tu).
  5. s(t(u)) ∈ Rn, v = Rn (operazione esterna).
  6. (u + v) ∈ R, u = (t + z)t, i ∈ R, u = (v - z)t &exists;!0 vettore nullo.
  7. R2 e R2. Null/identificano una somma tra vettore e un reale.

Operazioni tra vettori in C

Somma con un altro vetore.

Prodotto canonico/scalare.

Coniugato della somma.

Coniugato del %.

Prodotto scalare coniugato.

Formula di De Moivre.

Interpretazione geometrica delle operazioni in C

Sia z ∈ C, z = ρ(cos θ + i sin θ) = ρeiθ z1, z2 ∈ C |z|, z1, z2 ∈ C

z1·z2 = ρ1·ρ2 (cos(θ1 + θ2) + i sin(θ1 + θ2)) = ρ1·ρ2 ei(θ1 + θ2)

arg(z)π ∈ (−π, π) ⇒ z1·z2>0 ⇒ θ1 e

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Scienze matematiche e informatiche MAT/02 Algebra
I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Dami_19 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Algebra e geometria lineare e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Università degli Studi di Roma La Sapienza o del prof Sambusetti Andrea.
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