Geometria (sunto)

Spunto veloce

Operazioni tra vettori in Rⁿ

Rⁿ = {v ∈ Rⁿ | v = (v₁, v₂, ..., v_n)}. Per x definire m-u/. Nel testo de la coordinate/

Definiamo 5 lunghezze: |v| = √(v₁² + v₂² ... + v_n²) ∈ R

1. Somma con un altro vettore: v + u = (v₁ + u₁, v₂ + u₂, ..., v_n + u_n) ∈ Rⁿ → Rⁿ

2. Prodotto con un reale: λv = (λv₁, λv₂, ..., λv_n) ∈ Rⁿ → Rⁿ

3. Prodotto con un altro vettore: u*v = u₁v₁ + u₂v₂ + ... + u_nv_n ∈ Rⁿ × Rⁿ → R

Proprietà delle operazioni tra vettori in Rⁿ

1. u*v = v*u ∀ v, u ∈ Rⁿ × Rⁿ → R → R¹ (operazione interna)
2. (u+v)*z = u*z + v*z ∀ v, u, z ∈ Rⁿ → Rⁿ, R → R
3. (λu)*z = λ(u*z) ∀ λ ∈ R, ∀ v, z ∈ Rⁿ → Rⁿ, R → R (operazione esterna)
4. u*v = (u₁)² + (u₂)² + ... + (u_n)² ∀ v ∈ Rⁿ
5. |u + (v)|² = (|u|² + 2u*v + |v|²) ∀ v, u ∈ Rⁿ → Rⁿ → R (operazione esterna)
6. (λu)*v = λ(u*v), ∀ λ ∈ R, ∀ v, u ∈ Rⁿ → Rⁿ, R → R (operazione esterna)
7. |v| = √(v*v) ∀ v ∈ Rⁿ, v*v ∈ Rⁿ → R
8. u*v = 0 ⟹ u = 0 o v = 0 (vettore nullo)
9. v ∈ Rⁿ → R

R vettore un reale

|u*v| = u vettore u un reale

Operazioni tra vettori in C

• Somma con un altro vettore: z₁ + z₂ = (x + x', y + y'), z₁, z₂ ∈ C ∀ z ∈ C
• Prodotto cartesiano/scalare: z*₁ = (x', -y')* z₂ ∀ z ∈ C
• Coniugato della somma: z = (x + iy)', ∀ z ∈ C
• Coniugato del prodotto: (z₁z₂)'
• Coniugato del coniugato (z)' = z ∈ C
• Prodotti scalare coniugati: z*₁̅ = ( x') * z̅₂ ∀ z ∈ C
• Formula di De Moivre: zⁿ per n = 0, 1, z = 1ⁿ!

Interpretazione geometrica delle operazioni in _C

Sia z ∈ C, il punto è z₁(x₁, y₁) e z₂(x₂, y₂)

z₁ e z₂ ∈ C/ |z₁|, |z₂| ∈ C

• z₁ + z₂ = (x₁ + x₂, y₁ + y₂) = 2z₁ and 0 = 0
• x₁ = r₁cos φ
• y₁ = r₁sin φ

moltiplico con un vettore Z ∈ C per p^e risulta

Vettori in Rⁿ

• Vettore applicato P₀ = (u₁,..., u_n)
• Vettore generico PQ = (P₀), = (t₁,...,t_n) = Q - P

1. OP = P
2. OP + PQ = OQ

Sottospazi in Rⁿ di dimensione ² ≤ q ≤ n

V_q ∈ R_n, Rⁿ, Cⁿ, Rⁿ ≥ P₁P₂ ∈ C^q

(P₁ P₂) segmento da P₁ a P₂ riempito per la dimensione ^q

Gruppo

• Si definisce gruppo (A ,*) con A insieme e * operazione, se:
• (A,*) gruppo
• (A,+) gruppo abeliano
• (A, *) gruppo abeliano

Sottospazio tra due strutture algebriche

• Si definisce tra due strutture (X, *,) (Y,*) un omomorfismo f.

Baricentro di un triangolo

1. È un dipolar del sistema di riferimento astratto
2. GA + GB + GC = 0
3. ▹

Teorema di Pitagora

teorema di Pitagora

Determinante matrici

Si definisce determinante det(A₁K₁)=det(r, c…) a, e … c…

Esempio: A^(k), eliminando le colonne, il risultato viene b₁, b₂…

det(B)_i=det(B₁)=det(B_i-1)=det(B_i+1) = …

Significato geometrico dei determinanti

|det(v₁,…,| è l’area del paralleloigramma con lati (u₁,u₂-) = √(v x u…)

Dimostrazione

• B = fattore di base t₁t₂ con distanze da 1 a l.
• C = area della proiezione (|-√h

Considero le distanze Proj,... per K

Proprietà dei determinanti

1. det(A) è l’unico divisore che manda M_n(K) – K in iniezione.
2. det(A)= 1 dove r di (A)
3. det(I_n) dove r di (A)
4. det(λA)= λ_ndet(A) ridotta sommensionando lo spazio di E_x in corrispondenza di λ, x.
5. det(AB)=det(A)det(B)

se r(c_ij)_i=0, det(A^t)=det(A)

Applicazioni del determinante

1. det(A)₁=-det(A^t)
2. det(A)=0, a → colonna che 1
3. se A nei det(A)=1 e det(A^-1)=det(A)
4. det(AB)=det(A)det(B) (formulae di Binet)
5. se A=A′, a → A

Matrice cofatore

Si definisce matrice cofatto se Cgp(A)(k), e matrice Cgp(A_i), si det(Aj)=det(A_i)

Teorema: mette per regola segno – scatola (teorema bel congegnato, [il calco… dom.]...)’

Matrice inversa

Det(A)⟹ det(A)= 3A + A_cgp

Dimostrazione

1. Dato che mi accorgo che (A^t)(A)_i=^{det₍₂₃₎}
2. Se non è [A cgf(A)][=a_g] per l₁ allora t₁ ^{a→ b}
3. Se ho grazie, il ragazzo dettA_g per (ki)=det(A)_id
4. Poiché [A_cgf(z)]=det(A)vadem]r_cij allora: [det(A)]^-1

Matrice inversa

Sic det(A)= 3 = A_cgp

det(A)

Cuadrato

Lo prodotto vettori

• Nel (Rⁿ siano n=straction):
• Volume det(A,[…, v_{d}, x_y], det*

Applicazioni Lineari e Affini

Si definisce isomorfismo di spazi vettoriali (V_K, V'_K) la struttura F: V → V' un'applicazione lineare tale che:

dim(V) = dim(V') = K-dimensioni di F

Si definisce automorfismo di spazi vettoriali (V_K, V'_K) un isomorfismo F: V → V → V che l'applicazione lineare è un'applicazione lineare identità

Isomorfismo

Si definisce automorfismo di spazi vettoriali (V_K) un isomorfismo F: V → V che l'applicazione lineare è la identità

F: V → V t.c.

(F(T) = T(V)^-1(f(T))_PK con f: V → V

F: (f(T), f(T)(f(T) = T(V)^-1 (V)

Osservazione

Osservazione:

F: Rⁿ → R^m t.c. f(x₁, x₂)

f(x, x') = (x + y₁, y₂)

Matrice Associata ad un'Applicazione Lineare

Si definisce matrice associata ad un'applicazione lineare V rappresentata da E

Riflessione in ℝ² rispetto ad una retta p_α che forma angolo α con le ascisse

⇨ ℝ² → ℝ² (v, w) → o - v

<t, r>ℝ S_pα(P) = Sp ((o, o)P) = Sp((P)₁ P₂) o P₂= Sp(P) - Sp(P)P = o

Teorema sulle isometrie in ℝ²

(test.) Le isometrie in ℝ² sono: traslazione τ_α(v) rotazione R_θ (v) riflessione S_θ(v) , glissodisfossione C_π,θ (v)

Dimostrazione

Lo schema di dimostrazione potezis ∐∑^k +1^k

se K+1=π piotesisgl