Geometria - Appunti

Vettori

Fisso _O (origine)

Fisso _U (unità di misura delle lunghezze)

_OP segmento orientato di origine _O e estremo _P

☞ dico vettore applicato in _O

_OP caratterizzato da:

• direzione (retta passante per _O e _P)
• verso (verso andando da _O verso _P)
• modulo (lunghezza di _OP) |_OP|

Caso particolare:

Se _P si ottiene _O=_O

• |_OP| = 0
• direzione indeterminata
• verso indeterminato

Due vettori _OP e _OQ sono uguali quando _P = _Q

Nomenclatura:

_OP = _{a u} = _u

_OO = ₀ vettore nullo

Caso particolare:

Se |_OP| = 1

Operazioni tra Vettori

- Somma

_OP + _OQ

(Regola del parallelogramma)

Casi particolari:

1. _OP + _O = _OP
2. • _OP ha la stessa direzione di _OQ
   • |_OP| = |_OQ|
   • verso opposto

_OQ si dice opposto di _OP ⇒ _OQ = -_OP

Proprietà:

1. Dati OP e OQ, OP + OQ = OQ + OP (Proprietà commutativa)
2. Dati OP, OQ e OR, (OP + OQ) + OR = OP + (OQ + OR) (Proprietà associativa)

Conseguenza:

Posso sommare U₁ + U₂ + U₃ + … + Uₙ

3. Dato OP, OP + OP = 0
4. Dato OP, esiste ∃ OP vettore opposto -OP tale che OP + (-OP) = 0

Differenza

Dati OP e OQ, OP - OQ = OP + (-OQ)

Prodotto di un numero reale per un vettore

Dato OP e k ∈ ℝ

• stessa direzione di OP
• stesso verso se k > 0
• verso opposto se k < 0
• |k| * |OP| = |k| * ||OP||

Se k = 1/2

• -1/2 OP?
• -1/2 OP = 1/2 |OP|

Se k = 0

0 OP = |0| * |OP| = 0 => 0 OP = 0

Esempio

U = -OP + OQ

Trovare un versore che ha la stessa direzione di OP

Trovare k ∈ ℝ tale che

|k| |OP| = 1

|k| |OP| = 1

|k| = ¹/_|OP|

Prodotto Vettoriale

→ operazione che produce un vettore

• →A →B ≠ →B →A vettore
• direzione ortogonale a →A e →B
• verso (regola della mano destra)
• ||→A →B|| = ||→A|| ||→B|| sinθ

[ 0° ≤ θ ≤ π ] → 0 ≤ sin_θ ≤ 1

Es.

• Calcolare →F₃

|→A| = 1 |→B| = 1 sin 90° = 1·1·1 = 1 ⇒ →F →k

• Calcolare →B Λ →A = - →k

1. Quando |→AΛ→B|=0

• Quando →A=0 oppure →B=0
• Quando θ = 0° cioè quando →A e →B sono paralleli

Proprietà

1. Dati →A →B
   • →AΛ→B = - →B Λ→A (Proprietà Anticommutativa)
2. Dato m∈ℝ
   • (m→A)Λ→B = (m·||→A||)·||→B||·sinθ (Proprietà associativa)
3. Dati →u
   • (→u+→v)Λ→w = →uΛ→w+→vΛ→w (Proprietà Distributiva rispetto alla somma)

Ma non vale la proprietà associativa

Es.

• (→A Λ →B) Λ →C ≠ →A Λ (→B Λ →C)
• (→i Λ →j) Λ →k = 0 Λ →k = 0
• (→i Λ →j) Λ →i = →k Λ →i = →j ≠ 0

E₁(0, 1, 0, 3) (O, ω₁, ω₂, ω₃, x₀) param.

E₂(0, 3, 1, 1) (O, ω₁, ω₂, ω₃, x₀ ) param.

E₃(1, 1, 0, 2) (O, ω₁, ω₂, ω₃, x₀ ) param.

E₃:

Dato: O(1, 0, 0) ω₁(0, 1, 1) ω₂(0, 1, 1) x₀(2, 1, 0)

Sono coplanari le risp. 1° 2° 3°

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Piani nello spazio

Modi per individuare un piano α:

1) Un punto P₀ ε α e un vettore n n ε l α →(a, b, c)

d: (OP - OP₀) ∘ n = 0 → Equazione vettoriale

α: ax + by + cz + d = 0 → Equazione cartesiana

2) Un punto P₀ ε α e un vettore non parallelo

che punta su un inizio che è parallelo a α al piano α,

n ⊥ (OP - OP₀) n ≠ α vedere caso 1

d: (OP - OP₀) ∧ (OP - OP₁) = 0 → Equazione vettoriale

3) P₀, P₁, P₂ non allineati

Controllo allineamento

• OP₂ = k OP₁ (✔)
• OP₂ ≠ k OP₁ (✘)

→ OP₂, OP₁ sono copl. (✔)

d: p è il piano passante per PO₁ e ed

è parallelo a (OP₁ OP₂ ⧠ OP₂) → caso 2

d: (OP₀ - OP₂) ∘ ((OP₀ - OP₂) ∧ (OP₂ - OP₁)) = 0

In generale per passare dalla rappresentazione parametrica a quella cartesiana di una retta utilizziamo questo numeratore:

Se il denominatore è zero allora anche il numeratore è zero.

2) (0,z,1):

Dare una rappresentazione parametrica una carteseiana della retta r per (4,0,2) e ortogonale al piano x+2z=0

oppure

Per ottenere la rappresentazione cartesiana devo eliminare il parametro t della rappresentazione parametrica, e visto T devo vedere ma ciò non vuol per forza dire che debba essere t

= equazione cartesiana

4) Data r:

trovare una rappresentazione parametrica di r

Trovo un punto appartenente alla retta, P(0,2,-1) sulla retta

Trovo un vettore parallelo alla retta

Per farlo prima trovo 2 vettori ortogonali ai piani che intersecando

Ora faccio il prodotto vettoriale tra i due vettori trovati:

v^2: (2,0,-1) e (0,1,0) =