Esercizi sulle derivate con soluzioni

Derivata sinistra:

$$f'(x) = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{(x+h)^3 - x^3}{h}$$

Derivata destra:

$$f'(x) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{(x+h)^2 - x^2}{h}$$

Poiché le due derivate, benché finite, sono diverse, possiamo concludere che la funzione non è derivabile nel punto indicato.

Derivata sinistra:

$$f'(x) = \lim_{h \to 0^-} \frac{0^3 - 0}{h}$$

Forma indeterminata del tipo $\frac{0}{0}$.

$$f'(x) = \lim_{h \to 0^-} \frac{3h}{h} = \lim_{h \to 0^-} 3 = 3$$

Derivata destra:

$$f'(x) = \lim_{h \to 0^+} \frac{0^3 - 0}{h}$$

Forma indeterminata del tipo $\frac{0}{0}$.

$$f'(x) = \lim_{h \to 0^+} \frac{3h}{h} = \lim_{h \to 0^+} 3 = 3$$

Poiché le derivate sinistra e destra sono uguali, la funzione è derivabile nel punto $x=0$.

Calcolare, con le tavole di derivate,

le derivate delle seguenti funzioni:

1. $$y = -2$$

2. $$y = e^x$$

3. $$y = \pi x$$

4. $$y = x^{-1}$$

5. $$y = 3\ln(5x)$$

6. $$y = 3e^{-7x}$$

7. $$y = 1872x$$

8. $$y = \frac{1}{11x}$$

9. $$y = \frac{2x}{x+1}$$

10. $$y = \frac{5x}{4x+5}$$

11. $$y = \frac{x^2}{2\ln(2x)}$$

12. $$y = \frac{x^2}{e^x}$$

13. $$y = \frac{3}{3x}$$

14. $$y = \ln(x)$$

15. $$y = \frac{3}{x}$$

16. $$y = \frac{3x^2-2}{5x^3}$$

17. $$y = \frac{x^2+x}{3x\ln(3x)}$$

18. $$y = \frac{15x^4-4x^5}{5x^2\ln(x)}$$

19. $$y = \frac{2x^2+x}{\ln(x)+x\ln(4x)}$$

20. $$y = \frac{x^2-3x+1}{x\ln(x)-x\ln(x)\ln(x)}$$

21. $$y = \frac{2x^3}{x^2+x}$$

22. $$y = \frac{3x^2}{2x^2+x}$$

  y 2 x x y 3 2 x x 4 x 13 33y.   4 x 2 2 2 4 x 24 x 2    y e 12 x 12 x ey e 1 2   y log 2 x 3   y log e 2 log ez. 5 5 5 2 x 3 2 x 31 1  2 x 2 x    y e 2 x 2aa.  23 x 2 xy ln e 223 x 2 xe 23 x 2 x3 e1 x   x ln x 3 5 exbb. y  6 4 2 log 3 x 5 x x5 2 11 1    x 6 4 2           1 ln x x 3 ln 3 5 e log 3 x 5 x xx   5  22x x   y    26 4 2 log 3 x 5 x x5 2  1 1 1   x 5 3         x ln x 3 5 e log e 18 x 20 x 2 xx    2    6 4 2 3 x 5 x x 4  6 4 25  5 log 3 x 5 x x 2    26 4 2 log 3 x 5 x x5 2 a4. Calcolare le funzioni derivate fino al 4 ordine delle seguenti funzioni:  a.  x x x x iv x 

  y e y e y e y e   y 6 x y 6b. 3 2 iv     y x 2 x 4 y 3 x 2 y 01 3  y x 4 x 15.

Trovare per quali intervalli la funzione cresce/decresce.

Essendo una funzione algebrica razionale intera (polinomiale) il dominio è tutto R e la funzione è derivabile in tutto il dominio. Per calcolare gli intervalli di crescenza/decrescenza della funzione dobbiamo calcolare la funzione derivata e studiarne il segno:

1 2  y 3 x 4 da cui 2 y x 43

Per studiare il segno della funzione derivata è sufficiente impostare la disequazione:

  x 2 x 2da cui, risolvendo l’equazione associata che ha soluzioni e , si ha:2  x 4 0 1 2. Ricapitolando:

  x 2 o x 2   y ' 0 per quindi y cresce    ; 2 2; - 4 -