Esercizi svolti Analisi 1

Esercizi di prove scritte di Analisi Matematica I con schema di soluzione Paola Loreti April 5, 2006 1 1 ESERCIZI 1. Studiare la convergenza della serie numerica ∞ X 2 + cos(nγ ) nγ 2 −2γ+17 n=1 al variare di γ ∈ IR. 2. Calcolare l’integrale Z 2π |x − 0 π | sin x dx. 2 3. Studiare e disegnare il grafico della funzione 1 f (x) = e x2 −1 . 4. Determinare e disegnare l’insieme di definizione di f (x, y) = log(1 − x2 − y) − log(y − x2 ). SOLUZIONI 1. La serie è a termini positivi. ∞ ∞ X 2 + cos(nγ ) X 3 < +∞. ≤ n16 nγ 2 −2γ+17 n=1 n=1 Quindi, per il confronto con la serie armonica generalizzata, la serie converge per ogni γ reale. 2. Abbiamo Z 2π Z π2 Z 2π π π π (−x + ) sin x dx + (x − ) sin x dx. |x − | sin x dx = π 2 2 2 0 0 2 Integrando per parti l’integrale contenente x sin x si ottiene Z 2π π |x − | sin x dx = −2 − π. 2 0 3. Insieme di definizione: D(f ) = (∞, −1) ∪ (−1, 1) ∪ (1, ∞) La funzione è pari, pertanto basta studiare il comportamento per x ≥ 0. 2 Troviamo 1 , e lim− f (x) = 0, f (0) = x→1 lim f (x) = +∞, x→1+ lim f (x) = 1. x→+∞ Calcoliamo la derivata : f 0 (x) = f (x) −2x . (x2 − 1)2 Poichè f è positiva per ogni x nel suo dominio di definizione, ne segue che f 0 è positiva per x < 0 , e f 0 è negativa per x > 0, mentre f 0 (0) = 0. Allora f è decrescente in (0, 1) e in (1, ∞) mentre f è crescente in (−1, 0) e in (−∞, −1). Pertanto 0 è un punto di massimo. Dopo avere eseguito i calcoli risulta f (x) f 00 (x) = 2 (6x4 − 2). (x − 1)4 √ Pertanto f 00 è positiva se x > 1/ 4 √ 3 e x 6= 1 mentre risulta negativa se 0 ≤ x < √ √ 4 4 1/ 4 3. Allora f è concava in (0, 1/ 3), convessa in (1/ 3, 1) e in (1, ∞), flessi √ in x = ±1/ 4 3. Segue il grafico. 4. Ricordando che le operazioni sui logaritmi sono possibili quando questi sono definiti, imponiamo 1 − x2 − y > 0, y − x2 > 0. Da cui l’insieme A = {(x, y) : x2 < y < 1 − x2 }. 3 2 ESERCIZI 1. Studiare la convergenza della serie numerica seguente: ∞ X (−1)n n . 4n n=1 2. Calcolare l’integrale Z 3 |x + 2| + |x − 1| dx. −3 3. Studiare e disegnare il grafico della funzione f (x) = x2 e−|x| . 4. Determinare l’insieme di definizione di √ f (x) = sin x − cos x. SOLUZIONI 1. Applichiamo il criterio del rapporto | an+1 (−1)(n + 1) 1 n+11 1 (−1)n+1 (n + 1) 4n |=| |= ≤ <1 |=| an 4n+1 (−1)n n n 4 n 4 2 per ogni n. La serie è pertanto convergente. 2. Abbiamo Z −2 Z (−x − 2) + (−x + 1)dx = −3 −2 −2x − 1dx = −x2 − x|−2 −3 = 4, −3 Z 1 Z 1 (x + 2) + (−x + 1)dx = −2 Z −2 3 Z (x + 2) + (x − 1))dx = 1 3dx = 3x|−2 1 = 9, 3 2x + 1dx = x2 + x|31 = 10. 1 Da cui Z 3 |x + 2| + |x − 1|dx = 23. −3 3. La funzione è pari ed è definita in IR e ivi continua. Inoltre f è non negativa. Assumiamo x ≥ 0. Allora abbiamo lim x2 e−x = 0 x→∞ 4