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Analogamente per la funzione G(y) ∃ g2 ∈ (y0,y) ∃G(y)-G(y0) = G'(g2)(y0) = [∂g/∂x (x,y2) y2] - (y-y0)

Sempre per il th. di Lagrange applicato alla funzione derivabilef(y,x0,y2) in [x0,x] si ha che ∃ un punto x2 compreso fra x0 e x ∃G'(x-y0) = [fx2 fyx (x2,y2)](x-x0)(y-y0)

Osserviamo che: F(x) - F(x0) = G(y) - G(y0)

Dunque fxy (x1,y1) (x-x0)(y-y0) = fxx2y2(y-y0)(x-x0)Siccome x ≠ x0 e y ≠ y0 definiamo che:∂xy (x1,y1) = fyx (x2,y2)

Passando al limite si ha chiaramente:(x1,y1) → (x0,y0) e (x2,y2) → (x0,y0) - Per la continuità dellafxy e fyx risp. in (x0y0)

∀xy (x1,y1) → ∂xy (x0,y0)

∴ ∂fxy(x0,y0) = ∂fyx (x0,y0)

ESERCIZI DERIVATE PARZIALI

  • β = x2 + 2y
    • ∂/∂x β = 2x ; ∂/∂y β = 2
  • β = xy
    • ∂/∂x β = y ; ∂/∂y β = x
  • β = (x+y)(x-y)
    • ∂/∂x β = (∂/∂x (x+y))β'(x-y) + ((x+y)) ∂/∂x (x-y) = (x-y)((∂/∂x (x+y))+(x+y) ∂/∂x
  • ∂/∂x β = (x-y)((∂/∂x (x+y))+(x+y)( ∂/∂x (x+to)) = xy + (x-1)(∂/∂x (x+y)) =
    • y=const
  • ∴ x+y + (x-y)(∂/∂x (x)) ∂/∂x y = x+y + (x-y)+(1+0) = -2x
  • ∂/∂y β = -2y

Analogamente per la funzione g(y) ∃ g2 ∈ (y0, y) ∃ g'(y0) = G'(g2)[fyx(g2, y2) - fy(x0, y2)] - (y - y0)

Sempre per l.th. di Lagrange applicato alla funzione derivabilefxy(xo, y2) in [x0, x]si ha che ∃ un punto x2 compreso fra x0 e x∃ fxy* G'(y0) = [f(x2, y2)](x - x0)(y - y0)

Osserviamo che F(x) - F(x0) = fy(x) - G(y0)

Dunque fxy(x1, y1)(x - x0)(y - y0) = ∂fyX (x2, y2)(y - y0)(x - x0)

Siccome x0 ≠ x e y0 ≠ y definiamo che:

∂fxy(x1, y1) = ∂fyx(x2, y2)

Passando al limite si ha chiaramente

(x1, y1) → (x0, y0) e (x2, y2) → (x0, y0) - per la continuità dellafxye fyx risp. in (x0, y0)

∂fxy(x1+1) → ∂fxy(x0, y0) ⇒ fxy(x0, y0) = fyx(x0, y0)

1. β = x2 + 2y

∂β/∂x = 2x ; ∂β/∂y = 2

2. β = xy

∂β/∂x = y ; ∂β/∂y = x

3. β = (x+y)(x-y)

∂β/∂x = (∂/∂x (x+y))(x-y) + (x+y) ∂/∂x (x-y) = (x-y) (∂/∂x (x+y)) + (x+y) ∂/∂x x +

∂β/∂x = (x-y) ( ∂/∂x (x+y) + (x+y)(1+0) = x+y + (x-1)(∂/∂x (x+y)) = x+y +(x-y)(

∂/∂x)(x)+(x+y) = x+y + (x-y)( ∂/∂x (x)+1) = -2x

∂β/∂y = -2y

ESERCIZI DERIVATE PARZIALI

f = x/y

∂f/∂x = 1/y

∂f/∂y = -x/y

f = (x-y)/(x+y)

∂/∂x f = (x-y)⋅(x+y) - (x-y)(x+y) / (x+y)2 =>

= ∂/∂x[x-y ⋅ ∂/∂x f] ⋅ (x+y) - [(x-y)⋅(∂/∂x x + ∂/∂x (y))] =

= / (x+y)2

= (x+y) - (x-y) - x+y = 2y

= / (x+y)2

= ∂f/∂x (x,y) - 2y / (x+y)2

∂/∂y f = ∂/∂y [x-y ⋅ ∂/∂y (x+y)] ⋅ (x+y) - [(x-y) ⋅ (∂/∂y [x + ∂/∂y (y)])] =

= (x+y)2

= x+y - (x+y) - x+y = 0

= (x+y)/ (x+y)2

=> ∂f/∂y (x,y) = -2x / (x+y)2

∂(x,y) = x+y / 1-x,y

∂/∂x = (x+y) ⋅ (1-x,y) - [(x+y)⋅(1-x,y)] / (x-y)2

= / (1-xy)2

∂/∂x[(x,y)] = [∂/∂x] [1-x,y] - [(x+y)⋅∂/∂x (1-x,y)] = 0

= 1-x,y - [(x+y)(1-x,y) - (x+y)]

= (1-xy)2

fx(x,y) = 1+y2/(1-xy)2

∂yg(x,y) = [∂y(x)[∂y(x2+y2)]] = (x2+y2)/(x2+y2)2

= x2+y2-x/x2

∂2g(x,y) = (x/x+y2)

∂yg(x,y) = 2xy/(x2+y2)2

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