Esercizi di Tecnica Delle Costruzioni sul telaio al II ordine

Prova C. Telaio

C. Analisi telaio al secondo ordine

Dati:

E= 206 GPa = 206000000 kN/m²Pilastro HEA300: I_{p nel piano} = 6310 cm⁴; I_{p fuori piano} = 18260 cm⁴ (per la risoluzione del telaio devo considerare questa inerzia);A = 112.5 cm²

Travi: I_t = 91300 cm⁴I_t = 5 I_pL = 4.8 * (1 + 0.02 * N) = 5.184 m con N = Prima lettera del nome = 4

Richieste:

1. Determinare il carico critico (p_crit) del telaio sopra rappresentato.
2. Studiare la struttura sopra rappresentata al secondo ordine, considerando un carico p = 0,4 p_crit secondo i tre livelli di approssimazione visti a lezione. Disegnarne la deformata e i diagrammi delle azioni interne.

C.1 Analisi cinematica

Sistema di equilibrio

Attraverso la risoluzione del sistema di equazioni di equilibrio in forma matriciale: si ottengono le incognite cinematiche di rotazione Φ₁, e spostamento η₂.

Φ₁ = -0,005814 pL³/EI

η₂ = 0,000969 pL⁴/EI

Momenti

Si stabilisce una nuova convenzione di segni e mediante del principio di sovrapposizione degli effetti si ricavano i momenti agenti sulla struttura.

• M_AC = (3EI_L²) x (0,000969 pL⁴/EI_L) = 0,002907 pL²
• M_DC = -pL²/8 - (15EI_L) x (-0,005814 pL³/EI_L) = -0,03779 pL²
• M_BD = (-2EI_L) x (-0,005814 pL³/EI_L) - (6EI_L²) x (0,000969 pL⁴/EI_L) = 0,005814 pL²
• M_DB = (4EI_L/L) x (-0,005814 pL³/EI_L) + (6EI_L²) x (0,000969 pL⁴/EI_L) = -0,017442 pL²
• M_DE = (-3EI_L/L) x (-0,005814 pL³/EI_L) + (3EI_L²) x (0,000969 pL⁴/EI_L) = 0,020349 pL²

TAGLIO [V_PL] (positivo se orario)

0,5

0,020349

0,53779

2.396

0,46221

0,002907

0,023256

Primo Livello: Metodo approssimato

Per la valutazione dei coefficienti del sistema risolvente, mediante tale metodo, si linearizza il problema scegliendo un regime di azioni assiali invariante, stimato approssimativamente in base all'assetto strutturale. Si ipotizza quindi la seguente distribuzione di azioni assiali all'interno della struttura:

Si ottengono quindi i seguenti valori di azione assiale e di azione assiale adimensionalizzata ν:

Calcolate le varie ν, è possibile definire i seguenti valori dei coefficienti correttivi G:

Stabiliti i coefficienti correttivi si calcolano i nuovi valori dei coefficienti della matrice di rigidezza per la determinazione delle incognite cinematiche. Si ricavano, per i due casi, i seguenti valori:

CASO 1

m₁₁ [kNm] 154374,816

f₂₁ [kN] 4456,672

CASO 2

m₁₂ [kNm] 4456,672

f₂₂ [kN] 2977,016

CASO 0

m₁₀ [kNm] 7106,508

f₂₀ [kN] 0

I valori di momento comunque non si discostano molto da quelli ottenuti al primo livello.

La matrice di rigidezza e la matrice delle soluzioni di spostamento e rotazioni sono:

MATRICE DI RIGIDEZZA

154374,816 4456,672

4456,672 2977,016

TERMINI NOTI

-7106,508

0,00

Determinato il valore delle incognite, per sovrapposizione degli effetti è possibile calcolare le azioni interne di momento flettente e taglio nella struttura, e successivamente, tramite gli equilibri, le azioni assiali, giungendo ai seguenti risultati:

DEFORMATA QUALITATIVA