Tecnica delle Costruzioni II - Esercizi A

TEORIA DEL II ORDINE

Mediante l’equilibrio della configurazione deformata individuiamo:

• CINEMATISMI: Spostamenti u e rotazioni φ
• SOLLECITAZIONI: N/V/M

La teoria del II^o ordine è applicabile con il tipo di piccoli SPOSTAMENTI con piccole DEFORMAZIONI, con le quale posso calcolare il CARICO CRITICO.

1. ASTE ISOSTATICHE
   • LINEA ELASTICA FLESSIONALE estesa al II^o ordine con comfunzione deformata (coefficiente di flessibilità corretti γ_o,f) CURVATURA
     • EI = cost
     • V(x) = V(x) = Φ(x) = -N Φ=0 ∝   EI
     • M(x) = M^v(x) + M^f(x) = M + P ψ(x)
   • y'''' (x) +   ^P/_EI   y(x) = -^M/_EI

   y(x) = y_o(x) + y_P(x)

   • omogenea associata y_g(x) = A cosαx + B sinαx
   • soluzione particolare y_P(x) = C x² + D x + E
   • sostituisco nell’eq. differenziale   2 C + α² (C x² + Dx + E) = - ^M/_EI C = D = 0  2C E= -^M/_EI
   y(x) = A cosαx + B sinαx - ^M/_EIα²

C.C.

• y(0) = 0   A - ^N/_EIα² = 0 → A = ^M/_EIα²
• y(l) = 0   αl sinαl + αlB sinαl = 0 → B = ^M/_EIα tg αl / EIα

→ y(x) = ^M/_EIα cosαx + (M_l/_EIα) sinαx + [cosαx + tgαsinαx - 1] y(l) = ^M/_zEI ( [cosαl + sinαl

1]

SPOSTAMENTO²/_EI&talpha; ^{cosαl - [(cosαl - tgαsinαl - 1} ] tangentiels)

y(x) = y_E(x) + y_H(x)

y_H(x) = M sin α x + M tg α cos α x

soluzione Z E T I del I Ordine

V(x) = Q E T

Q(x) = M tg α

carico di INSTABILITÀ: imponiamo una considerazione di meccanismo alla struttura in movimento e quindi rimozione dell’equilibrio

Φ(O_E) = ∞

nota: la soluzione del I^II Ordine si avvicina maggiormente alla soluzione del I Ordine, minore è la sollecitazione assiale, maggiore la flessibilità e minore il carico alla luce. Per effetto del carico assiale, gli effetti del I Ordine sono amplificati rispetto a quelli del II Ordine.

b) ASTE IPERSTATICHE → METODO delle FORZE (M.d.F.)

E I = cost (1)

NB se avrei dappertutto il pattino a cerniera orizzontale, la struttura è equivalente ad una snella con traccia su E

2. Forze assiale applicate su E

es. di CONGRUENZA _R X

l

X = 1

Ψ_Bx = al / y_gal

E I = E I g_n

l = l

carico di instabilità: X = ∞

c) SISTEMI di ASTE (TELAI) → METODO degli SPOSTAMENTI (M.d.S)

K U = F

matrice delle RIGIDEZZE

Γ₂ = 5,4 · 10⁷mm⁴ (HEA 220)

E_y = 205.000 MPa

q = 20 N/mm

eq. di equilibrio:

V_c0 = 0

Kc_σ + V_c0 = 0

• σ₁
• σ₂
• σ₃

Rx

Rx + 1 - Rx - Nx = 0

Kc_c = 3EI Gvb h²

Kc_σ = 3EI Gvb h² 2qlⁿ

r_n

Hd

Nce = q_ce l

EJ - absql MMC

1. [Nce] = [qce]_EI
2. [^π²/_12l²]
3. [3^EI/h²][qcel]

Lk

Nota instabilità localizzata delle bilele

[Nce]

• [H]

Inerzia equivalente

[Statica instabilità]

Analisi cinematica

2l

Struttura semplificata

Struttura cavi

Modi spostabili

Leg. di equilibrio

M_∞ =

5ql²

A

V_∞ =

5ql/8

B

3ql/8

1) l =

K_λ1 = 3EI + l 2EI

h

K_λ1 = 3EI

K_λ2 =

3EI

2) l

K_λ3 = 3EI + 3EI

K_λ3 =

Nota: Non posso usare la teoria linearizzata

Plintor non fisse

Quindi 1 considerato a nodi fissi

G_m=0.94097

G_a=0.9546

G_l=1.0485

Progetto struttura in acciaio

Norme di riferimento:

• NTC08 + Circ. 2010
• Eurocodice 3 (acciaio)
• CNR-UNI 207/2008 (vento)

Carichi strutturali:

1. Permanenti strutturali (G₁): γ_acc = 7850 kg/m³
2. Permanenti non strutturali (G₂): 0.1 kN/m²
3. Variabili (Q_e):
• Appesi: 0.3 kN/m²
• Destinazione d’uso copertura: 0.5 kN/m² (residenziale 2 kN/m²)
• Temperatura: ΔT_m = +15°C, αT = 12*10^–6 °/K
• Neve (Provincia di Brescia - Zona 1): q_sc = 1.5 kN/m² per qs > 20 cm
• Sisma:
• T_n = 50 anni vita nominale
• Q_u = 1 coeff. d'uso della struttura
• Categorie del sottosuolo, topografico
• β = 5% smorzamento equivalente

1) ₁h

2) N₁₂⋅cos55°-V₁₂cos15°=0

N₁₄+V₁₂sin15°-N₂⋅cos15°=0

N₁₂=25.5349

N₄=24.2919

14° h

3)

N₄₅+N₃₄cos30°+N₂sin30°-N₄=0

N₃₄sin30°-N₂cos30°=0

N₃₄=4.79739

N₄₅=14.8999

^3₄ih

i)

N₃₄cos60°-V₂₃cos45°-N₂₃cos15°=0

V₂₃=23.3179

N₂₃cos60°+V₂₃cos60°-V₂₃cos75°=0

N₂₃=20.1169

32 N

PUNTONE

Profilo H_{EA 200 - S235}

t_bf=10mm t_tw=6.5mm A=5580mm²

b=200mm w=190mm r=13mm

c=h-(2r+2z_cf)=13.4mm b=4240mm

t_x=3.682⋅10⁷mm⁴ t_y=1.356⋅10⁷mm⁴

W_el,x=3.886⋅10³mm³ W_ely=4.295⋅10⁵mm³ (+11.7)

W_pl,x=1.336⋅10⁵mm³ W_pl,y=2.038⋅10⁵mm³ (+5.3)

c=22 < 33 (cioè NTC) => CLASSE 1

(eq instabilita locale)

Dallo STUDIO dei MODI precedenti

M_ed=189.19=35.46KNm

V_ed=83139=42.92KN

N_ed=25.5349=455.276KN