Esercizi di Tecnica Delle Costruzioni

Prova B. Trave di fondazione

Sezione trave di fondazione:

Quote della sezione in cm.

Dati:

• L=3.5*(1+0.02*C)=4.27 m con C= prima lettera del cognome=11
• E=30 GPa
• k=0.15 N/mm²
• q=10 kN/m
• P₁=320 kN
• P₂=550 kN
• P₃=630 kN
• P₄=750 kN

Calcolare le sollecitazioni nella trave di fondazione sopra riportata e disegnarne i diagrammi e la deformata secondo i 3 metodi sotto elencati:

1. Soluzione di trave elastica su suolo elastico;
2. Soluzione con trave infinitamente rigida flessionalmente, semplicemente appoggiata in corrispondenza dei pilastri e caricata dalla reazione del terreno;

3) Soluzione con letto di molle che considera la condizione di simmetria a metà campata tra due pilastri analizzando i due conci di trave a cavallo di un pilastro centrale e di un pilastro di bordo.

B1. Modello di trave elastica su suolo elastico

L'analisi delle travi continue di fondazione può essere condotta ipotizzando un modello elastico del comportamento del terreno. Per la trattazione si decide di assumere perciò un suolo alla Winkler, sapendo di trascurare nell'analisi le eventuali azioni concentrate lungo i bordi della fondazione dovute alla coesione del terreno, il quale alla Winkler è schematizzato attraverso un letto di molle.

Esistono due ipotesi per rendere plausibile il modello:

1. suolo composto da molle incoerenti: cioè molle che non trasferiscono il taglio tra di loro, si ha perciò che la rigidezza K del terreno è costante
2. terreno come vincolo bilatero: avendo spostamenti verso il basso (mai trazione del terreno) posso semplificare l’analisi considerando il terreno come un vincolo bilatero anziché unilatero (come è nella realtà)

Nell’ambito delle approssimazioni del modello di Winkler, l’equazione indefinita di equilibrio elastico della trave (a sezione costante) si deduce partendo dall’equazione differenziale generale al 4° ordine della linea elastica che tiene conto di equilibrio congruenza e legame costitutivo:

-EI ^d4v/_dx⁴ + p(x) = 0

Nella quale bisogna però adesso considerare la reazione di sottofondo uniformemente distribuita data dal letto di molle che si oppone abbassandosi sotto l’effetto del carico applicato tramite l’equazione:

p(x) = q(x) - r(x)

dove:

• q(x): carico uniformemente distribuito sulla trave (N/m), dato dal peso proprio p’ (pari a 13,625 kN/m, assumendo ρc = 25 kN/m³) e dal carico distribuito q assegnato (pari a 10 kN/m);
• r(x): è la reazione offerta dal sottofondo (letto di molle) per unità di lunghezza. Si ipotizza che il terreno reagisca con una reazione vincolore distribuita verso l’alto assimilando perciò la trave rovescia a una trave su più appoggi con carico distribuito variabile. La reazione vincolare del terreno, r(x), è pari a:

r(x) = k(x) * b * v

dove:

• k(x): costante di sottofondo del terreno, dipende dal tipo di terreno analizzato (N/m³);
• b: spessore dell’impronta della trave, influisce sulla reazione offerta dal terreno (m);
• v: spostamento in direzione ortogonale alla linea d’asse della trave (m);

L’equazione differenziale della trave elastica diventerà quindi:

Diagramma del taglio

Concio pilastro centrale

Diagramma dello spostamento

Diagramma del momento

Diagramma del taglio