Tecnica esercizi

E P

 LEMENTI RECOMPRESSI

Cadute di Tensione



Per esempio, si assumano due valori plausibili per gli accorciamenti in questione. L’accorciamento finale dovuto al ritiro da essiccamento può essere: ɛ ≃

,∞

0,25‰

Il coefficiente di viscosità a tempo infinito può valere: (∞, ) ≃ 2,0

0

Si assume che il calcestruzzo sia di classe C32/40. La tensione di compressione quasi permanente ha il valore: = 10

0,3 0,3

+8 32+8

ed il modulo elastico normale è:

= 22000 ⋅ ( ) = 22000 ⋅ ( ) = 33346

10 10

10

Ne deriva il seguente accorciamento viscoso finale:

(∞, ) )

ɛ = (∞, = ⋅ 2,0 = 0,60‰

0 0

33346

Pertanto, l’accorciamento dell’armatura da precompressione, uguale all’accorciamento del calcestruzzo ed associato con le cadute di tensione per ritiro e viscosità,

si quantifica in: ɛ = ɛ + ɛ (∞, ) = 0,25 + 0,60 = 0,85‰

,∞ 0

Si assuma che lo sforzo da applicare sull’armatura da precompressione sia: = 1000

Si confrontano due casi ipotetici in cui si usi un acciaio normale oppure un acciaio ad alto limite elastico.

— Usando barre B450C, la tensione di snervamento è: ≥ = 450

Le barre potrebbero essere tesate alla tensione: = 400

pari a quasi 90% della tensione minima di snervamento. 3

1000⋅10

L’area di acciaio necessaria per la precompressione vale: 2

= = = 2500

400

400

Con un modulo elastico normale di valore: l’allungamento iniziale alla tesatura risulta essere:

= 210 ɛ = = = 1,90‰

210000

La caduta della tensione dovuta all’accorciamento per il ritiro e per la viscosità vale: = ⋅ ɛ = 210000 ⋅ 0,85‰ = 178

178

Pertanto, la caduta ammonta a: = = 44,6%

400

⋅ɛ ɛ 0,85‰

Ovviamente, la percentuale coincide con l’accorciamento per il ritiro e la viscosità rispetto all’allungamento iniziale:

= = = = 44,6%

⋅ɛ ɛ 1,90‰

Tale caduta di tensione non è accettabile, perché eccessiva.

Di fatto, i primi elementi precompressi, armati con gli acciai normali, perdevano la precompressione quasi interamente con il trascorrere del tempo.

— Usando fili d’acciaio armonico trafilati a freddo, la tensione allo 0.1% di deformazione residua e la tensione di rottura sono:

≥ 1420

(0,1)

≥ 1570

0,90 = 0,90 ⋅ 1420 = 1278

(0,1)

I fili pre-tesi possono essere tesati alla tensione (4.1.8.1.5): = 1200< {

0,80 = 0,80 ⋅ 1570 = 1256

15

3

1000⋅10

L’area di acciaio necessaria per la precompressione vale: 2

= = = 833

1200

A parità dello sforzo T, la maggiore resistenza dell’acciaio armonico si traduce in una sezione sensibilmente minore. 1200

Con un modulo elastico normale di valore: l’allungamento iniziale alla tesatura risulta essere:

= 200 ɛ = = = 6,00 ‰

200000

Il valore elevato della tensione e la sostanziale costanza del modulo elastico comportano allungamenti molto rilevanti.

Per esempio, su una lunghezza di 30 m si trova: 2

= ∙ ɛ = 30 ⋅ 10 ⋅ 6,00 = 18

Invero, secondo le norme tecniche la stima delle tensioni generate nell’armatura da precompressione si deve basare sia sulla misura dello sforzo applicato sia

sulla misura del contemporaneo “allungamento conseguito” (4.1.8.3).

Gli accorciamenti per il ritiro e per la viscosità non cambiano rispetto al caso precedente. Infatti, essi dipendono dalle caratteristiche del calcestruzzo, dalla sua

stagionatura al momento della precompressione e dall’entità delle tensioni di compressione. Il modulo elastico dell’acciaio armonico è simile a quello dell’acciaio

normale, perciò la caduta della tensione per il ritiro e per la viscosità non differisce molto da quella calcolata nel caso precedente:

= ⋅ ɛ = 200000 ⋅ 0,85‰ = 170

Tuttavia, siccome la tensione iniziale è molto maggiore nell’armatura da precompressione, la caduta di tensione in percentuale si riduce di molto rispetto al caso

170

precedente dell’armatura normale: = = 14,2%

1200

ɛ 0,85‰

Ovviamente, questa medesima percentuale coincide con l’accorciamento per il ritiro e per la viscosità rispetto all’allungamento iniziale: = = 14,2 %

ɛ 6,00‰

Pertanto, al contrario del caso precedente, in questo caso la caduta di tensione è accettabile.

Con le barre d’acciaio normale, lo sforzo residuo sarebbe: − = ( − ) = 2500 ⋅ (400 − 178) = 554

Con i fili d’acciaio armonico, lo sforzo residuo è ancora utile, valendo invece: − = ( − ) = 933 ⋅ (1200 − 170) = 858

Carichi Equivalenti



Come primo esempio di applicazione, si esamina la seguente trave isostatica semplicemente appoggiata.

Assumendo che gli angoli siano piccoli, i carichi equivalenti concentrati alle due estremità valgono, a meno dei segni:

=

8h 4h

= tan = ⋅ ′ ( ) = ⋅ ⋅ = ⋅

0 2

2 2

=

8h

In valore assoluto, il carico equivalente trasversale distribuito è: = =⋅

2

4h 8h

Come deve essere, i carichi equivalenti risultano autoequilibrati: 2P = 2 ⋅ =⋅

8h 8h

= ⋅ ⋅ = ⋅ ≡ 2P

2

Essendo la trave isostatica, l’equilibrio implica che le reazioni vincolari siano nulle. Pertanto, la precompressione si traduce nei soli carichi equivalenti. Le caratte-

ristiche di sollecitazione, dedotte dai carichi equivalenti, hanno i diagrammi raffigurati.

In effetti, il momento minimo nella sezione di mezzeria vale: 2

4h 8h

= − − ⋅ + ⋅ ⋅ = − − ⋅ ⋅ + ⋅ = − − ⋅ 2h + ⋅ ℎ = −( + ℎ)

2

2 2 4 2 8

Si riconosce che il momento minimo coincide con il momento di trasporto dello sforzo di precompressione sul baricentro della sezione di mezzeria. In realtà,

siccome la trave è isostatica e le reazioni vincolari sono nulle, le caratteristiche di sollecitazione si possono dedurre in modo diretto. E’ lecito ignorare i carichi

equivalenti e trasferire lo sforzo di precompressione dalla posizione dell’armatura al baricentro della sezione generica.

16 Preliminarmente, il tracciato dell’armatura di precompressione si formula in funzione dell’ascissa x. Essendo X =

2

4h

x - l 2, si ha: () = + ℎ − ( − ) = + ℎ − ( − )

2

2 2

Sempre sotto l’ipotesi di angoli piccoli, proiettando lungo x lo sforzo di precompressione nella sezione all’ascissa

generica x si ritrova lo sforzo assiale costante di compressione: () = cos() ≃ ⋅ 1 =

Lo sforzo di taglio nella sezione generica, positivo se antiorario, è la componente lungo y dello sforzo di precom-

4h 8h

pressione: () = () ≃ tan() = ⋅ ′() = ⋅ (−2) ⋅ ( ) ( − ) = ⋅ ( − )

2 2

2 2

8h 4h 8h 4h

Questa legge coincide con il diagramma di prima. Si ritrova: (0) = ⋅ ( ) ( − 0) = ⋅ () = ⋅ ( − ) = − ⋅ (/2) = 0

2 2

2 2

Infine, il momento flettente nella sezione generica, dedotto come momento di trasporto dello sforzo di precompressione, è:

2 2

4h 4h 4h 4h

2

() = −cos() ⋅ () ≃ ⋅ 1 ⋅ () = − + ℎ − ( ) ( − ) = − + ℎ − ⋅ + ⋅ − ⋅

[ ] ( )

2 2 2 2

2 4

4h 4h 4h

2 2

− ( − ⋅ + ⋅ ) = − [ + ( − )]

2 2 2

2 2

4h 4h 4h

Si ritrova: (0) = () = − [ + (0)] = − ( ) = − [ + ( − )] = − ( + ∙ ) = −( + ℎ)

2 2 2

2 2 4 4

Come secondo esempio di applicazione, si esamina la seguente trave iperstatica continua su tre appoggi.

Il tracciato del cavo è rettilineo, quindi la posizione è costante così come l’inclinazione (≡ 0). I carichi equivalenti valgono:

=

= 0

=

, , = 0

Anche in questo caso i carichi equivalenti alla precompressione sono autoequilibrati. Tuttavia, siccome la trave è iperstatica, l’equilibrio implica reazioni vincolari a

loro volta autoequilibrate ma, in generale, non nulle. Si valutino le deformazioni causate dai carichi equivalenti nel sistema isostatico principale in figura.

Il carico equivalente assiale P , applicato sui baricentri delle testate, produce soltanto un accorciamento: realisticamente, la trave è libera di deformarsi nella

x

direzione orizzontale. Invece, il momento equivalente M causa una curvatura e l’innalzamento della trave: a ciò si oppone la reazione iperstatica Y.

L’incognita iperstatica si può calcolare imponendo la condizione di con-

gruenza sulla freccia nella sezione di mezzeria: () = ()

Sostituendo le espressioni delle frecce, si ottengono le reazioni:

2 3

6M 6⋅ 3Pe

= →= = =

8EI 48EI 2l

3Pe

= =

2 2l

In definitiva, nel caso della trave iperstatica la precompressione produce due generi di caratteristiche di sollecitazione:

— quelle dette primarie, dovute ai carichi equivalenti;