esercitazione di laboratorio - calcolo della densità di un cilindro

Esercitazione di laboratorio sul calcolo della densità di un cilindro

Utilizzando un set di dati sperimentali, contenenti una serie di misure per la massa, il diametro e l'altezza di un cilindro omogeneo, si procederà alla determinazione dei valori medi delle grandezze precedentemente elencate e le relative incertezze. Si costruiranno 3 istogrammi per le serie di misure e si calcolerà infine la densità del cilindro propagando le incertezze dei 3 parametri. La stima ottenuta verrà infine paragonata ai valori di densità di diversi materiali per dedurre quale sia quello del corpo in questione.

Strumenti di misura utilizzati:

• Una bilancia digitale per la misurazione della massa del cilindro (precisione 0,1g)
• Un metro a nastro per la misurazione dell'altezza del cilindro (precisione 0,1cm)
• Un calibro ventesimale per la misurazione del diametro del cilindro (precisione 0,05 mm)

SET DATI

m [g]	h [cm]	d [mm]
40,2	10,00	8,50
40,4	10,10	8,55

8,2540,0 11,00 9,0040,9 10,50 8,5040,6 10,20 8,1040,5 10,70 8,35

Formule utilizzate :

• Formula per il calcolo della media aritmetica: N∑ xi / N
• Formula per il calcolo della deviazione standard della media aritmetica: √((N∑ xi^2 - (N∑ xi)^2) / (N(N-1)))
• Formula per il calcolo del volume del cilindro: 2πd^2h / 4
• Formula dell'incertezza standard combinata: σ y ∙ σ xi / √N

Svolgimento dei calcoli :

• Per M: 40,2+ 40,4+ 40,0+40,9+ 40,6+ 40,5+40,1+ 40,0 = 840,3375 g
• Per σ M: √(8∑ (xi - M)^2 / (N-1)) = 0,71875 g

8−1) 56incertezza è stato approssimato a 2 cifre significative)( ) −3=( ) kg=M Ḿ ± σ Ḿ 40,34 ± 0,11 ×10quindi : s8∑ h 10,4375 cmiPer h : i=1 =¿h́= 8 √ 8∑ 2(h − h́) √ cmi 1,25875( ) i=1= = =0,15σ h́s (8−1)8 56 −3( ) m=(104,4h= h́ ±σ h́ ± 1,5)×10Quindi : s8∑ d mmiPer d : i=1 =8,40d́= 8√ 8∑ 2(d − d́) √ mmi 0,545( ) i=1= = =0,10σ d́s 8(8−1) 56 −3( ) m=(d= d́ ± σ d́ 8,40± 0,10)× 10Quindi : sCalcolo della densità del cilindro :−3Ḿ 40,34 ×10 Kg= =6973ρ́= 3π π m2( )−3 −32 (104,4 )d́ h́ 8,40 ×10 × 104 4√ | | |2 2 2( ) ( )∂ρ ∂ρ ∂ρ( ) ( )2 2 2( ) ; la formula( ) = + + ( )σ ρ́ ∙ σ Ḿ ∙ σ d́ ∙ σ h́s s s s∂M ∂d ∂ h= =M Ḿ d d́ h= h́dell’

incertezza standard combinata ci permette di propagare le incertezze delle 3 grandezze in questione, indipendenti tra loro, per ottenere la deviazione standard della densità.

∂ρ / ∂ Ḿ 1= = ; nello svolgimento della derivata parziale π π∂ Ḿ / ∂ Ḿ 2 2d́ h́ d́ h́4 4 della funzione densità, rispetto alla grandezza M, si riscrive il denominatore poiché non varia rispetto a M e si deriva il numeratore.

( ) ( ) ( )−2 −2∂ρ / ∂ Ḿ Ḿ Ḿ= = =∙ ;3π π π∂ d́ / ∂ d́ d́2 3d́ h́ h́ d́ h́4 4 4

( ) −∂ρ / ∂ Ḿ Ḿ= =π π∂ h́ / ∂ h́ 2 2 2d́ h́ d́ h́4 4√ ( ) ( )( )2 2 2−2 −1 Ḿ Ḿ( ) ( )( )2 2 2( ) = + + =¿σ ρ́ ∙ σ Ḿ ∙ σ d́ ∙ σ h́s s s sπ π π2 3 2 2d́ h́ d́ h́ d́ h́4 4 4

( )21 −3 2(0,11 ) +¿× 10π 2( ) ( )−3 −38,40× 10 104,4 ×104 ¿

¿√( )−3 2−2(40,34 )×10 −3 2+ (0,10 ) + ¿×10π 3( ) ( )−3 −38,40 ×10 104,4 ×104 ´¿´( )−3 2−( )40,34 ×10 −3 2+ (1,5× ) =¿10π 2 2( ) ( )−3 −38,40 ×10 104,4 ×104 Kg√ 2 2 2¿ (19,013) +(166,011) +(100,179) =195 3mKg( ) =6974ρ= ρ́± σ ρ́ ± 195Quindi : s 3mIstogrammi per le serie di misure: