Appello Algebra e geometria lineare

2° Appello A.A. 20/21

CALCOLO VETTORIALE

1. Vettori in R³

Nello spazio euclideo tridimensionale R³ di vettore del parametro K ∈ R, si considerino i seguenti vettori:

• u_K = (K, 0, K)
• v_K = (-K, K, K+1)
• w = (0, 1, 2)

R.: considerare che i 3 vettori in uno spazio vettoriale di dimensione 3 sono Dim L.I → sono generatori → formano una base.

<u_K ∧ v_K ∧ w> = det| K 0 K | = K[2K - (K+1)] + K(-K) =|-K K K+1| K(K-1) - K² =| 0 1 2 |

K . -K . K . (-K) . K -K ≠ 0 → i

• u_K, v_K sono l.i ↔ ∑u_K ∧ v_K ≠ 0∑u_K ∧ v_K = < K, 0, K+1 > -K² + K² + K = K se K > 0 i, 2(il resto è c.d.s). ↗

Esiste un unico (vettore di) R (per) dei 2K le L.I ↔

ESPAZIETTORIANI

Dimensione di un spazio vettoriale.

1. Nello spazio vettoriale R[x] si consideri sottospazio

W = span {2 + x + x², 1-x, 4 + x (3x²)}W è lo span dei 3 polinomi che possibilmente non sono l.i. Quindi, si ha che 2 ≤ dim W ≤ 3.

• Si ha dim W = 2 se i 3 polinomi sono Lin Dip• dim W = 3 i 3 polinomi sono Lin Ind.

3 polinomi sono l.i se a(2 + x + x²) + b(1-x) + c(4 + x - 3x²) = 0implica a + b + c = 0

(2a + b + 4c) + (a + b - 4)X + (a - 3c)X² = 0

2^o Appello A.A. 20/21

CALCOLO VETTORIALE

1. Vettori in R³

   Nello spazio euclideo tridimensionale R³ di vettore del parametro K ∈ R, si considerano i seguenti vettori

   uK = (K, 0, K)vK = (-K, K, K+1)w = (0, 1, 2)

   R.: Condizione affinché 3 vettori in uno spazio letterale di dimensioni 3 sono L.I. ⟺ sono generatori ⟺ formano una base.

   <uK ∧ vK ∧ w> = det \begin{vmatrix} K & 0 & K \\ -K & K & K+1 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix}= K[2K -(K+1)] + K (-K) = K (K-1) - K²= K·(K-1) - K² \neq 0 ⟹ i

   3 vettori formano una base ⟹ 3 vettori sono generatori ⟹ sono L.I.

   • uK, vK è L.I. ⟺ ΣuK ∧ vK = 0

   ΣuK ∧ vK = <K, 0, K>x(-K, K, K+1) = -K² + K² + K = K

   se K = 0, |2|, altro..., quindi, ⊗

Esiste un unico (vettore) di KE (per) dei uk le note scelte in

SPAZI VETTORIALI Dimostrarne uno del spazio vettoriale.

1. Nello spazio letterale RQ[x] si __ consideri consunivo:

   W = (span{2, 1+x, x² × 1, x, 4+x, x³, 2})

   W è il span di 3 polinomi che possibilmente non sono L.I.

   Quindi si ha che 2 ≤ dim W ≤ 3.

   S. la dim W = 2 se i 3 polinomi sono L.D." dim W = 3 se i 3 polinomi sono L.I.

   3 polinomi sono L.I. ⟷ a(2+1+x²) + b(1+x) + c(4+x + x²) = 0implica a + b + c = 0

   (2a + b + 4c) + (a + b) x + (a + 3c) x² = 0

implica

2a+1b+c ∈ ℝ

se si trova

nella sfera due nulla

⟹

(a+b+c)‖0

det

⎛⎝ 2 1 4 ⎞⎠

(x+3c ∈ ℝ)

1

det = 2 (3 −1) ⎛⎝1 3−1⎞⎠

= 0 ⟹ i ... problemi sono ℝℝ

GEOMETRIA ANALITICA

1) Posizione reciproca di rette

Si considerano le rette r e s di equazioni cartesiane:

r: { x + 2y + 3z = 3

x − 2y + z ≤ 0

s: { 3x − 4y + 4z + 1

3x − 4y + 4z + 1

x − 2y − 2z = −1

⎛⎝0 5 5 0⎞⎠

⎛⎝ 0 −5 5 −2⎞⎠

rank A = 2

rank (A|B) = 3

si ottiene non piu scelta di D e mette ... su .../imm. concludere

SISTEMA LINEARE

3) Sistemi, Nucleo e Immagini

Sia A = ⎛⎝ 1 1 1 −3⎞⎠ e sia B = ⎛⎝ 1 1 3

0

⎛⎝0 −7⎞⎠

applicazione lineare la ⟹ a (ℝ^3 → ℝ^3₃ definita ...

AX = B ha soluzione?

⎛⎝1 −3 3 3⎞⎠

⎛⎝0 −7⎞⎠

rank A: rank N.B: 2 quindi B ∈ Im A ⟹ dim ker A 3-2=1

15) Teoremi di nullità, rango e di Grassman

Sia β: ℝ₉ → ℝ₆ un'applicazione lineare iniettiva. Sia Z ⊂ ℝ₉ un

sottospazio vettoriale di ℝ₉ tale che β restricted to Z ≠ 0. Im β ≠ ℝ₆

Ker(β) = 0 dim Ker(β) + dim Im β = dim V

dim Ker(β) = 0 dim Im β = 6

Z ⊕ Im β = ℝ⁹ implica che dim Z + dim Im β = 9

dim Z = 9 - dim Im β => dim Z = 3

16) MATRICE

Rango di matrici: un parametro

Al variare del parametro k si considera la matrice:

A(k) = ( 2 3 k 0 ) = ( 2 1 k 0 )

( k² 2 k 2 ) = P₂ - k*P₁ ( 4 0 k 3k )

( 2 8 0 -2k P₁ ) ( 0 k -k 2k)

(g - k) = 0 (2 - k)(2 + k) = 0 k - 2 k ≠ -2

-k ≠ 0 k ≠ 0

Se k ≠ ±2, 0 rango A = 3

Se k ≠ 0 A = ( 2 3 0 0 ) rango A = 3

( 0 4 0 0 )

( 8 0 -4 0 )

Se k = 2 A = ( 2 4 -2 0 ) rango A = 2

( 0 0 0 0 )

( 0 0 -4 0 )

( 0 2 -2 0 )

Se k = 0 A = ( 2 ±2 0 0 ) rango A = 3

( 0 1 0 4 )

( 0 0 0 4 )

( 0 ±2 -2 -2 )

( 2 1 -2 0 )

( 0 0 0 0 )

( 0 0 0 0 )

Esiste un solo valore di k per cui il raggio vale 2

DIAGONALIZZAZIONE

TRACCIA e determinante

Sia A =

^| 2  1   0 _|

^| 1  2   0 _|

^| 0  1   2 _|

Si considera B = A^tA

A^tA =

(^| 2  1  0 _|) (^| 2  1  0 _|) =

 ^| 1  2  1 _|   ^| 1  2  1 _|

 ^| 0  1  2 _|   ^| 0  1  2 _|

^| 4  2  0 _|

^| 2  2  2 _|

^| 0  2  4 _|

B è simmetrica quindi ammette una base ortonormale di autovettori. Per il teorema spettrale.

det B = 32 = prodotto autovalori. => B non è invertibile

tr(B) = 10 > 0

det B = (detB)² = 0

Teorema spettrale.

DIAGONALIZZAZIONE CON PAPANELLO

Si considera simmetrica

(^| 5  0  9 _|)

1  h  3

2  0  -l

Polinomio caratteristico

PA(h) = det(A-λI) = det

(^|  5-λ   . . .   . . . _|)

  . . .   . . .   . . .

  8 (2^l-h+3)

2h:

20h - 5l[...expansion...]

-^l³ + (5 + h^2) = -5l + 8l

-20l + 3(8h - l)

det

= (λ-2)²(λ+5)

= (λ-2)² (2+1)

∀λ_i ∈ {1, 2}, l_i ha 3 autoval di simm ed è diagonalizz.

∀λ = 5

λ2 = 2 m.o.

det(A₂) = 1

rank A = 2

max{geo, dimL} = 3-2 = 1

∀λ = 2

rank A = 1

3-2 = 2 = max{geo, matdeg}

Per λ = 2 le matrice è diagonalizzib.

Esiste un solo vctone di TI per cui la matrice AR_A non è diagonalizzabi.

25.

Si considerino un retto r_ε passante per P = (1,0,0)^T e parallelo ai piani x-y-0 e ai piani x-z=0 e il piano passante per il punto Q = (0,y₀,0)^T ed R = (0,0,z₀)^T parallelo con la direzione (1,- 1,1)^T

V_r= λ |1|0

= |1|0

x = ₁

e parametrica del punto P

{ x-y-1 y+z₀

x-y-z =0

x -y-1

α: | |

x y-ξ₀

α:|0 |« |

-2x+(y–1)+z=0

-2x+y+z-1=0

h α = |-2|1

non sono ||

║Vn,Hn║ > 2

medi n/a non ortogolari

-2x + y+ z = 0

{- 3/2 (x-y=1)

[ −3/2,3/2

quindi middle α= [3,-3/2 ,3/2]^3/2

28.

se variare x del parametro k E R , si consideri il sistema

nelle immagine x , y , z

nella R₂-R₁

Lk, Lk'

{-2 3 3 Lk=(4k+ 4,0(3k+2) k+ )⊃2