Analisi matematica Prova d'esame svolta appello maggio 2021

Esame di analisi matematica

Pegaso

Università Telematica

Svolgimento dei quesiti d’esame

Maggio 2021 ⋅

1 →

Il seguente limite vale:

R 1

Svolgimento

⋅ = +∞ ⋅

→

Forma indeterminata =

1

sin

lim ⋅ =

1

cos

→ 1

sin 1

⋅ ⋅

= lim 1 1

cos

→ 1 →0

!" → +∞ →

sin & 1

lim ⋅ ⋅ =1⋅1=1

& cos &

$→% *+,+-

)

'( = 10

2 +.

Il campo di esistenza della funzione

]0; 1]

R Svolgimento

La funzione è un’esponenziale con base positiva e maggiore di 1. L’esponente è fratto con numeratore

irrazionale.

Le condizioni da porre sono:

(1 ) 60 ≤ ≤ 1

− ≥ 0

− ≥ 0 → → → 0 < ≤1

1 6 ≠0

≠0

≠0

4

La funzione è definita nell’intervallo: ]0;1]

1 2 5

9 =

0 1 3

3 0 0 2

La matrice A=

R Ha due autovalori distinti

Svolgimento

La matrice è triangolare alta, gli autovalori sono gli elementi della diagonale principale:

> = 1 " > = 2

?, 4

L’autovalore 1 ha molteplicità doppia

'( , &) = sin 2 ⋅ cos &

4 Il gradiente di è:

A'( , &) = 2 cos 2 ⋅ BC!&, − sin 2 ⋅ !DE&

R FG FG (

'( , &) , , &)

F F$

Se la funzione ammette derivate parziali in un punto è possibile definire in tale

HIJK L, A'come M

punto il gradiente di f, indicato con oppure con il vettore di avente per

componenti le derivate parziali della funzione : , '

NOPQ 'R' ⇔ A'

S

$

U' = cos 2 ⋅ 2 ⋅ cos & = 2 cos 2 ⋅ cos &

U

U' = sin 2 ⋅ − sin & = − sin 2 ⋅ !DE&

U& (2

A' = cos 2 ⋅ cos & , − sin 2 ⋅ !DE&)

7 ≤ 49

5 La disequazione è risolta per:

≤ 2

R Svolgimento

La base dell’esponenziale è maggiore di 1, la funzione è strettamente crescente

7 ≤ 49

7 ≤7

≤ 2

2 +& =0

3 + Z = 1

Y

6 &+Z =1

Il sistema lineare

R Ammette unica soluzione data da (0,0,1)

Svolgimento

2 +& =0

3 + Z = 1 ⟺ \] = ^

Y &+Z =1 2 1 0

\= 3 0 1

0 1 1

2 1 0 a0 1 a3 1

|\| = = 2 −

` ` a a

3 0 1 1 1 0 1

0 1 1

|\| = −2 − 3 = −5 ≠ 0

⇓

Il sistema è determinato. 0 1 0 |\ |

1 1

|\ | = = − a=0→ = =0

` ` a

1 0 1 1 1 |\|

1 1 1

2 0 0 c\ c

1 1

2a 0→& 0

` a

3 1 1 $

=

c\ c ` 1 1 |\|

$ 0 1 1

2 1 0 c

c\

|\ | |\| 1

25 → Z

` `

3 0 1 $

|\|

d 0 1 1 0

Soluzioni: Y

& 0

Z 1

& log -

7 La funzione .

R È strettamente decrescente nel suo dominio

La base del logaritmo è compresa tra 0 e