Appello Algebra e geometria lineare

4^ Apollo 29/20 Vettore e basi in R³

1) In R³ si considerano i vettori:

• u₁ (1 2 3)
• u₂ (1 -2 1)
• u₃ (2 0 4)

Determiniamo immediatamente

dim span {u₁, u₂, u₃}

Calcoliamo

• det = 1 . (-8) - 2 (1-2) + 3 (-4) = -8 - 4 - 12 = 0

Se il prodotto misto = 0 = i 3 vettori sono complanari

Se il prodotto misto ≠ 0 = i 3 vettori formano una base

Se ne deduce che i 3 vettori sono linearmente dipendenti

Conseguenze:

• Non possono formare una base di R³
• dim span {u₁, u₂, u₃} ≤ 2

Determiniamo con esattezza dim span {u₁, u₂, u₃}

Sappiamo che può essere 0, 1 o 2

• dim span {u₁, u₂, u₃} ≥ 1 ⇔ i 3 vettori sono ≠
• E prendiamo u₁ e u₂, si vede che non sono un multiplo dell'altro e quindi non sono //

Dunque dim span {u₁, u₂, u₃} = 2

Alternatively:

• dim span {u₁, u₂, u₃} /
• 2 - 0₂ - 2 - 0₁
• 1 2 - 2 - 2 0 - 2₁ = -2 R₁
• 3 1 4 0 - 2₂
• = 0 dim span {u₁, u₂, u₃} = 2

2a) POSIZIONE RECIPROCA DELLE RETTE

Nello spazio Euclideo tridimensionale R³, si studia la posizione reciproca delle rette di equazione

r: 2x + y - 2t = 3x - 2y + t = 0

s: y + t = 2x - y - 2t + 5 = 0

c)

Rango A = 3 => 6 rette sono sghembe

2b) SISTEMI LINEARI CON PARAMETRO

Al variare del parametro t ∈ R si studi il sistema omog.

Calcoliamo detA

-> Guida per i 3 - t = t - 2Sistema per unica soluzione

per X=R tre 2 autovalori

λ=3 muk geom 1=muk alg

λ=2 muk alg 2

rango (A - 3I) = dim = 2

La matrice è diagonalizzabile

Vettori in base (R²)

Consideriamo vettori

1. v₁ = (1 1 1)
2. v₂ = (-2 1 2)
3. v₃ = (4 0 2)

determinante dim span {v₁, v₂, v₃}

(1*(1-2) - 2(2-4) + 3*8) =

più ambigue compluvum

pral. misto ≠ 0 → no blocchi

lit emalgue Formula uno bono di R³

rango (3 -3 6 3 -2 6 3 3 2) = 3 dim span {v₁, v₂, v₃}=3

per K=(1, La matrice ha 2 autovalori:

λ₁=2 molt alg=3, molt geo

λ₂=4, molt alg=molt geo=2

per K=K (^{1 -1 0 1/2}/_{-2 0 3},^{-2 1/2 3}/_{2 0 -1}) _i 3 i 2 i 8 i/ molt geo

Qualità: per K=4 La matrice non è diagonalizzabile

- Esistono sottovett di lunghezza 2 di K (K_{(L)) per cui}

La matrice non è diagonalizzabile.