Analisi di impianto idraulico con pompa volumetrica

Analisi di impianto idraulico con pompa volumetrica G. Montorfano, R. Rota

Sommario

1. Premessa ....................................................................................................................................... - 1 -

2. Elenco dei Simboli .......................................................................................................................... - 2 -

3. Descrizione del problema e metodo di soluzione ............................................................................. - 3 -

3.1 Portata in aspirazione e in mandata.................................................................................................... - 3 -

3.2 Velocità del fluido in aspirazione e in mandata .................................................................................. - 3 -

3.3 Determinazione del tipo di moto nei due tubi .................................................................................... - 3 -

3.4 Pressione in aspirazione e in mandata ................................................................................................ - 4 -

3.5 Coefficiente di perdita di carico equivalente della mandata .............................................................. - 4 -

3.6 Potenza idraulica generata e potenza meccanica richiesta ................................................................ - 4 -

3.7 Cavitazione in aspirazione ................................................................................................................... - 4 -

3.8 Angolo del piattello pompa ................................................................................................................. - 5 -

4. Dati del problema .......................................................................................................................... - 5 -

4.1 Parametri della pompa ........................................................................................................................ - 5 -

4.2 Parametri dell'impianto ....................................................................................................................... - 5 -

4.3 Parametri del liquido ........................................................................................................................... - 5 -

5. Sviluppo dei calcoli ......................................................................................................................... - 6 -

5.1 Calcoli generali .................................................................................................................................... - 6 -

5.2 Calcolo delle portate ........................................................................................................................... - 6 -

5.3 Calcolo delle velocità ........................................................................................................................... - 6 -

5.4 Calcolo di λ ........................................................................................................................................... - 6 -

5.4.1 Tubo di aspirazione ....................................................................................................................... - 6 -

5.4.3 Tubo di mandata .......................................................................................................................... - 6 -

5.4 Calcolo delle pressioni ......................................................................................................................... - 6 -

5.5 Coefficiente di perdita di carico equivalente ...................................................................................... - 7 -

5.6 Calcolo delle potenze .......................................................................................................................... - 7 -

5.7 Presenza di cavitazione in aspirazione ................................................................................................ - 7 -

5.8 Angolo del piattello ............................................................................................................................. - 7 -

6. Presentazione dei risultati .............................................................................................................. - 8 -

6.1 Andamento delle portate .................................................................................................................... - 8 -

6.2 Andamento delle velocità.................................................................................................................... - 8 -

6.3 Andamento delle pressioni.................................................................................................................. - 9 -

6.4 Coefficiente di perdita di carico equivalente ...................................................................................... - 9 -

6.5 Andamento delle potenze ................................................................................................................. - 10 -

prof. P.C. Astori A.A. 2013/2014

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1. Premessa

Scopo della seguente relazione è quello di riportare, in funzione della velocità di rotazione dell'albero

della pompa volumetrica , le espressioni di alcuni parametri di funzionamento dell'impianto

schematizzato in figura 1. Figura 1 - Schema dell'impianto

Tali parametri sono:

 le velocità e le portate volumetriche nei tubi di aspirazione e di mandata;

 le pressioni in ingresso e in uscita della pompa;

 il coefficiente di perdita di carico equivalente del tubo di mandata;

 la potenza generata e la potenza richiesta.

Inoltre, si vuole verificare la presenza di cavitazione in aspirazione e determinare l'angolazione del

piattello pompa nel caso in cui i cilindri siano disposti nel tamburo lungo una circonferenza di diametro pari

a 60 millimetri.

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2. Elenco dei Simboli

Pressione del punto

Velocità in un tratto di tubo

Portata in un tratto di tubo

Lunghezza tubo

Diametro tubo

Sezione tubo

Densità

Coefficiente perdite di carico distribuite

Coefficiente di perdite concentrate

Potenza

Rendimento

e Rugosità media tubo

Viscosità cinematica liquido

Viscosità dinamica liquido

Modulo comprimibilità liquido

Numero di giri albero pompa

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3. Descrizione del problema e metodo di soluzione

3.1 Portata in aspirazione e in mandata

La portata in ingresso nella pompa corrisponde al volume di fluido che essa sposta in un giro, cioè alla

cilindrata della pompa per il numero di giri dell'albero.

La portata volumetrica in uscita è minore di quella in ingresso a cause delle perdite e della compressione

del fluido. Per questo motivo, la portata in mandata si trova moltiplicando per il rendimento volumetrico

della pompa la portata in aspirazione del fluido.

Sulla base di queste considerazioni, si avrà che all'aumentare della velocità di rotazione dell'albero della

pompa, ambedue le portate cresceranno.

3.2 Velocità del fluido in aspirazione e in mandata

Una volta note le portate nei tubi di aspirazione e di mandata, per trovare le rispettive velocità basta

ricavare il rapporto tra portata e area dei tubi. Di conseguenza, il loro andamento è analogo a quello delle

portate, cioè lineare con la velocità di rotazione dell'albero della pompa.

3.3 Determinazione del tipo di moto nei due tubi

La formulazione generale del numero di Reynolds è:

Sostituendo i rispettivi valori si ottiene che per il tubo di aspirazione:

mentre per il tubo di mandata:

Nel caso di un condotto cilindrico, per il fluido è in regime laminare e per

è in transizione di regime. Per tutti i valori superiori, il fluido è in regime turbolento.

Imponendo per entrambi i tratti, si ottiene che nel tubo di mandata il fluido è in regime

laminare fino a , mentre nel tubo di aspirazione lo è fino a . Tra tali valori e la velocità

massima di rotazione dell'albero della pompa, il fluido è in transizione di fase in entrambi i condotti, senza

diventare mai completamente turbolento.

Nel caso di moto laminare, il coefficiente delle perdite distribuite λ vale semplicemente:

Nel caso di transizione di moto da laminare a turbolento, λ ha un'espressione più complessa, detta

correlazione di Colebrook, che è una funzione implicita con argomento λ:

La soluzione grafica di questa correlazione è il diagramma di Moody, ma, poiché non è risolvibile

analiticamente, sono state proposte varie approssimazioni. In questa relazione è stata adoperata una delle

più accurate, nota come equazione di Haaland, la cui espressione è:

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3.4 Pressione in aspirazione e in mandata

La variazione di pressione lungo il tubo di aspirazione è dovuta alle sole perdite di carico distribuite. In

particolare sono state trascurate le perdite di carico concentrate in corrispondenza del gomito del tubo di

aspirazione.

Nell'intervallo il moto risulta laminare , mentre nel restante intervallo è in

transizione di regime. L'espressione di varia di conseguenza.

La variazione di pressione nel tubo di mandata, invece, dipende dalle perdite di carico distribuite e da

quelle concentrate secondo la formula:

Nell'intervallo il moto risulta laminare , per il restante intervallo, invece, è in

transizione di regime. L'espressione di λ varia di conseguenza.

3.5 Coefficiente di perdita di carico equivalente della mandata

Il coefficiente di perdita di carico equivalente nel tubo di mandata è uguale alla somma del coefficiente

di perdita distribuita e del coefficiente di perdita concentrata. Di conseguenza, il suo valore corrisponde alla

differenza tra la pressione di uscita della pompa e la pressione del serbatoio divisa per la portata

in uscita .

3.6 Potenza idraulica generata e potenza meccanica richiesta

La potenza idraulica generata dalla pompa equivale al prodotto tra la differenza di pressione ai capi della

pompa e la portata in ingresso.

La potenza meccanica richiesta, invece, è uguale al rapporto tra la potenza idraulica e il rendimento

meccanico della pompa. Esprimendola in funzione della portata nel tubo di mandata si ottiene:

I grafici di entrambe le potenze presentano due discontinuità, che si riscontrano in corrispondenza della

transizione di regime, prima nel tubo di mandata e poi nel tubo di aspirazione.

3.7 Cavitazione in aspirazione

La cavitazione in aspirazione avviene quando la differenza tra la pressione nel serbatoio e quella nel

tubo di aspirazione risulta minore della tensione di vapore liquido . Tuttavia, il fenomeno non avviene

quando il fluido è in