Analisi matematica

Per il 2° teorema della permanenza del segno () = lim −

→

● “ ” Vogliamo dimostrare che →

⇐ ∀ , ϵ(, ) ≤ ⇒ ( ) ≤ ( )

1 2 1 2 1 2

Se è ovvio. se invece usiamo il teorema di Lagrange su [ ]: esiste

= < ,

1 2 1 2 1 2

( )−( )

tale che: .

2 1

ϵ ( , ) () = −

1 2 2 1

Essendo , si ha cioè che è la tesi.

()≥ 0 ( ) − ( ) ≥ 0 ( ) ≥ ( )

2 1 2 1

Corollario

Sia due volte derivabile. Allora:

: (, ) →

- è crescente su (a,b)

⇔ ≥ 0 ∀ϵ(, )

- è decrescente su (a,b)

⇔ ≤ 0 ∀ϵ(, )

Convessità e concavità

Siano intervallo e

⊆ : →

Def. Si dice che f è convessa su se risulta

∀ , ϵ <

1 2 1 2

( )−( ) = equazione della retta. La disuguaglianza vale

2 1

() ≤ ( ) + · ( − )

−

1 1

2 1

∀ϵ[ , ]

1 2

Cioè: , il grafico di f sta sotto al segmento che unisce e

∀ , ϵ < ( , ( ))

1 2 1 2 1 1

.

( , ( ))

2 2

Def. Si dice che f è concava su se risulta

∀ , ϵ <

1 2 1 2

( )−( )

2 1

() ≥ ( ) + · ( − ) ∀ϵ[ , ]

−

1 1 1 2

2 1

Teorema (test di convessità/concavità)

Sia f:(a,b) → R derivabile. Allora

● f è convessa su (a,b) è crescente su (a,b)

⇔

● f è concava su (a,b) è decrescente su (a,b)

⇔

Dimostrazione:

Dimostriamo il primo punto, il secondo è analogo.

● “ ” Prendiamo ; dobbiamo dimostrare che

⇒ , ϵ(, ) < ( ) ≤ ( )

1 2 1 2 1 2

( )−( )

Sappiamo per ipotesi che f è convessa su (a,b), quindi ,

2 1

() ≤( ) + · ( − )

−

1 1

2 1

∀ϵ[ , ]

1 2

Definiamo una “funzione ausiliaria” ponendo

: [ , ] →

1 2

( )−( ) .

2 1

() = () −( ) + · ( − )

−

1 1

2 1

Si ha dunque () ≤ 0 ∀ϵ[ , ]

1 2 ( )−( )

Osservo inoltre che 2 1

( ) = ( ) − ( ) − · ( − ) = 0

−

1 1 1 1 1

2 1

( )−( )

2 1

( ) = ( ) − ( ) − · ( − ) = ( ) − ( ) − (( ) − ( )) = 0

−

2 2 1 2 1 2 1 2 1

2 1

Dimostriamo ora che

e che

( ) ≤ 0 ( ) ≥ 0

1 2 ()−( ) ()−( )

- Infatti se si ha e quindi per il 2°

1 1

> ≤ 0 ( ) = lim ≤ 0

− −

1 1 +

→

1 1

1

teorema della permanenza del segno.

()−( )

- se si ha e quindi ( sempre per il 2° teorema della permanenza

2

< ≥ 0

−

2 2 ()−( )

del segno) 2

( ) = lim ≥0

−

2 −

→ 2

2

( )−( )

Poiché .

2 1

() = () − ∀ϵ[ , ]

− 1 2

2 1

La relazione e che implica che

( ) ≤ 0 ( ) ≥ 0

1 2

( )−( ) ( )−( )

2 1 2 1

( ) = ( ) + ≤

− −

1 1 2 1 2 1

( )−( ) ( )−( )

2 1 2 1

( ) = ( ) + ≥

− −

2 2 2 1 2 1

Dunque che è quello che volevasi dimostrare.

( ) ≤ ( )

1 2

● “ ” Dobbiamo dimostrare che con

⇐ ∀ , ϵ[, ] <

1 2 1 2

( )−( ) ,

2 1

() ≤( ) + · ( − ) ∀ϵ[ , ]

−

1 1 1 2

2 1 ( )−( )

cioè che definita g come , risulta

2 1

() = () −( ) + · ( − )

−

1 1

2 1

() ≤ 0 ∀ϵ[ , ]

1 2

Ricordiamo che, come già dimostrato .

( ) = ( ) = 0

1 2 ( )−( )

Per il teorema di Lagrange applicato a g, esiste tale che 2 1

ϵ( , ) () = −

1 2 2 1

e quindi .

() = 0 ( )−( )

Ricordando , si ha che è crescente è

2 1

() = () − ∀ϵ[ , ] ⇔

− 1 2

2 1

crescente.

Poiché per ipotesi è crescente, anche è crescente. Dunque

() ≤ 0 ∀ϵ[ , ]

1

e () ≥ 0 ∀ϵ[, ]

2

Per il test di monotonia g è decrescente su ed è crescente su

[ , ] [, ]

1 2

D’altra parte sappiamo che dunque

( ) = ( ) = 0

1 2

() ≤ 0 ∀ϵ[ , ]

1 2

che è quello che si voleva dimostrare.

Approssimazioni lineari

Abbiamo già visto che se f è derivabile in un punto c, la retta () + () · ( − )

è la retta che meglio approssima f localmente vicino a c.

Quindi se x è “vicino” a c.

() ≃ () + () · ( − )

Ad esempio →

() = = 0 (0) = 1

Quindi se x è “vicino” a 0.

≃

— — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — —

Lezione 12

Approssimazione locale di funzioni (formula di taylor)

Siano e un suo intorno.

∈ () = () = ( − 2, + 2)

2

Già sappiamo che se f è derivabile in c (per x vicino a c)

→ retta tangente ad f in c → polinomio di Taylor di f

() ≃ () + () · ( − ) =: ()

1,

di ordine 1 centrato in c.

Questa è un’approssimazione di f locale (vicino a c) e lineare (con polinomio di grado 1)

Ad esempio:

con si ha che e dunque pertanto dove

() = = 0 () = (0) = 1 ≃ 1 +

ed

1 = (0) = (0)( − 0)

Ma come possiamo migliorare l’approssimazione?

Possiamo usare un polinomio di ordine .

() ≥ 1

,

Per capire come osserviamo che:

- () = ()

1,

- () = ()

1,

Quindi, se per esempio n=2, pare naturale cercare :

()

2,

- () = ()

2,

- () = ()

2,

- () = ()

2, 2

Dunque poniamo ed imponiamo queste condizioni:

() = α + β( − ) + γ( − )

2,

- () = β + 2γ( − )

2,

- () = 2γ

2,

Pertanto:

- →

() = () α = ()

2,

- →

() = () β = ()

2,

()

- → →

() = () 2γ = () γ = 2

2,

Abbiamo quindi trovato il polinomio di Taylor di f di ordine 2 centrato in c, ovvero:

2

()

() = () + ()( − ) + ( − )

2

2,

Iterando questo ragionamento si dimostra

Teorema

Sia derivabile n volte in c.

: () →

Allora esiste un unico polinomio di grado minore o uguale a n t.c.

() () = ()

, ,

per = 0, 1,...,

Tale polinomio si chiama Polinomio di Taylor di f di ordine n centrato in c ed è definito da

2 3

() () ()

() = () + ()( − ) + ( − ) + ( − ) +... + ( − )

2 3! !

,

Oss.

- con si intende la derivata di ordine k; per convenzione

= 0

()

- usando la notazione di sommatoria () = ∑ ( − )

!

, =0

- è un polinomio di grado perché potrebbe essere

≤ () = 0

- se il polinomio si chiama polinomio di Mac Laurin

= 0

Come stimare l’errore commesso?

Con la seguente formula , dove è l’errore o il resto.

() = () + () ()

,

Vale quindi il seguente →

Teorema (formula di Taylor con resto di Lagrange)

+1

Sia di classe .

: () →

Allora per ogni esiste un compreso tra c e x (cioè oppure

∈ () ξ < ξ <

) t.c.

< ξ <

(+1) +1

(ξ)

() = ( −