Analisi matematica

Si dice che a_n \to L se:

\forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N} \text{ tale che } \forall n > N \Rightarrow |a_n - L|

< \varepsilon

2.1.2 Proprietà importanti

Unicità del limite

 Limite delle operazioni: somma, prodotto, quoziente

 ⇒

Successioni monotone e limitate convergenti

 Teorema dei Carabinieri (Sandwich): se a_n \leq b_n \leq c_n e \lim a_n = \lim c_n = L,

 allora \lim b_n = L

2.1.3 Successioni notevoli

\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^p} = 0 per ogni p > 0

 \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a} = 1 per a > 0

 \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e



2.2 Serie numeriche

Una serie è la somma di una successione:

\sum_{n=1}^\infty a_n

2.2.1 Convergenza di una serie

Definita come il limite delle somme parziali:

S_n = \sum_{k=1}^n a_k \quad \Rightarrow \quad \text{Serie converge se } \lim_{n \to \infty}

S_n \text{ esiste finito}

2.2.2 Serie geometriche, armoniche, telescopiche

Geometrica: \sum ar^n converge se |r| < 1, diverge altrimenti

 Armonica: \sum \frac{1}{n} diverge

 Telescopica: si semplifica tra termini successivi



2.2.3 Criteri di convergenza ⇒

Confronto: 0 \leq a_n \leq b_n, e \sum b_n converge anche \sum a_n

 Criterio del rapporto (D’Alembert):

 \lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = L: \begin{cases} < 1 \Rightarrow

\text{converge} \\ 1 \Rightarrow \text{diverge} \\ = 1 \Rightarrow \text{inconcludente}

\end{cases}

Criterio della radice (Cauchy):

 \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|} = L \text{ stesso criterio del rapporto}

Alternata (Leibniz): converge se a_n decresce e \lim a_n = 0



3. FUNZIONI E LIMITE

3.1 Funzioni reali di variabile reale

Funzione f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}

 Dominio: insieme dove f è definita

 Può essere crescente, decrescente, continua, derivabile, integrabile ecc.



3.2 Limite di una funzione in un punto

\lim_{x \to a} f(x) = L \iff \forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0 \text{ tale che } 0 < |x - a| <

\delta \Rightarrow |f(x) - L| < \varepsilon

3.2.1 Limiti notevoli

\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1

 \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}

 \lim_{x \to 0} (1 + x)^{1/x} = e



3.2.2 Continuità

Una funzione è continua in a se:

\lim_{x \to a} f(x) = f(a)

Proprietà:

Le funzioni elementari (polinomi, radici, esponenziali) sono continue nel loro dominio

 Composizione di funzioni continue è continua



4. DERIVATA E ANALISI LOCALE

4.1 Derivata

La derivata di f in a è:

f’(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}

Interpretabile come:

Velocità istantanea

 Pendenza della tangente

 Tasso di variazione



4.2 Regole di derivazione

Somma: (f + g)’ = f’ + g’

 Prodotto: (fg)’ = f’g + fg’

 Quoziente: \left(\frac{f}{g}\right)’ = \frac{f’g - fg’}{g^2}

 Composizione: (f \circ g)’ = f’(g(x)) \cdot g’(x)



4.3 Teoremi fondamentali

Teorema di Fermat: se f ha un massimo/minimo locale in a e f è derivabile, allora f’(a) = 0

 ∃ ∈

Rolle: se f continua in [a, b], derivabile in (a, b), e f(a) = f(b), allora c (a, b) : f′(c) = 0

 Lagrange (MVT):

 \exists c \in (a, b): f’(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}

5. STUDIO DI FUNZIONE

5.1 Analisi completa

Dominio

 Intersezioni con gli assi

 Segno

 Simmetrie

 Asintoti (orizzontali, verticali, obliqui)

 Derivate e monotonia

 Concavità e flessi

 Grafico



6. INTEGRALI

6.1 Integrale definito (Riemann)

\int_a^b f(x) dx = \lim_{\|P\| \to 0} \sum f(x_i^*) \Delta x_i

Condizioni:

Funzione limitata e continua quasi ovunque

 Proprietà di linearità, additività, monotonia



6.2 Integrale indefinito

Antiderivata:

F(x) = \int f(x) dx \iff F’(x) = f(x)