Analisi 1 Esame 28 03 2019

ANALISI MATEMATICA 1 (9/12 crediti)

ESAME DEL 28-03-2019

Prof. Giusi Varia

sin − 2 cos

cos − sin + 1

Procediamo per sostituzione:

sin =

cos = cos = 1 − sin

Dalla relazione fondamentale della goniometria:

Come diventa il nostro integrale?

Ecco: sin − 2 cos −2 −2

= =

− sin + 1 − +1 −

1 − sin 1−t 2−t

Abbiamo ottenuto un integrale razionale fratto, che risolveremo opportunamente.

Il denominatore è di terzo grado e scomponibile in:

2−t − = 1− +2 +2

N.B. il trinomio ha discriminante negativo quini non ulteriormente scomponibile in R.

Abbiamo allora:

−2 −2 +

= = +

2−t − 1− +2 +2 1− +2 +2

Troviamo il valore delle costanti: A, B, C per cui è vera la seguente identità:

−2 +

= +

+2 +2 +2 +2

1− 1−

+2 +2 + + 1−

= 1− +2 +2

− + 2 + − +2 +

= 1− +2 +2

Imponendo l’uguaglianza dei due numeratori, e risolvendo il sistema associato, troviamo il valore dei coefficienti:

= −

⎧

− =0 ⎪ !

= −

−2= − + 2 + − +2 + ⟺ →

2 + − =0 ⎨ !

2 + =0 ⎪ = − "

⎩ !

Ora possiamo integrare: 8

1 −

−

+ 1 −1 1

5

5 |

+ = + = ln|1 −

1− +2 +2 5 1− +2 +2 5

Risolviamo i due integrali, uno per volta:

−1 1 |

= = ln|1 −

1− 1− 5

1 8

− −

+ 5 5

=

+2 +2 +2 +2

1 +8 1 +1+7

=− =−

+2 +2 +2 +2

5 5

1 +1 1

+7

=− ( )

5 +2 +2 +2 +1+1