Analisi Matematica I

Insiemistica

Insieme: l’insieme è una collezione di elementi.

• Si indica con le lettere maiuscole dell’alfabeto.
• Gli elementi con le minuscole dell’alfabeto.

Es:

• x ∈ A se x è tra gli elementi di A
• x ∉ A se x non è tra gli elementi di A

Essendo A e B insiemi, possiamo introdurre i simboli:

• ∪: unione (unito)
• ∩: intersezione (intersecato)
• ¯: complemento (unito)

Ovviamente quindi che A ⊆ B se B contiene esclusivamente e solamente tutti gli elementi di A. Quindi se c ∈ C allora deve tenere che c ∈ A oppure c ∈ B.

Ovviamente che B ⊇ A ∩ B se B contiene per elemento tutti e soli gli elementi in comune tra A e B. Quindi se d ∈ D allora d ∈ A ∈ ∈ B.

Il sistema che contiene nessun elemento di altro insieme vuoto si indica con ∅.

• Se A ∩ B = ∅ allora i due insiemi (ad intersezione nulla) si dicono disgiunti.
• Se A ∩ B = A allora si dice che A è un sottoinsieme di B e si indica con il simbolo A ⊆ B.

C = A ∩ B = A ⇒ C = A ⇒ A ⊆ B

Se A ∪ B = B allora si dice che A è un sottoinsieme di B.

C = A ∪ B = B ⇒ C = B ⇒ A ⊆ B

Se A è un sottoinsieme di B, e B non è un sottoinsieme di A, si dice che due sottoinsiemi A e B sono disgiunti e si indica con C = A∩B

Se A è un sottoinsieme di C, e C è un sottoinsieme di A, allora A e C possono essere considerati A e C devono essere disgiunti, si dicono equivalenti (uguali) e si indica con C⊆A e A⊆C

_A ^B C = A∩BA∩B = A\(A∩B)

INSIEMI DI NUMERI:

concetti naturali¹ "unità"¹ "successo"

¹+¹ = 2+1 = 3¹+¹+¹+¹ = 3+1 = 4

INSIEMI DI NUMERI NATURALI

ℕ={1,2,3,4,5,...}

È un insieme infinito ma è CONTABILE cioè che tra due numeri non vi sono infiniti numeri.

Perché? Esiste una sola parte propria che ha la sua stessa cardinalità.

Es: ℕ={5,4,3,2,1,...,59,58,...}Iℕ (A) = {2,3,4,...,58,59,}

¹+¹+¹+¹ = 42 + 2 = 4

Dati due numeri naturali, quali sono a e b ∈ ℕ?a,b ∈ ℕoperazione diretta → lo sono anch'essisomma di numeriritorni ad ℕ

Perdiamo la "operazione" "inversa" di "+"nuovi $\alpha$:

a+?=c → ∅ nello insieme numeri rispetto alla sommaritorni ad N non posso mai avere

NU={}⊄ ℕ → questo divietare↓↓ diventa quando che fa parte dell'insieme N

a-?=∅ con a∈ℕ

Unico elemento "numeri che svolge al"?→ ∅ di un numero di "a" e si indossa con "al"

In assenza di un numero naturale e del fatto inverso di due insiemi di numerirestanti cosa che hai non posso addestere infinito in di ^ac al

VALORE ASSOLUTO:

|3 -1| = 3

• 3 if positivo
• (-3) -3 if negativo

IN GENERALE |x| =

• x se x é positivo
• -x se x é negativo

x = 0 log_1/2 2 |x-1| = 1 = -log_1/2 2

3|x| = 1 per x = -1/6

3|-1/6| = 1 = 3/6 1/2 = 1/2

Se nulla

|3x - 1| per x = -1/6 allora

3(-1/6)-1 = |-3/2| = 3/2

3|x - 1| - 3x - 4 se x > 0

-3x - 1 - 5|x - 1| - 3x - 4 se 3x - 1 < 0

Massimi, minimi e fondoni limitate e non limitate 09/10/17

Ja, b] C R → xa Dico estremo superiore Sia A C R diremo che NCR, è il massimo di A, che indichiamo con M < A, se valgono le seguenti: M > A A H E A L’insieme [1; +∞) non ha massimo. Non limitato superiormente perché non ci sono maggioranti. L’insieme (-∞; -2) ha per massimo x limitato. L’insieme [2, 2] ha massimo e max [2] = 2. L’insieme [-4; 10] ha massimo e max [-4; 10] = 4.

Se A C R diremo che L è un maggiorante per A se LER, L>a V a A Se A ha almeno un maggiorante di A, limitato superioremente Se A è limitato superiormente diremo che il minimo dei suoi maggioranti Si dice estremo superiore di A

L’estremo superiore coincide col massimo se quest’ultimo esiste. Comunque valgono le seguenti condizioni: n = sup(A) è R V x o _E A.e R: N. _- E < A

Sia A C R diremo che b è un minorante per A se BER e B = a, vOeA Se A ha almeno un minorante si dice Limitato inferiormente Se massimo di un minorante si dice estremo inferiore di A Se A e limitato inferiormente il minimo coincide con estremo inferiore m = inf(A) m < A, V _e A V x o e A mT E < a.

Un insieme limitato superiormente e inferiormente si dice “limitato”. Se A non è limitato superiormente si scrive sup(A) = + ∞ Se A non è limitato inferiormente si scrive inf(A) = - ∞

{M} m Continuato A 1) k è un suo maggiorante perché O o un suo minorante O, k _m 4 O x 8. è più grande dei minoranti 1. E

x OE A → 0 a int(b) 0.f sin(b) ¹ .

x^α con α<0 è un'operazione eseguibile solo se x>0.

La funzione potenza con esponente negativo

x^α x∈ℝ\{0} ⟶ x^a∈ℝ⁺{∅}

Dominio Codominio

ℝ(x)=x^-mℝ(x)=1/x ⇒ y=1/x ⇔ x y =1

y=x^-2 y=x^-3

CON LE POTENZE SI RIESCE A COPRIRE TUTTO IL DOMINIO TRanne LA RETTA x=1 e y=1

Si può calcolare

∀x∈ℝ\{∅}

La funzione inversa di x^-2

x^-2=1/x² ⇒ (-√x)^-2 = (-1/x)^-2 ⇒ x¹=x^-1

La funzione potenza x^a∈ℝ

x^a∈ℝ⁺ se a>0

∀x ∈ ℝ⁺{∅} se a <0

y= x^a

a>1 ⇒ strettamente monotona crescente

Non invertibile

a=1

iniettiva e invertibile

0<a<1 ⇒ strettamente monotona decrescente

Un'operazione inversa si effettua col log.x (ies):

dss

x^a

x

z = 3+5i

w = 4-7i

z+w = 3+5i+4-7i, r = 7, 2i

Dati z = a+bi e ω = c+id, il numero somma di z e w è un numero complesso la cui parte reale è la somma delle parti reali dei numeri complessi di partenza (a+c) e la cui parte immaginaria è la somma delle parti immaginarie dei due numeri complessi di partenza (b+d).

(i i)₂-1 2-(3+5i) (4-7i) = 12+(5i-4)+(3-(7i

12+20i-21i+(35i)₂)=12+35, 47-i

Dati z=a+bi, w=c+id allora z.w = (ac-bd)+i (ad + bc) diamo prodotto tra i due numeri complessi la cui parte reale è (ac-bd) e la cui parte immaginaria è (ad+bc).

1_i =w il numero che moltiplicato per z_i restituisce l'elemento neutro della moltiplicazione

ESERCIZIO SBAGLIATO:

_z =1+2i = 1=2c=0 2i = 1-2i, 5

ESERCIZIO GIUSTO:

_z= 1+2i

(a, 2) (c ) Ad +i =

1+i=-1→

d+2c+0 =

d=1, 2/5

Si dice z ∈ C è detto complesso coniugato il numero (z- a-ib) = -a-ib la cui parte reale è uguale e la cui parte immaginaria è l'opposto di quella di partenza.

z · z = (a+ib)(a-ib) = a-b-i (i-ab-ta

z · z ∈ 1|z|=√a²+b²

norma di un numero complesso

(z- )z=i|z

La norma di un numero reale è il valore assoluto del numero reale.

Esercizi d'esame

(Con z = a+ib)

1. Determinare se esiste z ∈ ℂ tale per cui...

   π2zπ (3i - 2) = Re {πa² +b²π (3i-2)

   ⇔ π3a + b²π = 2a+ib ⇔ ... ⇔ b = 0 ⇒ z = a+ib ⇒ z = a+0i = a ...

   ⇔ z = 0.

2. Determinare se esiste z ∈ ℂ (con z = a+ib) tale per cui...

   (a + ib) + 2i = (-i + 3)(i -1) ...

   ⇔ a = -1 &b = 1 ⇒ z = a+ib ⇒ z = -1+i

3. Rappresentare sul piano di Gauss (z = -1+ i): z, πzπ , πz + 1π,  π√²π,  z²