Analisi Matematica I

Insiemistica

Insieme

Un insieme è una collezione di elementi. Es.: A: A

Es.: x ∈ A, x ∉ A

Essendo A e B insiemi, possiamo introdurre i simboli:

• ∪: unione (unito)
• ∩: intersezione (intersecato)
• ¹: complemento (mancato)

Disegno quindi che C=A∪B

Disegno che D=A∩B

L'insieme che contiene nessun elemento si indica con Ø.

Se A∩B = Ø

Se A∩B = A allora

Se A∪B = B allora

Corsi Analisi 1 - prof. Galgano - 25/09/2017

Insiemistica

Insieme

L'insieme è una collezione di elementi. Simb. si indica con lettere maiuscole dell'alfabeto; e.g.: A, B, C

e² appartiene ad A: l'elemento e² appartiene all'insieme; e² ∉ A: l'elemento non appartiene all'insieme.

Es: x ∈ A se x ∈ tra gli elementi di A, x ∉ A se x non ∈ tra gli elementi di A.

Essendo A e B insiemi, possiamo introdurre i simboli:

• ∪: unione (unito)
• ∩: intersezione (intersecato)
• Ì: contenimento (incluso)

Diremo quindi che C = A ∪ B se C contiene esclusivamente e solamente tutti gli elementi di A e di B. Quindi se C = C allora diremo che C Ì A oppure C Ì B.

Diremo che D = A ∩ B se D contiene per elementi tutti e soli gli elementi in comune tra A e B. Quindi se d ∈ D allora d ∈ A e d ∈ B.

L'insieme che contiene nessun elemento si dice insieme vuoto e si indica con ∅. Se A ∩ B = ∅ allora i due insiemi (ad intersezione nulla) si dicono disgiunti.

Se A ∩ B = A allora si dice che A è un sottoinsieme di B e si indica con il simbolo A Ì B.

Se A ∪ B = B allora si dice che A è un sottoinsieme di B.

B C = A ∩ B = A ⇒ C = A A Ì B

B A C = A ∪ B = B ⇒ C = B C Ì B

Se A è un sottoinsieme di B e B non è un sottoinsieme di A, si dice che A è un sottoinsieme proprio di B e si indica con A⊂B.

Se A è un sottoinsieme di B e anche B è un sottoinsieme di A, allora i due insiemi hanno gli stessi elementi, i due insiemi sono equivalenti (uguali) e si indica con A = B.

Dato A e B due insiemi, si definisce C da differenza tra A e B, e si indica con A\B, tutti gli elementi di A che non sono in B, e se c∈C, allora c∈A e c∉B.

Insiemi di numeri

(...) numeri naturali: uno seguito (...) 1,2,3,4,5,... (...) 1+1=car. 1+1+1=2+1=3 1+1+1+1=3+1=4

(...) che per ogni numero non (please continue).

Dati due numeri naturali quali operazione diretta (lo stesso si ottiene nello stesso insieme dei numeri naturali). Noi, insiemi di numeri naturali, che per ogni numero ci dà la sua stessa quantità di numeri: (...) più uno indice che descrive quanti ne fa parte dell'insieme di Z = {0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 5, -5, ...} sono contabili perché associabili ai numeri naturali.

2 + 2 + 2 + 2 = 4 x 2 = 8 ripetizioni di "2" di "4 volte" operazioni interne a Z -2 + (2) + (-2) + (-2) = 1 x (-2) = -9 (-3) x ? = 4 di qui nasce la percezione "diviso" perché non è diretta l'operazione per trovare "1" (-3) x ? = 1 non fa parte né di N né di Z.

Dato a ∈ Z trovare soluzioni ad a x b = 1 significa 1/a tale per cui a ∙ 1/a = 1 si introduce così la frazione, dando luogo a un nuovo sistema di numeri: Q = {c/a per c ∈ Z, q ∈ N^q} Questo è l’insieme di numeri razionali.

Le operazioni elementari (+, -, ×, ÷) sono tutte all'interno degli insiemi N, Z e Q.

Teoria assiomatica di R

Esiste UNICO l'insieme che chiamiamo di numeri reali dove possiamo definire le due operazioni +, × e la relazione ≤ con le seguenti proprietà:

1. (a+b) + c = a + (b+c)
2. (a·b)·c = a·(b·c)
3. (a+b) = (b+a)
4. (a·b) = (b·a) Commutativa
5. a·(b+c) = a·b + a·c Associativa

Elementi neutrali

1. ∃ 1, a∅ = a
2. ∃1, a×1 = a

Esistenza degli inversi

1. ∀ a, a + (-a) = 0
2. ∃a⁻¹, a·a⁻¹ = 1   ∀a ≠ 0

Assiomi relativi all'ordinamento

1. ∀ a,b,c ∈ R ha che a oppure b ≤ a
2. Se a ≤ b sia che b ≤ c allora a ≤ b
3. a ≤ b e b ≤ c allora a ≤ c

Assioma di completezza

Siano A e B insiemi di numeri reali; A <= R, B <= R e siano tali che per ogni "a" appartenente ad A e per ogni "b" appartenente a B si ha che a≤b allora ∃ c appartenente ad R tale che: a≤c, c≤b (c è detto punto di separazione).

Se abbiamo: ^tutti i numeri a appartenenti a Q: a² ≤ 20 ≤ a ≤ √2 ^tutti i numeri b appartenenti a Q: b