Analisi e Geometria 1-Analisi e Geometria 1

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Author: Andre1742

Revisionato il 29/05/2026

di Andre1742

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Appunti completi presi durante le lezioni del prof Grasselli Maurizio (PoliMi).Anno accademico 2019-2020Sono presenti tutti i teoremi necessari a passare l esame, definizioni e …

Esame Analisi e geometria I

Facoltà Ingegneria industriale

Dal corso del Prof. Grasselli Maurizio

Università Politecnico di Milano

A.A. 2019-2020

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LEGGI DI DE MORGAN

(A ∪ B)^c A^c ∩ B^c

(A ∩ B)^c A^c ∪ B^c

SPIEGAZIONE PROPOSIZIONALE

X = {n ∈ N: ∀ E di n elementi ⇒ ρ(E) ha 2ⁿ elementi} O ∈ X

HP: E ha n elementi ⇒ ρ(E) ha 2ⁿ elementi

TH: E ha n+1 elementi ⇒ ρ(E) ha 2ⁿ⁺¹ elementi

E = {0, 1, 2, ..., n, n+1} E = Ē + {n+1}

ρ(E) = 2ⁿ + 2ⁿ = 2 ⋅ 2ⁿ = 2ⁿ⁺¹

ORDINAMENTO PARZIALE

X ≠ ϕ A⊂B ∀A, B ∈ P(X) ⇒ Riflessiva, antisimmetrica, transitiva

MA ∃ A, B ∈ P(X) t.c. A ∄ B ∧ B ∄ A

⇒ Ordinamento parziale (alcuni elementi non sono confrontabili)

MAGGIORANTE / MINORANTE - ESTREMO SUPERIORE / INFERIORE

E ⊂ X ≠ ϕ

m ∈ X

(minoranze di E se x ≤ m, ∀ x ∈ E

se m ∈ E, allora è minE (che è unico)

ES. insieme di minorante = {x ∈ Q: x ≤ 0}

E = {x ∈ Q : 1 ≤ x ≤ 2}

E infE = minE = 0

E supE = 1 no max ∈ Q

se insieme dei maggiorante (minorante) ha minimo (massimo) allora si dirà estremo superiore (inferiore) di E

SUPE = maxE infE = minE

ES: E = {1/n | n ∈ N\{0}

infE = 0 minE=

d'insieme E ha proprietà dell estremo superiore se ∀ x ∈ X superiormente limitato possiede estremo superiore in X.

E d insieme ha tale proprietà allora ha anche quella dell'estremo inferiore.

Leggi di De Morgan

(A∪B)^cA^c∩B^c

(A∩B)^cA^c∪B^c

Spiegazione Proposizionale

X = {f n ∈ N: ∀ E di n elementi ⇒ ρ(E) ha 2ⁿ elementi}O∈X

HP: E ha n elementi ⇒ ρ(E) ha 2ⁿ elementi

TH: E ha n+1 elemento ⇒ ρ(E) ha 2ⁿ⁺¹ elementi

E = {0, 1, 2, ..., n+1} E = E^~ + {n+1}

ρ(E) = 2ⁿ + 2ⁿ = 2 · 2ⁿ = 2ⁿ⁺¹

Ordinamento Parziale

X ≠ ∅A⊂B ∀A,B ∈(PX) ⇒ Riflessiva, antisimmetrica, transitivaMA ∃A,B ∈ (PX) t.c. A⊄⩱B ∧ B⊄⩱A⇒ Ordinamento parziale (alcuni elementi non sono confrontabili)

Maggiorante / Minorante - Estremo Superiore / Inferiore

E ⊂ X ≠ ∅f ∈ Xm ∈ X

maggiorante di Ese x⩽M, ∀x ∈ E

se M ∈ E allora è max (che è unico)

minoranze di Ese x⩾m, ∀x ∈ E

se m ∈ E, allora è min (che è unico)

es. insieme di minorante = {x ∈ Q : x⩽0}E = {x ∈ Q : 1⩽x⩽2}E inf. il m = min E = 0E sup. il m = no max in Q

se l'insieme dei maggioranti (minoranti) ha minimo (massimo)questo si dirà estremo superiore (inferiore) di E

sup E = max E inf E = min E

es. E = {1/n | n ∈ N/0} inf E = 0 il min E

L'insieme E ha proprietà dell'estremo superiore se ∀E⊂X superiormente limitato possiede estremo superiore in X.Se l'insieme ha tale proprietà allora ha anche quella dell'estremo inferiore.

NUMERI REALI COME ESPANSIONE DEI DECIMALI

m, n ∈ ℕ , n≠0 ⇒ ∃ q, R ∈ ℝ tale che n⋅q+m=R, r≤mAllora qualsiasi razionale Q come espansione decimale

q = q₀ . α₁ α₂ ... α_i ∈ {0,...,9} n Z

quindi se α_i = 7̅ ∀i ∈ ℕ ⇒ q = q₀ . 7̅ = q₀ +1

se esiste j∈ℕ/∃i α_i = 9 ∀i≥j ⇒ q = q₀ . d₁ d₂ α_i ...

q = q₀ d₁ d₂ ... (α_j)(9+1) (9)_j 9^(j+1)

manissa = parte decimale di un numero periodicoq - [q]^j parte intera

le espansioni rappresentanti i razionali sono:

Periodiche
∃ i0∈ℕ tale che d_i0 ≠0 ∀i≥i0

Considerando tutte le possibili espansioni decimali di tipo 2)si ottene l'insieme ℝℝ è dunque sia un insieme axiomatioco che l'insieme ditutte le espressioni decimali di tipo 2)

NUMERI COMPLESSI

Soluzione dell'equazione x⁴+1=0Considerando iR x iR e definendo le seguenti operazioni

I) (a,b) + (c,d) ːː= (a+c, b+d)II) (a,b)^∗ (c,d) ːː= (ac - bd, ad+bc) ∀ (a, b), (c,d) ∈ℜ²

I, II) sono commutative, associative, distributiveinoltre: + { (0,0) el. neutro - (a, -b) el. opposto

&#lowast; { (1,0) el. neutro &#lowast; (√(a²+b²) - el. inverso →(c,d) →(a,b)(c,d)=(1,0) }

Chiamiamo quindi ℭ il insieme dellecon ℭ e II) ⇔ ℭ il campo dei numeri complessi

ℝ può essere identificato con {(a,0)|a∈ℝ} ℝ ⊆ ℭosserviamo anche che (0,1)² = (0,1) (0,1) = (0,1) = (−1,0) ≡ ℂ

I) (a, b) + (c, d) ːː= (a+c, b+d)II) (a, b) &#lowast; (c, d) ːː= (ac - bd, ad+bc) ∀(a,b), (c,d) ∈ ℝ²

Poniamo dunque

iː= (0,1) →

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