Analisi e Geometria 1-Analisi e Geometria 1

LEGGI DI DE MORGAN

(A ∪ B)^c = A^c ∩ B^c

(A ∩ B)^c = A^c ∪ B^c

SPIEGAZIONE PROPOSIZIONALE

X ∗ { n ε IN ∀E di n elementi ⇒ P(E) ha 2ⁿ elementi}

OEX

HP : E ha n elementi ⇒ P(E) ha 2ⁿ elementi

TH : E ha n + 1 elementi ⇒ P(E) ha 2ⁿ⁺¹ elementi

E = { 0, 1, 2, ... , n, n + 1 } E = E^∗ − { n + 1 }

P(E) = 2ⁿ + 2ⁿ = 2 ∙ 2ⁿ = 2ⁿ⁺¹

ORDINAMENTO PARZIALE

X ≠ ∅ ACB Y A,B,E,P(X) = Riflessione, antisimmetrica, transitiva

HA ∃ A,B,E,P(X) t.c. AϕB AϕG A

=> Ordinamento parziale ( alcuni elementi non sono confrontabili )

MAGGIORANTE / MINORANTE - ESTREMO SUPERIORE / INFERIORE

E ⊂ X ≠ ∅

∃ x ε X

m ε X (maggiorante di E se x m, ∀ x ε E se m ε E allora è max (che è unico))

E ⊂ X ≠ ∅

∃ m ε X (minorante di E se x m ∀ x ε E se m ε E , allora è min (che è unico))

ES. insieme di minorante : { x ε Q : x ≤ α }

E = { x ε Q : 0 ≤ x ≤ 2 }

E inf = min = no max ∉ Q

Se insieme dei maggiorante (minorante) ha minimo (massimo)

questo si avrà estremo superiore (inferiore) di E

SUP E = max E INF E = min E

ES. E = { 1/n | n ε IN0 }

INF E = 0 min E

L'insieme E ha proprietà dell'estremo superiore se ∀ E ⊂ X supremamente

limitato possiede estremo superiore in X, se E ⊂ insieme ha tale proprietà allora ha anche questa dell'estremo inferiore.

NUMERI REALI COME ESPANSIONE DEI DECIMALI

m, n ∈ IN, q, r ∈ IN tale che n = qm + r, 0 ≤ n

Allora qualsiasi razionale q come espansione decimale

q = q₀.q₁q₂...qₙ, con qi ∈ {0,...,9}, q₀

Quindi se a = 10⁻ⁿ; q ∈ IN → q = q₀.q₁ = q₀ + 1

se esiste i0 ∈ IN tale che ai ≠ 0 ∀i ≥ i0 n q = q₀.q₁.q₂...

0.q₀q₁q₂(0...)(qᵢ₀ ₊ ₁)

Mantissa parte decimale di un numero periodico: q - [q] parte intera

Le espansioni rappresentanti i razionali sono:

1. Periodiche
2. i0 ∈ IN tale che q = 0 ∀i ≥ i0

Considerando tutte le possibili espansioni decimali del tipo 2) si ottiene l'insieme IR.

IR è quindi sia un insieme ordinato che l'insieme di tutte le espansioni decimali di tipo 2)

NUMERI COMPLESSI

Soluzione dell'equazione x² + 1 = 0

Considerando il IR x IR e definendo le seguenti operazioni

• (a,b) + (c,d) = (a+c, b+d)
• (a,b) * (c,d) = (ac - bd, ad + bc) V (a,b), (c,d) ∈ IR²

sR sono commutative, associative, distributive:

indicare: + { (0,0) el. neutro

(-a, -b) el. opposto

* { (1,0) el. neutro

V (a,0) ≠ 0 → el. inverso, c.il d) = (a,b), (c,d) = (1,0)

Chiamiamo quindi CI l'insieme delle coppie (a,b) ∈ IR² con I ∈ IR) → CI è il campo dei numeri complessi

IR può essere identificato con { (a,0) } a ∈ IR ₊₋ CI

Osserviamo ora che (0,1)² = (0,1)*(0,1) = (-1,0) ~ -1

∀(a,b); (c,d) ↔ (ac-bd, ad+bc) V (a,b), (c,d) ∈ IR²

Poniamo dunque

i = (0,1) → unità immaginaria

e scriviamo: (a, b)⁺ = (a,0) + (0, b) = (a,0) + (b,0)

= a + ib

→ FORMA COMPLESSA DEL NUMERO ALGEBRICO (a,b)

Oss. 3:

Cosa significa geometricamente moltiplicare z per (cos φ + i sin φ)?

Osserviamo che l'argomento di z (Arg(w z)) = φ + θ, perciò teoricamente stiamo ruotando di un angolo φ il vettore corrispondente a z, ovvero se w z = u x (cos φ + i sin φ) allora w z è la rotazione di z con contrazione (|u x|) o dilatazione (|r|) della lunghezza del vettore, che rappresenta.

Esempio: moltiplicare per i = rotazione di π/2.

Moltiplicare per -1 = rotazione di π.

Radice n-esime

Definizione 1: Se w ∈ ℂ è fissato e sia n ∈ ℕ dato, diremo che z ∈ ℂ è radice n-esima di w se

zⁿ = w

Teorema 1:

(Sull'esistenza di radici n-esime)

Sia w ∈ ℂ (w ≠ 0) e sia n ∈ ℕ, allora esistono n e solo n radici n-esime di w (distinte).

Più precisamente, se w = u x (cos θ + i sin θ) allora le n radici n⁻√w hanno la seguente forma:

1. zᵏ = n⁻√|w| (cos(θ/n + k(2π/n)) + i sin(θ/n + k(2π/n))) dove
2. k = 0, 1, ..., n-1.

Dimostrazione:

È facile vedere che in data la ₁ e ₂ radice n-esima di w infratti...

(zᵏ)ⁿ = (n⁻√|w| (cos (θ/n + 2kπ/n)) + i sin (θ/n + 2kπ/n)))ⁿ = (cos φ + i sin φ)ⁿ = w

Poniamo ora che una radice n-esima z di w sia necessariamente della forma ₂.

Sia z = r (cos φ + i sin φ) tale che zⁿ = w. Allora:

zⁿ (cos (nφ) + i sin (nφ)) = rⁿ (cos (φ + k 2π)) = rⁿ cos (nφ), rⁿ i• sin (nφ) = r cos (φ)

zⁿ = w, implica rⁿ = w

nφ = θ + 2kπ, cioè φ = θ/n + 2kπ.

Oss 4:

Dal teorema 1 deduco che le radici n-esime (r⁻/ₐ1, ..., 2n) di ω si dispongono sui vertici di un poligono regolare di n lati inscritto in una circonferenza di centro (0,0) e raggio r⁻/ω⁻/ₐ

Esempio 1: i = ???1

Esempio 2: √3i; ω = i sin (n/2)

|z|=1

θ = π/2

Arg(z) = π+2π/n, π/2 + π/2-π

Oss 5:

Il teorema 1 ci permette di dire che l'equazione algebraica zⁿ + a₁zⁿ⁻¹ + ... con a₀∈ ℂ, n ∈ ℕ₀, ha esattamente n radici (soluzioni) distinte in ℂ.

In particolare:

√- ζ = - √/a₀

Indica l'insieme delle n radici algebriche. In realtà si può provare più.

Definizione 2:

Diciamo polinomio algebrico di grado n (a coefficienti complessi) un'espressione del tipo

Pn (z) = a₀ + a₁z + ... + aₙzⁿ₋₁, a_i ∈ ℂ i = 0, ..., n

⇒ -H ≤ A_n ≤ H

1) + 2) ⇒ {A_n}_n∈N è limitata

Def. 1.

{A_n}_n∈N INFINITESIMA se A_n→0 n→∞ (≡ lim A_n=0)

INFINITA se diverge a ±∞ (o a -∞)

Oss 3:

A_n = 1 n dispari n∈N

= 0 n pari n∈N

→ indeterminata → supA_n ≠ infA n∈N

supA_n = 0 n∈N

LIMITI PER ECCESSO / DIFETTO

Sia {A_n}_n∈N convergente a ∈ℝ. Se ∀ε>0, ∃n₀(ε)∈N tale che

n≥n₀ ⇒ a - ε < A_n ≤ a + ε ∀n>n₀

In tal caso scriveremo Lim _n→∞ A_n = a^l e a_-

Es 1) A_n = n+2/n-1 Lim _n→∞ A_n = 1 n∈N-{0,1}

Es 2) A_n = 3/^1/n n∈N.

1 ≤ 3/^1/n ≤ 1+ε

σ ∀ε log₃3/n ≠ log₃(3+ε)/n log₃ 3/log₃(1+ε)

σ lim 3/^1/n = 1-1

Es 3) A_n = (-1)ⁿ n∈N

-ε ≤ -1/^1/n (-1)ⁿ/0 ∃n₀ tale che x-ε < A_n ≤ x

Ma A_n ≥A_n ∀n∈N quindi ε ≡ε < A_n ε ∀n₀

∴ NON LIMITATA ⇒ ∃n∈N tale che A_n∈M

Ma A_n≥A_n ∀n>n_∞ quindi A_nx ∀n∀₀

cioè lim A_n = +∞