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FRONTIERA
La frontiera di un insieme è l’intersezione tra l’insieme con i punti di accumulazione e l’insieme
complementare con i punti di accumulazione.
GRADIENTE, DERIVABILITA’, CONTINUITA’ E DIFFERENZIABILITA’
Il gradiente di una funzione è il vettore con componenti le derivate parziali della funzione.
Una funzione è derivabile se il gradiente è definito.
Se il gradiente è continuo e definito in un punto, allora la funzione è differenziabile in quel punto.
La direzione in cui la funzione cambia di più, è la direzione del gradiente.
DERIVATA DIREZIONALE
La derivata direzionale è la derivata rispetto una direzione “v” di una funzione che descrive tutti i punti di
una retta in direzione “v”.
TEOREMA DEL DIFFERENZIALE TOTALE
Il teorema del differenziale totale è il limite che viene usato per verificare la differenziabilità in un punto
dove il gradiente non è continuo o non è definito.
C0 = funzione è continua
C1 = funzione è continua ed il gradiente continuo
C2 = funzione è continua, ha il gradiente continuo ed ha le derivate seconde continue
TEOREMA DELLA FUNZIONE COMPOSTA
Il teorema della funzione composta dice che si può derivare una funzione composta facendo il prodotto
scalare tra il gradiente della funzione e il vettore velocità(dx/dt).
CURVE DI LIVELLO
Le curve di livello sono curve che descrivono punti alla stessa quota.
TEOREMA DI SCHWARZ
Il teorema di Schwarz dice che se la funzione ammette derivate parziali miste ed esse sono continue in
(x0,y0), allora le derivate miste coincidono.
MATRICE HESSIANA
La matrice hessiana è una matrice con derivate seconde omogenee sulla diagonale e derivate miste fuori
dalla diagonale.
PUNTI CRITICI (MASSIMI, MINIMI, SELLE)
Un punto è critico o stazionario se il gradiente di una funzione è nullo in quel punto. Nei punti critici, il
piano tangente è costante perché si annulla il prodotto scalare.
Se il prodotto scalare tra la matrice hessiana moltiplicata per “v” e la “v” è:
→
Positivo minimo locale
→
Negativo massimo locale
Se il determinante della matrice hessiana è:
→
Negativo Punto di sella
→
Positivo/Nullo bisogna vedere la traccia:
→
traccia positiva minimo locale
traccia negativa→ massimo locale
FUNZIONE SEMPLICE
La funzione semplice è la doppia sommatoria (divisione per rettangoli) del valore della funzione nel
rettangolo per la funzione caratteristica (può valere 1 o 0).
FUNZIONE A SUPPORTO COMPATTO
Una funzione limitata ha supporto compatto se al di fuori di una certa regione nel piano è nulla la funzione.
Visto che la funzione è limitata, la possiamo racchiudere dentro un rettangolo.
FUNZIONE INTEGRABILE 1 (RIEMANN)
La funzione a supporto compatto e limitata è integrabile secondo Riemann se inf dell’integrale doppio di
appartenente a L+ (classe delle maggioranti) è uguale al sup dell’integrale doppio di appartenente A L-
(classe dei minoranti).
INSIEME MISURABILE (PEANO-JORDAN)
Un insieme limitato si dice misurabile secondo Peano-Jordan se la funzione caratteristica dell’insieme è
integrabile secondo Riemann.
PLURIRETTANGOLO
Un plurirettangolo è un’unione finita di rettangoli.
FUNZIONE INTEGRABILE 2
Se una funzione è continua in un rettangolo e misurabile secondo Peano-Jordan, allora la funzione è
integrabile sull’insieme.
TEOREMA DI FUBINI
Il teorema di fubini dice che se una funzione è integrabile in un’area ed è integrabile rispetto a y, allora vuol
dire che è integrabile anche in x. E viceversa…
INSIEME MISURABILE TRA DUE CURVE
Un insieme tra due curve e tra due valori è misurabile se le due curve sono integrabili.
MATRICE JACOBIANA
Il determinante della matrice jacobiana viene utilizzato come moltiplicatore della funzione integranda di un
integrale dopo un cambio di variabile.
METODI DI INTEGRAZIONE IN 3 VARIABILI
Possiamo calcolare gli integrali in due modi:
→
Per colonne dove prima si integra in Z e poi si integra sul piano X-Y
→
Per sezioni dove prima si integra sul piano X-Y e poi in Z
CURVA REGOLARE / REGOLARE A TRATTI
Una curva è regolare quando ha derivata continua con norma del vettore velocità diversa da zero.
Una curva è regolare a tratti se il vettore velocità in un punto non è definito.
CURVE EQUIVALENTI
Due curve regolari si dicono equivalenti se esiste una trasformazione dove una curva può corrispondere
all’altra curva.
LUNGHEZZA CURVA
La lunghezza di una curva è l’integrale della norma del vettore velocità.
CURVA ORIENTATA POSITIVAMENTE
Una curva è orientata positivamente se percorrendola, l’insieme si trova alla sinistra.
PRODOTTO VETTORIALE
Il prodotto vettoriale di due vettori è ortogonale ai due vettori.
DIVERGENZA, OPERATORE GRADIENTE, CAMPO VETTORIALE
La divergenza è la sommatoria del prodotto tra l’operatore gradiente (derivate parziali) e il campo
vettoriale.
La divergenza del rotore è nulla.
SUPERFICIE
La superficie è l’immagine di qualcosa in R2 guardandola in R3.
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