Teoria Analisi II

Teoria Analisi II

1) Integrali doppi:

• Formula per insieme verticalmente convesso:
• Formula per insieme orizzontalmente convesso:
• Formula per il cambio di variabili:

Le coordinate polari:

• x = ρ cosθ

  y = ρ senθ

  det J = ρ

Le coordinate ellittiche:

• x = aρ cosθ

  y = bρ senθ

  det J = abρ

Nota Bene:

Nel caso delle coordinate ellittiche, essendo l'eq. x²/a² + y²/b² = 1, una volta fatto il cambio di variabile ρ varia da 0 a 1.

Formule per il calcolo del baricentro:

Il baricentro (centro di massa) é, come studiato in Fisica, la somma delle distanze dei punti pesata la massa totale.

Massa Totale = con μ(x,y) = densità

x^* =

y^* =

Formula per il calcolo del momento d'inerzia rispetto all'origine:

I_o = I_x + I_y = ∬_Ω (x² + y²) μ(x,y) dx dy = ∬_Ω (d_o²) μ(x,y) dx dy

con d_o² distanza al quadrato dall'origine di un punto (x,y)

Formula per il calcolo dell'inerzia rispetto ad una retta qualunque:

I = ∬_Γ d² μ(x,y) dx dy con d² distanza fra due punti

d² = (x - x_P)² + (y - y_P)² P(x,y)

Formula per il calcolo dell'area:

Area(Ω) = ∬_Ω 1 dx dy

2) INTEGRALI TRIPLI:

Formula di integrazione per FILI:

Dato un insieme convesso o semplice rispetto a z, posso usare l'integrazione per fili:

⨘⨘⨘_Ω g(x,y,z) dx dy dz = ⨘_a^b (⨘⨘_{Ωg1(x,z)^g2(x,z)} g(x,y,z) dy dz) dx dy

p ed è semplice se z è compresa fra due superfici

Formula di integrazione per STRATI:

Data una funzione f(x,y,z) con z ∈ [α,β], posso usare l'integrazione per strati nel seguente modo:

⨘⨘⨘_Ω g(x,y,z) dx dy dz = ⨘_α^β (⨘⨘_Ω g(x,y) dx dy) dz

3) Calcolo l'integrale di linea:

\(\int \sqrt{9t^2 -12t+12}\, dt = \int\limits_1^2 \sqrt{9t^2 -12t+12}\, dt = \int\limits_1^2 9t^3 -12t^2 +12t\, dt \)

\(= \left[\dfrac{9}{4}t^4 - 4t^3 + 6t^2\right]_1^2 = 9,5\)

• Integrali curvilinei di II specie o di linea:

\(\int \mathbf{F} \cdot d\mathbf{s} = \int F(\gamma(t)) \cdot \gamma'(t)\, dt \)

con \(\mathbf{T}\) = vettore tangente alla curva

• Questo integrale è definito anche come integrale di lavoro perchè esprime il lavoro fatto da un campo vettoriale \(\mathbf{F}\) per muovere un punto lungo una curva.

4) INTEGRALI SUPERFICIALI:

• Integrale superficiale di II specie:

\(\int\limits_\Sigma \mathbf{F} \cdot d\mathbf{\sigma} = \int\limits_{\Sigma} \mathbf{F}(\sigma(u,v)) \cdot ||\mathbf{N}(u,v)|| \, du\, dv \)

con \(\sigma(u,v)\) una mappatura che va da \(\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3\)

\(\mathbf{N}(u,v) = \det\begin{bmatrix} \partial \mathbf{\sigma}/\partial u & \partial \mathbf{\sigma}/\partial v \end{bmatrix} \)

\(= \begin{bmatrix} \partial \mathbf{\Phi}/\partial u & \partial \mathbf{\Phi}/\partial v \end{bmatrix}\)

\(\mathbf{\Phi} = \partial u & \partial v \)

• La norma del vettore normale, cioè la somma dei quadrati dei componenti:

\(||\mathbf{N}||^2 = p_x^2 + p_y^2 + p_z^2\)

• Area di una superficie:

\(\int\limits_\Sigma ||\mathbf{N}||\, d\sigma = \int\limits_{\Sigma} ||\mathbf{N}||\, du\,dv \)

Esempio:

1. F(x,y,z) = (xz + 2z², x² e^y, z) e Σ = {(x,y,z)∈R³ : x² + y² = 4, y ≥ 0}

   Calcolare la circolazione significa fare un integrale di linea.

   γ(θ) = (2cosθ, 2senθ, 0)

   1. Devo parametri...
   3. 2θ + sinθcosθ, θ ∈ [0, 2π]

2. Data Σ = {(x,y,z)∈R³ : r = [1, 1]}

   • x
   • z = 0
   • γ(t) = (t, 0)

4) Criterio del rapporto:

Data la serie a_n se ^lim⁄_n→+∞ (a_n+1 ⁄ a_n ) = L allora:

• i) L < 1 → serie converge
• ii) L > 1 → serie diverge
• iii) L = 1 → non posso dire nulla e devo usare un altro criterio

5) Criterio integrale o di Mc Laurin:

• f(x): [k; +∞) → ℝ
• f continua e decrescente → f(x) ≥ 0
• a_n = f(x) → la serie è la discevenizzazione di f(x)

6) Criterio di convergenza assoluta:

Sia data una serie a_n, se converge ^∑⁄_n=0 |a_n| allora anche a_n convergerà.

1. a_n = (i)ⁿ * 1⁄k² → converge

→ anche la prima serie converge.

7) Criterio di Leibniz per serie a segno alterno:

Data la serie a segno alterno ^∑⁄_n=0 (-1)ⁿa_n, la serie converge se:

2)

f_n(x) = { 1/m per 0 < x < 1/m

0 per 1/m < x < 1

f(x) = { 0 per x = 0

0 per 0 < x < 1

lim_n→∞ sup |f_n(x) - 0| = lim_n→∞ 1/n = 0

→ 0 conv. uniformemente

Esempi:

1. Data f_n(x) = e^nx discutere l'insieme di convergenza.
   • La lim_n→∞ e^nx ≠ 0 per x > 0 non converge.

   Per x ≤ 0 invece la funzione converge f(x) =

   • 1 se x < 0
   • 0 se x = 0
   .

   Inoltre non essendo continua non converge uniformemente su (−∞, 0), ma su (−∞, x) con x ≤ 0.

2. Data f_n(x) discutere la convergenza.
   • lim_n→∞ f_n(x) =
     • 2 se x = 0
     • 5/4 se X = 1/2
     • 9/5 se x = 1/3
     • 1/2 se x = 0
     = x > 0
   • La convergenza puntuale è f(x) =
     • 0 se x = 0
     • 1/3 x > 0
     a no uniforme
3. Studiare la convergenza di f_n(x) = nx(1−x²)ⁿ con x ∈ [−1, 1].

   Se l'intervallo fosse diverso la riconciana divergerebbe

   (n > 0; [−1, 1])

   f_n(x) = n(1−x²)ⁿ + n x(−2x(1−x²)ⁿ) = n(1−x²)ⁿ + 2n x(1−x²)ⁿ

   (1−x²)ⁿ(m + 2m x²) = (1−x²)^m−1(m − m x² + 2n x²)

   f(x) = 0 n → m x²+2n x² = x² = m m−2m = 1/1+2m = 1/1+2m

   La f(x) non ha convergenza uniforme