Teoria Completa, Analisi II

a) Serie e successioni di funzioni. Convergenza puntuale ed uniforme; criterio di Cauchy. Teoremi di continuità del limite per successioni di funzioni continue, di passaggio al limite sotto il segno di integrale e di derivata. Serie totalmente ed assolutamente convergenti; convergenza totale e convergenza uniforme. Derivazione ed integrazione termine a termine di una serie. Sviluppabilità in serie di Taylor.

b) Elementi di topologia. Insiemi aperti e chiusi; punti di accumulazione e punti di frontiera. Compattezza e caratterizzazione dei compatti di Rn. Convessità e connessione. Funzioni di più variabili: limiti, continuità e proprietà relative.

c) Calcolo differenziale. Derivate parziali; differenziabilità e teorema del differenziale; derivate direzionali e gradiente; derivazione delle funzioni composte; operazioni su campi scalari e vettoriali. Derivate di ordine superiore e teorema di Schwarz (s.d.). Formula di Taylor; massimi e minimi relativi di funzioni di due variabili: condizioni necessarie (s.d.); condizioni sufficienti. Ricerca di massimi e minimi assoluti di funzioni continue in insiemi compatti.

d) Curve. Curve regolari e regolari a tratti. Curve semplici e curve chiuse. Retta tangente; lunghezza di un arco di curva; curve orientate; ascissa curvilinea. Integrale curvilineo di una funzione.

e) Integrali multipli. Integrale di Riemann nel piano. Domini normali in R2. Integrali doppi, cambiamenti di variabili e formule di riduzione. Cambiamento di variabili(s.d.). Integrali tripli; formule di riduzione (s.d.); Solidi di rotazione e Teorema di Guldino (s.d.).

f) Superfici. Superfici regolari di R3: piano tangente; Area di una superficie. Superfici di rotazione e Teorema di Guldino. Integrale superficiale di una funzione. Flusso di un campo vettoriale.

g) Forme differenziali lineari. Integrali curvilinei. Forme differenziali esatte e campi conservativi; criterio di integrabilità delle forme differenziali. Formule di Gauss-Green nel piano. Teorema della divergenza nel piano. Teorema di Stokes e della divergenza nel piano. Forme differenziali chiuse in aperti semplicemente connessi del piano. Forme differenziali radiali.

h) Equazioni differenziali. Problema di Cauchy per equazioni differenziali: teorema di esistenza e unicità locale (s.d.), teorema di esistenza e unicità globale. Integrali generali; integrali particolari. Equazioni lineari: equazioni lineari del prim'ordine; equazioni lineari a coefficienti costanti del second'ordine; metodo di Lagrange della variazione delle costanti. Equazioni a variabili separabili.

i) Funzioni implicite. Funzioni implicite e teorema del Dini. Ricerca di massimi e minimi vincolati col metodo dei moltiplicatori di Lagrange.

Successioni

Si chiama successione di funzioni e si indica con \( \{f_n\}_{n \in \mathbb{N}} \) un’applicazione che ad ogni numero naturale associa una funzione \( f_n(x) \) di variabile reale.

Alcuni esempi:

• \( f_n(x) = \frac{x}{n} \)
• \( f_n(x) = \sin(nx) \)
• \( f_n(x) = x^n \sqrt{x} \)

Se fisso \( x \in \mathbb{R} \) e considero \( \lim_{n \to \infty} \frac{x}{n} \) questo limite è \( 0 \) e dirò che \( f(x) = 0 \) è il limite puntuale della successione \( f_n(x) = \frac{x}{n} \).

Più in generale. Se \( f_n(x) \colon I \to \mathbb{R} \) con \( I \subseteq \mathbb{R} \)

Allora dico che \( f_n(x) \) converge puntualmente a \( f(x) \) in \( I \) se \( \forall x \in I \) e \( \forall \epsilon > 0 \) \( \exists \overline{n} \colon n \ge \overline{n} \) \( \Rightarrow |f_n(x) - f(x)| < \epsilon \).

Esempio:

\( f_n(x) = x^n \)

\([0, 1] \to \mathbb{R} \) (intervallo scelto)

\( f_n(1) = 1 \)

\( f_n(x) \to f(x) \Rightarrow x^n \to x^{n+1} \)

\( \lim_{n \to \infty} f_n(x) = \lim_{n \to \infty} x^n\) \begin{cases} 0 & \text{ se } 0 \le x < 1\\ 1 & \text{ se } x = 1 \end{cases} = f(x) \)

f_n(x) è di Cauchy se

∀ε>0 ∃ν: n,m>ν   |f_n(x)-f_m(x)|<ε   ∀x∈I

∀ε>0 ∃ν: n,m>ν   sup_k∈I |f_n(x)-f_m(x)|<ε

CONVERGENZA UNIFORME CON CALUCHY (SUCCESSIONI)

T f_n(x) converge uniformemente in I se e solo se è di Cauchy

DIM:

1. ⁿ _I f_n(x) → f(x)

IMPLICA

1. ∀ε>0 ∃ν n >ν   |f_n(x)-f(x)|<ε   ∀x∈I
2. AGGIUNGO E SOTTRAGGO f(x)

|f_n(x) - f_m(x)|≤ |f_n(x) - f(x)| + |f(x) - f_m(x)| <2ε   ∀x

n, m, &radrm; ν

Conv. unif. → f_n(x) è di Cauchy

1. f_n(x) è Cauchy

IMPLICA

1. ∀ε>0 ∃ν: n,m>ν |f_n(x) - f_m(x)|<ε   ∀x∈I

∃ unif x∈I f_n(x) è una succ. numerica di Cauchy

Serie di funzioni: SUCCESSIONE DELLE SOMME PARZIALI

S_n(x) = f₁(x) + ... + f_n(x)

S₁(x) = f₁(x)

S₂ = f₁(x) + f₂(x)

S₃ = f₁(x) + f₂(x) + f₃(x)

Scrivo che ∑_m=1^∞ f_m(x) = S(x) se S_m(x) converge puntualmente ad f(x) (lim_n∈S S_n(x) = f(x))

Crit. Lund.

∑_m=1^∞ f_m(x) converge unif. se e solo se

∀ε > 0 ∃n biggg ∈_S ∀x ∈_I

f_n+1(x) + f_n+2(x) + ... + f_n+K(x) < ε ∀ x ∈ I

|S_n+K(x) - S_n(x)| < ε

Teorema di continuità del limite per le serie

Ipotesi

f_n(x) ∈ C[c_i, ℓ]

∑_m=1^∞ f_m(x) conv. unif. ad f(x) in [a, b]

Teoria

f(x) ∈ C[c_i, ℓ] & e quindi lim^{x →ξ} ∑_m=1^∞ f_m(x) = ∑_∈S lim x∈γ

Topologia

INTORNO IN R²

I_δ(0) intorno di raggio δ dell'origine

{(x, y) ∈ R² : √(x² + y²) < δ}

I_δ(x0,y0) ≡ {(x, y) ∈ R² : √((x-x_c)² + (y-y₀)²) < δ}

PUNTO INTERNO, PUNTO ESTERNO E PUNTO DI FRONTIERA

A ⊆ R

(x₀,y₀) è punto interno di A se ∃δ >0 tale che I_δ(x0,y0) ⊂ A

(x₀,y₀) è punto esterno di A se ∃δ >0 tale che I_δ(x0,y0) ∩ A = ∅

(I_δ(x0,y0) ⊂ (R² \ A))

(x₀,y₀) è punto di frontiera di A se ∃δ >0 tale che I_δ(x0,y0) ∩ A ≠ ∅ (I_δ(x0,y0) / A ≠ ∅)