Teoria Completa, Analisi II

Serie e successioni di funzioni

Serie e successioni di funzioni. Convergenza puntuale ed uniforme; criterio di Cauchy. Teoremi di continuità del limite per successioni di funzioni continue, di passaggio al limite sotto il segno di integrale e di derivata. Serie totalmente ed assolutamente convergenti; convergenza totale e convergenza uniforme. Derivazione ed integrazione termine a termine di una serie. Sviluppabilità in serie di Taylor.

Elementi di topologia

Insiemi aperti e chiusi; punti di accumulazione e punti di frontiera. Compattezza e caratterizzazione dei compatti di R_n. Convessità e connessione. Funzioni di più variabili: limiti, continuità e proprietà relative.

Calcolo differenziale

Derivate parziali; differenziabilità e teorema del differenziale; derivate direzionali e gradiente; derivazione delle funzioni composte; operazioni su campi scalari e vettoriali. Derivate di ordine superiore e teorema di Schwarz (s.d.). Formula di Taylor; massimi e minimi relativi di funzioni di due variabili: condizioni necessarie (s.d.); condizioni sufficienti. Ricerca di massimi e minimi assoluti di funzioni continue in insiemi compatti.

Curve

Curve regolari e regolari a tratti. Curve semplici e curve chiuse. Retta tangente; lunghezza di un arco di curva; curve orientate; ascissa curvilinea. Integrale curvilineo di una funzione.

Integrali multipli

Integrale di Riemann nel piano. Domini normali in R². Integrali doppi; cambiamento di variabili: formule di riduzione. Cambiamento di variabili(s.d.) Integrali tripli; formule di riduzione (s.d.); Solidi di rotazione e Teorema di Guldino (s.d.).

Superfici

Superfici regolari di R³: piano tangente; area di una superficie. Superfici di rotazione e Teorema di Guldino. Integrale superficiale di una funzione. Flusso di un campo vettoriale.

Forme differenziali lineari

Integrali curvilinei. Forme differenziali esatte e campi conservativi; criterio di integrabilità delle forme differenziali. Formule di Gauss-Green nel piano. Teorema della divergenza nel piano. Teorema di Stokes e della divergenza nel piano. Forme differenziali chiuse in aperti semplicemente connessi del piano. Forme differenziali radiali.

Equazioni differenziali

Problema di Cauchy per equazioni differenziali: teorema di esistenza e unicità locale (s.d.). Integrali generali; integrali particolari. Equazioni lineari: equazioni lineari del primo ordine; equazioni lineari a coefficienti costanti del secondo ordine; metodo di Lagrange della variazione delle costanti. Equazioni a variabili separabili.

Funzioni implicite

Funzioni implicite e teorema del Dini. Ricerca di massimi e minimi vincolati col metodo dei moltiplicatori di Lagrange.

Ripetizione: serie e successioni di funzioni

Serie e successioni di funzioni. Convergenza puntuale ed uniforme; criterio di Cauchy. Teoremi di continuità del limite per successioni di funzioni continue, di passaggio al limite sotto il segno di integrale e di derivata. Serie totalmente ed assolutamente convergenti; convergenza totale e convergenza uniforme. Derivazione ed integrazione termine a termine di una serie. Sviluppabilità in serie di Taylor.

Ripetizione: elementi di topologia

Insiemi aperti e chiusi; punti di accumulazione e punti di frontiera. Compattezza e caratterizzazione dei compatti di R_n. Convessità e connessione. Funzioni di più variabili: limiti, continuità e proprietà relative.

Ripetizione: calcolo differenziale

Derivate parziali; differenziabilità e teorema del differenziale; derivate direzionali e gradiente; derivazione delle funzioni composte; operazioni su campi scalari e vettoriali. Derivate di ordine superiore e teorema di Schwarz (s.d.). Formula di Taylor; massimi e minimi relativi di funzioni di due variabili: condizioni necessarie (s.d.); condizioni sufficienti. Ricerca di massimi e minimi assoluti di funzioni continue in insiemi compatti.

Ripetizione: curve

Curve regolari e regolari a tratti. Curve semplici e curve chiuse. Retta tangente; lunghezza di un arco di curva; curve orientate; ascissa curvilinea. Integrale curvilineo di una funzione.

Ripetizione: integrali multipli

Integrale di Riemann nel piano. Domini normali in R². Integrali doppi; formule di riduzione; teorema della media. Cambiamento di variabili(s.d.). Integrali tripli; formule di riduzione (s.d.). Solidi di rotazione e Teorema di Guldino (s.d.).

Ripetizione: superfici

Superfici regolari di R³: piano tangente; area di una superficie. Superfici di rotazione e Teorema di Guldino. Integrale superficiale di una funzione. Flusso di un campo vettoriale.

Ripetizione: forme differenziali lineari

Integrali curvilinei. Forme differenziali esatte e campi conservativi; criterio di integrabilità delle forme differenziali. Formule di Gauss-Green nel piano. Teorema della divergenza nel piano. Teorema di Stokes.