Analisi matematica II - corso completo teoria

ANALISI MATEMATICA II

Lezione 22 febbraio 2021

INTEGRALI IMPROPRI

∫_a^b f(x) dx   f ∈ ℰ°([a,b])

In analisi matematica I sono state considerate funzioni con discontinuità di 1^a specie.

f è continua in ogni intervallo [a,a₁], [a_i,a_i+1]... [a_m,b].

Esistono dunque lim_x→ai^- f(x) ; lim_x→ai⁺ f(x) finiti e ciò significa che f è integrabile in (a,b):

∫_a^b f(x) dx = ∫_a^a₁ f(x) dx + ∫_a1^a₂ f(x) dx + ... + ∫_am^b f(x) dx

Questo per quanto riguarda integrali di funzioni limitate.

Consideriamo ora integrali di funzioni non limitate.

Sia f: [a,b) → ℝ , f ∈ ℰ°([a,b])

lim_x→b^- f(x) = +∞ (oppure -∞)

Come definire ∫_a^b f(x) dx (se possibile)?

IDEA:

poiché f ∈ C^°°((a, b-ε]) con ε > 0

⇒ ∃ lim_b-ε ∫_a^b-ε f(x) dx . (*)

calcolo lim_ε→0⁺ ∫_a^b-ε f(x) dx e x tale limiti esist., finiti

in due da f è integrabili in senso improprio in [a, b] e

si pone:

∫_a^b f(x) dx = valore del limiti sopra (*)

se il limiti (*) esisti ma melti +∞ oppure -∞ in due di

∫_a^b f(x) dx è divergenti

Se il limiti (*) non esisti in due

enti

ESEMPIO:

∫₀¹ 1/(1-x)^1/2 dx

f(x) = 1/(1-x)^1/2 = 1/√(1-x)

f ∈ C^°[0,1)

⇒ f è illimitate in un intorno di

x = 1

°[0, 1-ε]

∫₀^1-ε 1/(1-x)^1/2 dx = [-2(1-x)^1/2]₀^1-ε = -2 (1-1+ε)^1/2 + 2 =

= -2 ε^1/2 + 2

lim_ε→0⁺ -2 ε^1/2 + 2 = 2

Se g è integrabile in senso improprio su [a,b] anche f lo è. (1)

Se f non è integrabile in senso improprio su [a,b] nemmeno g lo è. (2)

Le monotonia dell'integrale ci assicura che valga:

0 ≤ ∫_a^b-ε f(x)dx ≤ ∫_a^b-ε g(x)dx

f,g ∈ C°([a,b-ε])

↔ f e g continue in [a,b-ε]

Se vale (1) allora vale che

ε ∃ lim_ε→0⁺ ∫_a^b-ε g(x)dx enti finiti

= qed ∫_a^b-ε f(x)dx è finito!

Se vale (2) allora vale che se ∫_a^b-ε f(x)dx è divergenti

= qed ∫_a^b-ε g(x)dx è divergenti.

Interpretazione geometrica

Se f(x) ≥ 0 ∫_a^b-ε f(x)dx rappresenta un'area

(f e g assolutili in b)

Lezione 26 Febbraio 2021

0 < α < 1 → integrali impropri convergenti

α ≥ 1 → integrali divergenti

∫_a^b 1/x^α dx

Osservazione

I due criteri per stabilire la convergenza di integrali impropri valgono se la funzione non cambia entro il limite positivo o nullo ma anche se funziona entro il limite negativo o nullo.

• Le dimostrazioni del tipo f ≤ g possono valere su [x₀,b] (oppure (a,x₀)) e non necessariamente in tutto [a,b].

Per funzioni con segno variabile:

(non sempre + o - in [a,b])

Teorema

Se ∫_a^b |f(x)| dx è convergente allora ∫_a^b f(x) dx è convergente.

[Questo teorema è utile nel caso di funzioni con segno non costante]

Esempio:

Stabilire se ∫₀¹ 1/√x sen (1/x) dx è convergente

f(x) = 1/√x sen (1/x) è definita e continua per x ≠ 0

Quando x → ∞, il sen(1/x) continua ed oscilla tra i valori -1 e 1 → segno variabili.

...l'integrale ... è convergente

OSSERVAZIONE: ... [...] integrale ...

ESEMPIO:

Stabilire se ... l'integrale

∫₀^∞ ...

∫₀^∞ ...

determinate ... estremi di integrazione

... l'integrale è convergente ...

∫₀^a f(x) dx ... è convergente

... somma ... integrali convergenti ...

... l'integrale ... convergenti

Per funzioni ...

∫_a^∞ f(x) dx ≤ ∫_a^∞ |f(x)| dx

Se ∫_a^∞ |f(x)| dx ... convergenti, allora ∫_a^∞ f(x) dx ...

se q≠1

∑_m=0^∞q^m=1+q+q²+q³+...+∞

se q=-1

∑_m=0^∞(-1)^m=1-1+1-1+1-1...

irr. . .e

se mi fermo ad un n pari

o ad un dispari avrò=0

-1

S_n=... .

Serie geometriche convergenti per |q|