Teoria dei Segnali - Parte Probabilità

Eventi, probabilità e teoremi

Supponiamo ora un terzo evento C: {esce un numero ≤ 4} e andiamo a calcolare P(A ∪ C). Ora l'insieme A e C non sono insiemi disgiunti, non vale più: P(A ∪ C) = P(A) + P(C).

Per trovare P(A ∪ C) dobbiamo sommare P(A) e P(C), ma dobbiamo sottrarre la probabilità dell'intersezione degli eventi. (P(A ∩ C)).

P(A ∪ C) = P(A) + P(C) - P(A ∩ C)   dove   A ∩ C = {2,4}   → P(A ∩ C) = ²/₆ = ¹/₃

P(A ∪ C) = ¹/₂ + ⁴/₆ - ²/₆ = ⁵/₆

Due eventi si dicono essere statisticamente indipendenti se P(A ∩ B) = P(A) P(B).

Per semplicità scriveremo P(A ∪ B) = P(A+B) e P(A ∩ B) = P(AB).

Assioma del complemento

Assioma   A ∪ Ā = S   ⇒ P(A ∪ Ā) = P(S) = 1 = P(A) + P(Ā)

Complemento   Vale perché A e Ā sono disgiunti.

Esempio

P{passare l'esame su m prove e disposizioni} = 1 - P{non passare m prove}= 1 - (1 - P{non passare})^m se voglio trovare m devo fare un Hp ovvero impongo la probabilità di successo è 0.8; a quel punto 1 - (1 - p)^m = 0.8   ⇒ m = ^{log 0,1}/_{log (1-p)}

Probabilità condizionata

P(A | B) → è la probabilità che si verifichi A condizionata a B.

P(A | B) = ^P(AB)/_P(B)

Supponiamo ora un terzo evento C: {esce un numero ≤ 4} e cerchiamo di calcolare P(A ∪ C). Ora siccome A e C non sono eventi disgiunti non vale più: P(A ∪ C) = P(A) + P(C).

Per trovare P(A ∪ C) dobbiamo sommare P(A) e P(C) ma dobbiamo sottrarre la probabilità dell'intersezione degli eventi. (P(A ∩ C)).

P(A ∪ C) = P(A) + P(C) - P(A ∩ C)   dove   A ∩ C = {2, 4}   ⇒ P(A ∩ C) = ²⁄₆ = ¹⁄₃

P(A ∪ C) = ¹⁄₂ + ⁴⁄₆ - ²⁄₆ = ⁵⁄₆

Due eventi si dicono essere statisticamente indipendenti se P(A ∩ B) = P(A) P(B).

Per semplicità scriveremo P(A ∪ B) = P(A + B) e P(A ∩ B) = P(AB).

Assioma del complemento

Assioma   A ∪ Ā = S   ⇒   P(A ∪ Ā) = P(S) = 1 = P(A) + P(Ā)

Complemento   Vale perché A e Ā sono disgiunti.

Esempio

P{passare l'esame su m prove e disposizioni} = 1 - P{non passare su m prove}= 1 - (1 - P{non passare})^m   se voglio trovare m devo fare un'ip. Ovvero imponendo la probabilità di successo = 0.8 a quel punto 1 - (1 - p)^m = 0.8   ⇒   m = ^{log _e 0.1}⁄_{log(1 - p)}

• Probabilità condizionata

P(A | B) ⇒ è la probabilità che si verifichi A condizionato a B.

P(A | B) = ^{P(A ∩ B)}⁄_P(B)

Esempio: lancio di dadi

B: {2, 4, 6} A: {4}

B è l'evento casualmente; in pratica se voglio calcolare P(A|B) sto calcolando la probabilità che esca solo il numero 4 facendo presente che dai lanci effettuati sono usciti solo numeri pari.

P(A) = ¹/₆

P(A|B) = ^P(AB)/_P(B) = ^P({4})/_{P({2, 4, 6})} = ^1/6/_1/3 = ¹/₂ = ¹/₃

Regole di Bayes

^P(B/A)/_P(BA) = ^P(BA)/_P(A)

DIM: P(A|B) = ^P(A·B)/_P(B) ⇒ P(AB) = P(A|B)·P(B) ma posso dire che P(BA) = P(B|A)·P(A) ⇒ P(B|A) = ^P(BA)/_P(A)

P(B|A) = ^P(A|B)·P(B)/_P(A) Regole di Bayes.

Partizione di S

A_i ∩ A_j = Ø, ∀ i ≠ j

^∞_i=1 ∪ A_i = S

Supponiamo di voler conoscere P(A_i|B) e P(B/A_i).

B = ∪^m_i=1 (A_i ∩ B) P(B) = P(∪^m_i=1 A_i ∩ B) = ^m∑_i=1 P(A_i|B)

Questi eventi siano disgiunti: P(B/A_i) = P(BA_i) ⇒ P(BA_i) = P(B/A_i)·P(A_i) quindi abbiamo che:

P(B) = ^m∑_i=1 P(B/A_i) P(A_i) → Teorema delle probabilità totali

Una P(A_i|B) = P(B/A_i)P(A_i)P(B)

Esercizio

Supponiamo di avere un sistema di trasmissione numerica.

Trasmissione ricezione

x = 1-p