Teoria dei Segnali - Parte Probabilità

Parte di teoria dei segnali riguardante la probabilità, necessaria per comprendere la parte di programma riguardante i segnali aleatori.
Utile sopratutto agli studenti di ingegneria delle comunicazioni che non hanno nel piano di studi l'esame di Probabilità.

Esame Teoria dei segnali

Facoltà Ingegneria dell'informazione

Dal corso del Prof. Barbarossa Sergio

Università Università degli Studi di Roma La Sapienza

Publisher Ro_martino

A.A. 2017-2018

36 pagine

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Supponiamo ora un terzo evento C: { esce un numero ≤4 } e cerchiamo di calcolare P(A∪C). Ora l’insieme A e C non sono insiemi disgiunti non vale più: P(A∪C) = P(A)+P(C).

Per trovare P(A∪C) dobbiamo sommare P(A) e P(C) ma dobbiamo sottrare la probabilità dell’intersezione degli eventi (P(A∩C)).

P(A∪C) = P(A) + P(C) - P(A∩C) dove A∩C ={2,4} ⇒ P(A∩C) = ²/₆ = ¹/₃

P(A∪C) = ¹/₂ + ⁴/₆ - ²/₆ = ⁵/₆

Due eventi si dicono essere statisticamente indipendenti se

P(A∩B) = P(A) P(B)

Per semplicità scriveremo P(A∪B) = P(A+B) e P(A∩B) = P(AB)

ASSIOMA A∪Ā = Ω ⇒ P(A∪Ā) = P(Ω) = 1 = P(A) + P(Ā)

Complemento Vale perchè A e Ā sono disgiunti

Esempio:

P{posare l’esame su m prove e disprozarone} = 1 - P{non passare m u prove}

= 1 - (1 - P{non passare})^m se voglio trovare m dove fare un Mo ovvero raggiungo le probabilità di successo e 0,8, i a quel punto

1 - (1 - p)^m = 0,8 ⇒ m= ^{log 0,1}/_log(1-p)

Probabilità condizionata

P(A/B) ⇒ è la probabilità che si verifichi A condizionato a B.

P(A/B) = ^P(AB)/_P(B)

Esempio: Lancio di dadi:

B: {2, 4, 6} A: {4}

P(A) = ¹/₆ P(A|B) = ^P(AB)/_P(B) = ^P({4})/_{P({2, 4, 6})} = ¹/₃ = ¹/₃

Regola di Bayes

P(B/A) = ^P(BA)/_P(A)

DIM: P(A/B) = ^P(AB)/_P(B) ⇒ P(AB) = P(A|B) · P(B)

P(BA) = P(B|A) · P(A) ⇒ P(B|A) = ^P(BA)/_P(A) = ^{P(A|B) · P(B)}/_P(A)

Partizione di S.

A_i ∩ A_j = ∅, ∀ i ≠ j

∪^m_i=1A_i = S

Supponiamo di voler conoscere P(A_i|B) e P(B/A_i)

P(B) = P(∪^m_i=1(A_i ∩ B)) = ^m∑_i=1P(A_i ∩ B)

P(B|A_i) = ^P(BA_i)/_{P(A_i)} ⇒ P(BA_i) = P(B|A_i) · P(A_i)

quindi abbiamo che:

P(B) = ∑^m

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