Teoria "teoria dei segnali"

coeff Fourier gener.

es. = lim_T→∞ 1/T ∫_-T/2^T/2 |x(t)|² dt

lim_T→∞ 1/T ∫_-T/2^T/2 x(t)x*(t) dt

* WIENER *

eq. ua pot. t è 1/T dt = 1/T²

P_x = lim 1/ΔΤ

prodottto scalare -> lim 1/ΔT = P_xP_y

* WIENER *

sist. lineare ->

DEF. H

H:[ ] ∑_ia_ix_i(t)l

|H| = ∑_k=0^∞ a_kx_i(t)

uni. in verso esteso

sono veri e mannerai rispetto alla loro temporale

risposta impulsiva -> h[n] = H[Σn{]

PROPRIETA' FOURIER

LINEARITA'

due segnali x(t) e y(t) senza periodo e sviluppo in serie

x(t) → Xny(t) → Yn

|ax(t) + by(t)| → A X_n + B Y_n

Z_n = A x_u + B Y_n

TRASLAZIONE SUL TEMPO

z(t) ↔ Z_n

|Z_n = X_n e^-jtnK

TRASLAZ. IN FREQUENZA

X(t) ↔ X_n periodico

x(t) · e^{2π jkt} ↔ X_n-k

Z_n = ₁/^T ∫ x(t) e^2πti(K-F) e^-j2πft = ¹/_T ∫ x(t) e^-j2πf(t+O)

dt = x_n-l

DERIVAZIONE

X(t) ↔ X_u periodico

∂x(t)/∂t ↔ 2π Uf X_n

z(t) = dx(t)/dt = ∑ ^i=∞/_i=-∞ e_n UFxu

dove x(t) = ∑ (X_u e^t2πiuf

dt = 2πUFx_n

RICORDA

X(t) = x_n

Proprietà Fourier 2

Cambiamento di scala

x(at) → (1/|a|) x(f/a)

∫ x(at) dt = (1/|a|) ∫ x(f/a) e^{-j 2πf t} df

∫ x(f/a) e^{-j 2πf t} df = |a| ∫ x(t) e^{-j 2π (at) f} df =

= ∫ x(o) e^{-j 2π af} df = ∫ x(f) do /a

do /a = 1/|a| x(t/a)

Proprietà di integrazione

∫ x(o) do = (x(o)/2) + x(f) / j 2πf

∫ x(t) dt

z(t) = ∫ x(o) do = x(t) ∗ ua(t) =

= ∫ x(o) ua(t-o) do =

= ∫ x(o) do = ∫ x(t) + ua(t) = ∫ x(t) ∗ ua(t) =

= ∫ x(t) fa ∗ ua(t) = ∫ x(f) = (1/2 ua(f) + 1/j 2πf)

Segnali in frequenza

x(g) → x(t)

λ(t) = ∫ x(g)e^-jλt dg

Deriva in frequenza x semplificare

X(g) = ∫ x(t)e^{-j2πf t} dt

dX(g)/dg = ∫ (-j2πt) x(t) e^{-j2πf t} dt

X(g) → x(t)

dX(g) / dg → - j 2πt x(t) / z(g)

x(t) = Z(t) / -j2πt

x_c(t) = x(t) ₁⁄_2W [Π_t/2W (t)]

y(t) = x_c(t) * h(t)

h(t) = 2W C_a [Π2Wt]

y(t)=₁⁄_2W [Σ x( u _-W 2W )* h( u _-W )] * 2W C_a[Π2Wt]

= Σ x n= -∞ x( u_W)C_a [Π 2W u - W 2W ]=x(t)

SOVRA/SOTTO CAMPIONAMENTO

SOVRACAMPIONAMENTO

1⁄2W₁ < 1⁄2W

SOTTOCAMPIONAMENTO

1⁄2W₁ > 1⁄2W

DIMOSTRAZIONE ORTONORMALITÀ ELEMENTI BASE⁵

‹C_a [2ΠWt−u/2W]; n = 0; ±1; ±2...>

Prodotto scalare ‹C_a [2ΠWt−u/2W], Ca [2ΠWt−u/2W]›

=‹ 1 rect_2W(φ) e^−j2Πu_2Wφ ,rect_2W(φ) e^−j2Πu_2Wφ ›

Ψ {∫ rect_2W(φ) e^−j2Πu_2Wφ |²dφ= ∫ dφ = 1⁄2W = x(φ)^∞_−∞⁄ _−W= ∫⁺ _-∞ = Ca Segnale di energia

=≫PRODOTTO SCALARE SEGNALI DI ENERGIA_u^s

∫_−∞ rect_2W(φ) e^−j2Πu_2Wφ rect_2W'(φ) e^−j2Πu_2Wφ dφ= ₁⁄_2W⁄= ∫^W _−W [ e^j2Π] ^W dφ = [e^j2Π] ^W

se ho {x( u⁄2W₁)}^INGRESSO {h( u⁄2W)}^USR.MPULSE {y( u⁄2W)}^USCITA

Ψ( u⁄2W)^{=Ψ[ x( u⁄2W₁) ]}

VARIABILI ALEATORIE

- calcolo le probabilità in modo + aperto

Ω[-2, 3] , ρ

[0, 1]

ρ(-)p(-)

D_X(x)

R^s, Y_R, D_X( )

E ∈ x

D_X(x) = funzione di distribuzione

calcolare la pos. di qun evento ammistrabile

A={ ω| ω ∈ Ω x( ω) ∈ E e ∃ ξ ∈ ⊄ ξ }

A={ω| ωi ∈ Ω -∞< x( ω) ≤ ξ}

variabile aleatoria x( ω) valore funzione x : Ω → R¹ misurabile, tale che per ogni ξ∈R

l’insieme A comp. in E B :

ti definitive discreta se esiste un insieme S di punti;

(finitì o inf. numerabile) tale che:

Σ P_i {X(ω) = X_i : i=1

FUNZIONE DI DISTRIBUZIONE E DI DENSITÀ DI PROBABILITÀ

∋∈⛶

Pr ξ ∈ E P (E) ξ, ξ = ≤∫ D_X dX (x)

Pr ∋ ∈ E

P( ξ intervened this page will be the same as the last )

caso monodimensionale D_X(x) = Pr{ X≤ x }

D_X, .x..., X_n(X₁, x_2, X_n) = Pr { X, X₁ ≤ x₁, X₂ ≤ x₂, X_n≤ x_n}

FUNZIONE DI DISTRIBUZIONE

1. NON NEGATIVA

D_X(x₁, x₂...)≥0

D_X(x + ∆X ) > D_X(x)

Pr { y ≤ x + ∆X ≤ x}

2. SEMPRE CRESCENTE

D_X(x_2, x₄ x_r, ... x_{3 x4... xn) ≥ DX (x2, xr, x3,... xn) Ɐ y ≤ x2; ≥ 0}

3. CONTINUA DA DX

D_X(X₁, X₂, .. X_n...) = D_X(X_n, x_2, .. x_{e ${wo0}}

• x_n > 0
• x_E > 0
4. TENDE A 1 AL TENDERE DI TUTTE LE COUPONENTI X A +00

D_X(x + 00 ) = Pr1 - ∞ = X ← + 00 f = 1

D_X(x₂, x₃... X_n) = 1

∃ x₃ + 0

D_X(x_n, x_n, x₃,...) = Pr { j, x_i ≤ x, ∞ <X < +00 }

lim D_X(x) = 1

lim D_X = 1

5. TENDE A 0 AL TENDERE DI TUTTE LE COUPONENTI X A +∞

LIM_x∈ (E)

D_X(X₂, x_2...n

X_n) = 0

x = -1 ≤ ρ ≤ 1

cov(x_i, x_j) = E(x_i x_j) - E(x_i) E(x_j)

E(x₁ x₂) - E(x₁) E(x₂) = 1 + 2 ρ > 0

→ ho un legame lineare tra x₁ e x₂

ρ = 0

cov(x_i, x_j) = E(x_i x_j) = E(x_i) E(x_j) x_i ⊥ x_j INCONSULATE

MATRICE DI COVARIANZA

Σ ( x₁, x₂, ..., x_n )

Σ = [ G(x₁, x₁) G(x₁, x₂) ... G(x₁, x_n) ] [ G(x₂, x₁) G(x₂, x₂) G(x₂, x_n) ] [ ... ... ... ... ] [ G(x_n, x₁) G(x_n, x₂) G(x_n, x_n) ]

V.A. CONDIZIONATE

[ x ∈ f ] f = P{f | x ∈ f }

P(x₁, x₂ / x₁) = P_{x1, x2} (x₁, x₂)/P_x1(x₁)

∫_-∞^+∞ P_{x1, x2} (x₁, x₂) dx₂ = P_x1(x₁)

P_{x2 / x1}(x₂ / x₁) = 1

INDIPENDENZA STATISTICA

• P(x₂ / x₁) E [ x ∈ f ] f|
  • => P_{x1, x2}(x₁, x₂ / x₁) = Px₁(x₁)
• CM : P [ x ∈ f | f ] = P{f | x₁, x₂/ x₁} dx₁ = P{ f |x} → P_x1 / x₁(x₁/ x₁) = P_x1 (x₁)

∫_CP ( x₁ / x₂ )⇔ P( ∫_C P_x1 ( x₁ ) dx ) → P_{x2 / x1}( x₂ / x₁ )

_{Fx, x2(x2 / x2) = P x1, x2 (x2, x2)} = P_x2(x₂ / x₁) = Px _x2( x₂)

&P ( x₁ | f ) ⇔ P _{x1, x2} ( x₁ | x₁ ) = Px_x1(x₁)

• =∫∫ P_{x1, x2} (x₂, x₂)| dxdx = P_{x1, x2} (x₂, x₂) [∫c₁x₂ (x₂) dx =
• =∫∫ P_{x1, x2} (x₂, x₂) dxdx =

=> >P_x2(x₂/x₁) = P _x1(x₁)x₁(x₂)