Appunti Teoria dei segnali (parte 2)

Probabilità

• Serve per lo studio dei segnali aleatori, cioè che non si conoscono a priori; un s. aleatorio è del tipo:

S(t) = A cos(wt + φ)

φ può assumere valori tra 0 e 2π (equiprobabili)

• Associo all'evento aleatorio una variabile aleatoria indicata con φ, che può essere discreta (lancio moneta) o continua (φ nel segnale sopra).
• Quando scrivo φ = φ significa che la variabile è stata determinata (realizzata)
• L'insieme complessivo dei valori possibili (spazio campione) si chiama Ω (il sottoinsieme sono gli eventi).
• Definisco la probabilità come:

Pr{"{A}"}= \frac{N_F\{"{A}"}{N_P}

N_F casi favorevoli, N_P casi totali

• Pr{"{A}"} ≥ 0
• Pr{"{Ω}"} = 1
• 0 ≤ Pr{"{A}"} ≤ 1
• Pr{"{A | B}"} = \frac{Pr{"{A, B}"}{Pr{"{B}"}}

Probabilità condizionata

• Eventi statisticamente indipendenti:

Due eventi si dicono indip. se il verificarsi di uno non implica l'altro:

• Pr{"{A}"} = Pr{"{A | B}"}
• Pr{"{B}"} = Pr{"{B | A}"}
• Pr {"{A, B}"} = Pr{"{A}"} · Pr{"{B}"}

\frac{Pr{"{A | B}"} = \frac{Pr{"{B | A}"} · Pr{"{A}"}{Pr{"{B}"}}

= \frac{Pr{"{A ∩ B}"}{Pr{"{B}"}}

Formula di Bayes

• Distribuzione di probabilità cumulativa (funzione ripartizione):

F_X{"{x}"} = Pr{"{X ≤ x}"}

Cioè la probabilità che una variabile X assuma valori non maggiori di x

• 0 ≤ F_X{"{x}"} ≤ 1

• \lim_{"{x → +∞}"} F_X(x) = Pr{"{x < ∞}"} = 1

• \lim_{"{x → -∞}"} F_X(x) = Pr{"{x < 0}"} = 0

P_{r} \{a \le x \le b\} = P_{r} \{x \le b\} - P_{r} \{x \le a\} = F_{x\{b\}} - F_{x\{a\}}

• Densità di probabilità:

f_{X}(x) = \frac{dF_{x}(x)}{dx}

F_{x}(m) = \int_{-\infty}^{m} f_{x}(\epsilon) d\epsilon

\int_{-\infty}^{+\infty} f_{x}(\epsilon) d\epsilon = 1

- f_{x}(x) \ge 0

p_{r} \{a \le x \le b\} = \int_{a}^{b} f_{x}(x) dx

La distribuzione di probab. discreta è una funz. a gradini, mentre la densità di probabilità è composta da una sequenza di delta di Dirac.

• Variabile continua ha prob. che X assuma un particolare valore X pari a 0.
• Variabili miste: quasi ovunque continua ma alcuni punti x_i hanno pr>0 di verificarsi.

Esempi di variabili aleatorie:

• Uniforme
• Esponenziale unilatera
• Esponenziale bilatera
• Binomiale
• Rayleigh
• Poisson

• La statistica indipendenza implica incorrelazione
• Non è vero viceversa! _{(Vero solo per le variab. Gaussiane histè)}

Momento centrale congiunto:

σ_jk = ⟨(X - m_x)^j (Y - m_y)^k⟩ = ∫∫_-∞^+∞(x - m_x)^j(y - m_y)^kf_XY(x, y) dx dy

σ_{1 1} = ⟨(x - m_x) (y - m_y)⟩ = covarianza

• σ_{1 1}=0 se X e Y sono incorrelate.

• Quindi si prende σ_{1 1} come misura della correlazione
• ρ = 0, X, Y incorrelate
• |ρ| = 1, X, Y completamente correlate

Funzione caratteristica congiunta:

C_XY(u, v) = ⟨e^{i(ux + vy)}⟩

• La densità di prob. congiunta si ricava:

f_XY(x, y) = ¹/_4π² ∫_-∞^+∞∫_-∞^+∞C_XY(u, v) · e^{−i(ux−vy)} du dv

C_XY(u, v) = C_X(u) · C_Y(v) se stat. indipendenti

Funzioni di 2 variabili:

• Sia Z = X + Y

F_Z(z) = pr {z ≤ Z} = pr {x + y ≤ z}

• quindi f_Z(z) = ∫_-∞^+∞f_XY(x, z-x) dx

• Se X, Y stat. indipendenti

f_Z(z) = ∫_-∞^+∞f_X(x) · f_Y(z-x) dx è una convoluzione

Rumore Termico

• È un processo stocastico dovuto all’agitazione termica degli elettroni: si annulla a T = 0°K. Questi elettroni si muovono di moto caotico e determinano una differenza di potenziale Δv ai capi del conduttore reale (resistenza ideale + v(t))
• Il rumore si sovrappone al segnale che porta informazione, provocando un disturbo.
• La tensione v(t) è una funz. aleatoria (processo stocastico) con valor medio nullo ma il valore istantaneo diverso da 0 e ad esso sarà associata una potenza di rumore che è la chiave dell'analisi di questo fenomeno.
• La densità di probabilità dell’ampiezza di v(t) è una gaussiana con valor medio nullo e varianza unitaria:
  1. f(v) = ¹/_√2πσv² exp (-^v2/_2σv²)
  2. La varianza vale:
     • σ_x² - 〈v²〉 = 〈v²〉 - 〈v〉²
• Ho applicato il teorema limite centrale perché la tensione di rumore è il risultato della somma di numerosi contributi.
• Essendo il processo ergodico, il valore quadratico medio coincide con la potenza del processo, quindi si può scrivere:
  • σ_v² = 4RkTB
• La potenza cresce proporzionalmente alla resistenza R, la temperatura T, la banda passante B del filtro e a K = 4.38·10^-23 J/°K (costante di Boltzmann).
• È interessante osservare la potenza che un conduttore rumoroso può erogare perché rappresenta l'entità del disturbo.

_L = P_n = kTB

P_n = Potenza disponibile