Appunti Teoria dei segnali (parte 2)

Probabilità

Studio dei segnali aleatori

Serve per lo studio dei segnali aleatori, cioè che non si conoscono a priori; un segnale aleatorio è del tipo: S(t) = Acos(ωt + φ). La variabile φ può assumere valori tra 0 e 2π (equiprobabili).

Associo all’evento aleatorio una variabile aleatoria indicata con φ, che può essere discreta (come nel lancio di una moneta) o continua (φ nel segnale sopra). Quando scrivo φ = φʹ significa che la variabile è stata determinata (realizzata).

L’insieme complessivo dei valori possibili, chiamato spazio campione, si indica con Ω (i sottoinsiemi sono gli eventi). Definisco la probabilità come:

Pr {A₃} = Nf {A₃} / Np

Pr {A₃} ≥ 0

Pr {Ω} = 1

0 ≤ Pr {A₃} ≤ 1

Probabilità condizionata

Pr {A|B} = Pr {A, B} / Pr {B}

Eventi statisticamente indipendenti

Due eventi si dicono indipendenti se il verificarsi di uno non implica l’altro:

• Pr {A} = Pr {A|B}
• Pr {B} = Pr {B|A}
• Pr {A, B} = Pr {A} · Pr {B}
• Pr {A|B} = Pr {B|A} · Pr {A} / Pr {B} = Pr {A ∩ B} / Pr {B}

Formula di Bayes

Distribuzione di probabilità cumulativa (funzione ripartizione):

Fᵪ(x) = Pr {X ≤ x}, cioè la probabilità che una variabile X assuma valori non maggiori di x.

0 ≤ Fᵪ(x) ≤ 1

lim_x→∞ Fᵪ(x) = Pr {x < ∞} = 1

lim_x→0 Fᵪ(x) = Pr {x < 0} = 0

Ripetizioni e segnali aleatori

Serve per lo studio dei segnali aleatori, cioè che non si conoscono a priori; un segnale aleatorio è del tipo: S(t) = A₀cos(ωt + φ). Anche in questo caso, φ può assumere valori tra 0 e 2π (equiprobabili).

Associo all’evento aleatorio una variabile aleatoria indicata con φ, che può essere discreta (come nel lancio di una moneta) o continua (A₀ nel segnale sopra). Quando scrivo φ = φ_i significa che la variabile è stata determinata (realizzata).

L’insieme complessivo dei valori possibili (spazio campione) si chiama Ω (il sottoinsieme sono gli eventi). Definisco la probabilità come:

Pr{A₃} = ^N_F{A₃}/_{NPcasi favorevolicasi totali}

P_R{A₃} ≥ 0

P_R{Ω} = 1