Teoria dei Segnali parte 4: Conversione A/D e Teoria della Probabilità

Appunti di teoria dei segnali

Parte IV: Conversione A/D e introduzione alla teoria della probabilità

La trasformazione analogico/digitale analizza le tecniche e le modalità con cui un segnale analogico si trasforma, dal tempo continuo, in una sequenza di valori, o segnale a tempo discreto. Nelle tipiche conversioni A/D un segnale a tempo continuo che si deve convertire in sequenze di bit riceve due trattamenti: campionamento e quantizzazione. Trattiamo il campionamento di segnali analogici.

Campionamento

Campionare un segnale vuol dire considerare i valori che il segnale assume in corrispondenza di istanti equispaziati di una quantità detta periodo di campionamento il cui reciproco è la frequenza di campionamento. Il segnale dunque entra in un dispositivo campionatore che, pilotato da un segnale di clock alla frequenza di campionamento \( f \), preleva i campioni inviati a valle sottoforma di successione o sequenza di valori reali. Il convertitore A/D reale, a differenza di quello ideale, opera con campioni a rappresentazione finita (segnale numerico), cioè con numeri a precisione decimale finita. Precisamente il numero reale è rappresentato in aritmetica binaria su un numero finito di bit. Il segnale a tempo discreto ottenuto è elaborabile tramite un DSP (digital signal processing), o microprocessori specializzati i quali restituiscono in output un segnale a tempo discreto elaborato che può essere riconvertito in analogico tramite un convertitore D/A.

L’operazione duale al campionamento è l’interpolazione e l’interpolatore è il dispositivo dedicato.

Sia \( s(t) \) un segnale analogico. Suddiviso l’asse \( t \) in sottointervalli di ampiezza \( T \), considero sugli estremi di questi ultimi le proiezioni su \( s(t) \):

Gli istanti considerati sono multipli di \( T \) periodo campionamento a frequenza \( f =1/T \). I valori prelevati da \( s(t) \) in corrispondenza di \( nT \), \( n \in \mathbb{Z} \), sono detti campioni. Il segnale campionato \( s_c(t) \) è un segnale a tempo discreto rappresentabile come sequenza di impulsi ideali ognuno con valore pari a quello assunto a \( s(t) \) nello stesso istante.

Ma se per Dirac:

Allora:

Risposta in frequenza

Interessiamoci ora alla risposta in frequenza di \( s_c(t) \), cioè alla sua F-trasformata:

Il segnale in parentesi quadre è un pettine d’impulsi.

Si può dimostrare che:

Dimostrazione

Il pettine di \( \delta \) è un segnale periodico di periodo \( T \) quindi suscettibile di sviluppo in serie di Fourier:

Allora pongo:

In cui si è applicato la dualità su \( \delta(t) \) e la traslazione in frequenza. Non resta che \( X \):

Questo per la parità del \( \delta(t) \). Inoltre sempre per Dirac posso eliminare il coseno:

Per cui:

Quindi un pettine di impulsi nel tempo è un pettine di impulsi in frequenza:

Allora si ha:

Per la proprietà distributiva della convoluzione. Per le proprietà di Dirac:

Per cui in fine:

Per cui c’è un legame stretto tra \( S(f) \) e \( S_c(f) \). Supponendo per \( S(f) \) una forma d’onda qualitativa del tipo:

Un ipotetico ricevitore riceve dunque, in frequenza, una sequenza di spettri di \( s(t) \) tutti uguali traslati a cavallo di multipli di \( 1/T \). Si nota subito una proprietà fondamentale della conversione A/D. Per far si che un ricevitore possa riconoscere un segnale \( s(t) \) trasmesso univocamente dalla sua F-trasformata \( S(f) \) è necessario che in \( S_c(f) \) gli spettri siano distanziati abbastanza da impedire la sovrapposizione e sfalsare il contenuto in frequenza di \( s(t) \). Per permettere ciò è necessario che data \( w \), banda del segnale \( s(t) \), o larghezza spettrale della sua F-trasformata, come indicato nelle figure, la distanza \( 1/T \) tra gli spettri...