Teoria dei segnali - dimostrazioni

DIMOSTRAZIONI

INTRODUZIONE

TEOREMA DELLA PROIEZIONE

Data una base di vettori ortogonale _Lk, voglio minimizzare ||x - x_N||² sapendo che

x_N = _k=0^N-1Σ x_k ⋅ U_k :

1. i migliori coefficienti sono x_k = (u_k, x) / ||u_k||²

inoltre, definito e_N = x - x_N, si deve avere e_N ⟂ U_k.

Supponiamo di porre N=2. Voglio allora rappresentare x sul piano formato dai due vettori U₀ e U₁ tramite la sua proiezione.

Per l’ortogonalità analizziamo il prodotto scalare:

(u_n, e_N) = (u_n, x - x_N) = (u_n, x) - (u_n, x_N) =

= (u_n, x) - (u_n, _k=0^N-1Σ x_k U_k) = (u_n, x) - _k=0^N-1Σ x_k (u_n, U_k) =

= (u_n, x) - x_n ||u_N||² = (u_n, x) - (u_n, x) ||u_n||² = 0

1) È evidente che l'errore sia ortogonale al piano e che il suo modulo sia proprio z - x_n.

Supponiamo allora di avere un valore migliore rappresentato dalla seguente notazione:

z̅ = ∑_k=1ⁿ x_n u.

Pertanto

‖z - z̅‖² = ‖(z - x_n) - (z̅ - x_n)‖² =

= ‖(x - x_n)‖² - ‖(z̅ - z_n)‖² =

‖e_z‖² + ‖(z - z_n)‖² - 2 Re{e_z, z̅ - x_n}

‖z - z̅‖² > ‖z_n - x_n‖² se x_n ≠ z̄

‖z - z̅‖² = ‖z_n - x_n‖² se x_n = z̄

Cioè il caso migliore è che z̄ : x_n, cioè se si scelgono i coefficienti come X_k.

2a. CONDIZIONI DI DIRICHLET

x(t) periodica di periodo T

• ∫_-T/2^T/2|x(t)| dt < ∞
• numero finito di discontinuità di I specie in [-T/2 ; T/2]
• numero finito di max/min in [-T/2 ; T/2]

Principio di Indeterminazione

Dato un segnale d'energia, il prodotto tra la sua durata efficace Δτ e la sua banda efficace Δf_e è limitato inferiormente secondo

Δf Δτ ≥ ¹/_4π

L'unico segnale per cui vi è l'uguaglianza è il segnale Gaussiano

X_(t) = ¹/_√2π e^-t2/2

Convoluzione in Frequenza

Z_(f) = ∫_-∞^+∞ x_(τ) y_(t-τ) dτ = x_(t) * y_(t)

Z_(f) = X_(f) Y_(f)

Dalla definizione di antitrasformata

Z_(f) = ∫_-∞^+∞ Z_(t) e^-j2πft dt = ∫∫_-∞^∞ x_(τ) y_(τ-t) e^-j2πft dtdτ

   = ∫∫_-∞^∞ x_(τ) y_(t-τ) e^-j2πf(t-τ) e^-j2πfτ dtdτ

   = ∫ x_(τ) e^-j2πfτ dτ ∫ y_(u) e^-j2πfu du = X_(f) Y_(f)

CORRELAZIONE

1)   R_xx(0) = E_x

    R_xx(0) = ∫_−∞^+∞ x^*(t) x(t) dt   =   ∫_−∞^+∞ |x_w(t)|² dt   =   E_x

2)   R_xx(−τ) = R_xx^*(τ)

    R_xx(−τ) = ∫_−∞^+∞ x^*(t) x(t−τ) dt   =   [u = t − τ , t = u + τ]    = ∫_−∞^+∞ x^*(u)⋅ x^*(u+τ) du =     = (∫₀^∞ x^*(u)⋅ x(u+τ) du)^*   =   R_xx(τ)^*

3)   |R_xx(τ)| ≤ R_xx(0) = E_x

    R_xx(τ) = ∫_−∞^∞ x(t)⋅ x(t+τ) dt   =    = ∫_−∞^∞ x(t)⋅ y(t) dt    in cui x(t), y(t) è un prodotto scalare ed in quanto tale soddisfa la seguente proprietà:    (|x, y|) ≤ ||x|| ⋅ ||y||    da cui    |∫_−∞^∞ x^*(t)⋅ y(t) dt| ≤ √(E_x ⋅ E_x) = E_x = R_xx(0)

X_(t) = 2^x [x_c(t) + jx_s(t)] e^-j2πf₀t =

componente in fase componente in quadratura

MODULAZIONE IN AMPIEZZA

AM: K_amm_mcos(2πf₀t) + A cos(2πf₀t)

Data una portante x_p ed un segnale m_m da trasmettere

x_p = A cos(2πf₀t)

• x = K_am_(t) cos(2πf₀t) PORTANTE SOPPRESSA
• x_c = (K_a + A) m_(t) cos(2πf₀t) PORTANTE INTERA
• = K_amm_(t) cos(2πf₀t) + A m_m cos(2πf₀t)

MODULAZIONE IN FREQUENZA

Modulando in frequenza significa variare f :

f_(t) = K_f m_(t) = 1 / 2π dφ_t / dt

φ_(t) = 2π ∫₀^t f_(τ) dτ + φ_(t0)

= 2π K_f ∫₀^t m_(τ) dτ + φ_(t0)

quindi

x_(t) = A cos (2πf₀t + φ_(t))

= A cos (2πf₀t + 2π K_f ∫₀^t m_(τ) dτ + φ_(t0))

Avendo un processo descritto da

Per la SSL:

1) Calcoliamo il valore atteso

poiché il valore atteso deve essere costante e A e B sono variabili invariabili

2) Calcoliamo l'autocorrelazione

Dove ricordiamo

Quindi devono essere soddisfatte:

Poiché lo spettro di un'onda PAM è

S_X(f) = ^α2/_T |G_BE(f)|² + ^σ_m2/_T Σ_n≠0 |G_BE(f)|² e^-j2πnFT

σ_m² = m_n² - m²

m_n =

Poiché σ_m² è presente solo quando n₀ = 0, andando a sostituire nella formula dello spettro si ha

S_X(f) = ^α2/_T |G_BE(f)|² + ^σ_m2/_T Σ_n≠0 |G_BE1(f)|² e^-j2πnFT

ma

Σ_n e^-j2πnFT = Σ_n δ[f-n/T₃] = ¹/_T Σ_n δ[f-n/T_f]

per cui

S_X(f) = ^α2/_T |G_BE(f)|² + ¹/_T2 Σ_n≠0 |G_BE1(f)|² Σ_n δ[f-n/T]

S_X(f) = ^α2/_T |G_BE(f)|² + ^m_p2/_T2 Σ_n≠0 |G( ^f/_Tf )|² δ[f-n/T]

11.4 SPETTRO DI DENSITÀ - SIMBOLI SCORRELATI con m_p=0

Pseudo la formula appena ricavata sostituire con m_p=0

S_X(f) = ^α2/_T |G_BE(f)|²