Teoria dei segnali - dimostrazioni

Dimostrazioni introduzione

Teorema della proiezione

Data una base di vettori ortogonale voglio minimizzare sapendo che

• I migliori coefficienti sono
• Inoltre, definito si deve avere

Supponiamo di porre. Voglio allora rappresentare sul piano formato dai due vettori tramite la sua proiezione.

Per l’ortogonalità analizziamo il prodotto scalare:

Dimostrazioni introduzione

Teorema della proiezione

Data una base di vettori ortogonale voglio minimizzare sapendo che

• 1) I migliori coefficienti sono
• 2) Inoltre, definito, si deve avere

Supponiamo di porre. Voglio allora rappresentare sul piano formato dai due vettori tramite la sua proiezione.

Per l’ortogonalità analizziamo il prodotto scalare:

1) È evidente che l'errore sia ortogonale al passo e che il suo modulo sia proprio x - x_n.

Supponiamo allora di avere un valore migliore rappresentato dalla seguente notazione:

Z : ∑ z_n e_n

Pertanto ‖x - Z‖² = ‖(x - x_n) - (Z - x_n)‖² == ‖(x - x_n)‖² + ‖(Z - x_n)‖² == ‖e_n‖² + ‖(Z - x_n)‖² - 2 Re { (e_n, Z - x_n) }.

‖x - Z‖² > ‖x - x_n‖² se x_n ≠ Z.

‖x - Z‖² = ‖x - x_n‖² se x_n = Z.

Cioè il caso migliore è che Z = x_n, cioè se si scelgono i coefficienti come X_k.

2a. Condizioni di Dirichlet

x(t) periodica di periodo T.

• ∫ |x(t)| dt
• Numero finito di discontinuità di I specie in [-T/2 ; T/2]
• Numero finito di max/min in [-T/2 ; T/2]

Proprietà di derivazione

( dⁿx(t) / dtⁿ ) ⟶ ( j 2πf )ⁿ X_(f)

Partendo dalla definizione di trasformata inversa.

x(t) = ∫_-∞^∞ X_(f) e^j2πft df.

y(t) = dx(t) / dt = d / dt [ ∫_-∞^∞ X_(f) e^j2πft df ] = ∫_-∞^∞ X_(f) d / dt [ e^j2πft ] df == ∫_-∞^∞ X_(f) j 2πf e^j2πft df = ∫_-∞^∞ Y_(f) e^j2πft df.

Proprietà di integrazione

∫₀^t x(τ) dτ ⟶ X₀ / 2 δ(f) + 1 / j 2πf X_(f)

Riscriviamo l'integrale come convoluzione tra x(t) e un gradino unitario:

y(t) = ∫_-∞^∞ x(τ) u(t-τ) = x(t) ∗ u(t)

Y_(f) = X_(f) · U_(f) = X_(f) [ 1 / 2 δ(f) + 1 / j 2πf ] = X₀ / 2 δ(f) + X_(f) / j 2πf.

5a. Proprietà di simmetria

X_(-f) = X^*_(f)

Dalla definizione di trasformata.

X_(f) = ∫_-∞^+∞ x(t) e^-j2πft dt → X_(-f) = ∫_-∞^+∞ x(t) e^j2πft dt.

Estendendo tale proprietà si ha anche

Re {X_(f)} : pari    Im {X_(f)} : dispari.

6a. Proprietà di linearità

Z_(f) = a₁ X_(f) + a₂ Y_(f)

Dalla definizione di trasformata.

Z_(f) = ∫_-∞^+∞ a₁ x₁(t) e^-j2πft dt + ∫_-∞^+∞ a₂ y_(t) e^-j2πft dt = a₁ X_(f) + a₂ Y_(f).

7a. Proprietà di dualità

X_(t) ⇔ X_(f)

X_(f) ⇔ X_(-t)

Scambiando le variabili nella trasformazione.

X_(t) = ∫_-∞^+∞ X_(f) e^j2πft df.

X_(-f) = ∫_-∞^+∞ X_(t) e^-j2πft dt.

8a. Proprietà di traslazione nel tempo

{ x(t-τ) } = X(f) e^-j2πfτ

Dalla definizione di trasformata.

Y_x(f) = { x(t-τ) } = ∫_-∞^∞ x(t-τ)e^-j2πft dt == ∫_-∞^∞ x(t-τ) e^-j2πfτ e^j2πfτ e^-j2πft == ∫_-∞^∞ x(t-τ) e^-j2πf(t-τ) dt ⋅ e^-j2πfτ = X(f) e^-j2πfτ.

9a. Proprietà di traslazione in frequenza

X(t) e^j2πf₀t → X(f-f₀)

Dalla definizione di trasformata.

∫_-∞^∞ X(t)e^j2πf₀t e