Teoria dei Segnali - Teoria, esercizi svolti

Il concetto di segnale interessa in molti campi della ricerca e della tecnologia.

Segnale

descrive il modo di variare di una grandezza misurabile, pertanto il segnale più essenziale rappresentato matematicamente da una funzione di una o più variabili indipendenti.

• Segnali vocali: pressione acustica
• codice ASCII: testo = carattere rappresentato da una sequenza di 7 bit

immagine: associa a ogni coordinata spaziale

I segnali possono essere classificati in varie categorie; ad esempio monodimensionale: funzione di una variabile indipendente. Oppure multidimensionale: funzione di più variabili; quando entrambi le variabili sono spaziali è l’immagine. Pertanto primario: digitale e analogico: Segnale X(t) temporale.

Tempo continuo (analogico)

Segnali definiti in un insieme continuo di tempi:

E_s Segnale vocale

grafico: x(t)

Tempo discreto (digitale o numerico)

Segnali definiti in un insieme discreto di tempi:

E_s Numero di copie vendute

grafico: x₀(n)

Un’ulteriore classificazione importante è quella di segnali:

Deterministico

X_d perfettamente prevedibile (luce è derivato) da una funzione matematica, tavola grafico (in pioggia è noto)

Alatorio

X_a non è perfettamente prevedibile (oscillazione di segnali ognuno dei quali composto da un insieme infinito da un esperimento casuale)

Introduciamo qui alcuni segnali deterministici di uso comune

• Finestra rettangolo

Funzione pari con durata T:

π_l(t)

• T durata del rettangolo (T₀ lo rettangolo standard)

Discreta

• R_v(m)

^* N pari non pone centrare la sequenza ^* N dispari pone centrare la sequenza

*Nota: se dice in non centrato e quindi pari

Finestra Triangolare

Continua:

Λ(t) = { 1 - |t| se |t| ≤ 1 0 se |t| > 1 }

(triangolare)

Λ(t/T) = { 1 - |t/T| se |t/T| ≤ 1 0 se |t/T| > 1 }

(triangolare) normalizzata

T = durata del triangolo (T=1 ho triangolo standard)

Discreto:

2ΛN(n) = { 1 - | (n - N + 1) / N | 0 }

2ΛN = durata del triangolo N = durata 2

Gradino Unitario

Continua: U(t) = { 1 t ≥ 0 0 t < 0 }

Discreto: U(n) = { 1 m ≥ 0 0 m < 0 }

Segno

Continua: sgn(t) = { 1 t ≥ 0 -1 t < 0 }

Discreto: sgn(m) = { 1 n ≥ 0 -1 m < 0 }

Esponenziale Complesso (Fasore)

x(t) = A e^{j(2π ft + φ)}

A = ampiezza del fasore φ = fase iniziale del fasore (t > 0)

Un fasore può essere scritto come: x(t) = .......

Segnali sinusoidali/armoniali (con A, φ, f) = segnali di due fasori in fasee A cos(2πft + φ) =

Convoluzione

x(t) ∗ y(t) ≜ ^+∞∫₋∞ x(α) y(t-α) dα = x(t) ∗ y(t) = (x ∗ y)(t)

Proprietà

1. Commutativa

x(t) ∗ y(t) = y(t) ∗ x(t)

2. Associativa

x(t) ∗ [y(t) ∗ z(t)] = [x(t) ∗ y(t)] ∗ z(t) =

3. Distributiva

x(t) ∗ [y(t) + g(t)] = [x(t) ∗ y(t)] + [x(t) ∗ g(t)]

4. Invarianza temporale

2(t) = x(t) ∗ y(t)

x(t-T) ∗ y(t) = z(t-T)

x(t) ∗ y(t-T) = z(t-T)

E₅ z(t) = x(t) ∗ π(t/τ) = π(t/ατ) ∗ π(t-α)/τ

π(t/τ) = π₋t/(ατ)

π(t-α)/τ

t= τ

0 ≤ t < τ

u(t)

E₆ π(t/2α) ∗ π(t/4α) = π(t/4α)

π(t-α)/2 ∗ π(t-α)/4

• t+2 < t-2 (t < 3)
• 0 t-α ≤ 0

π(α) = [

• 0 < α < β

z(t) = S(t) ∗ S(t) = ^+∞∫₋∞ S(α) S(t-α) dα

e^-at

T₃ = -t + τ

Potenza

<x(t), x(t)> = <x(t)>² = lim_T→∞ (1/2T) ∫_-T^T |x(t)|² dt

<x(n), x(n)> = <x(m)>² = lim_N→∞ (1/2N+1) Σ_n=-N^N |x(m)|²

P₂ = R·i² = R· Stato:

Tutto ciò vale se G è invertibile, se non lo è il rango è minore di n

Sistema

dispositivo che effettua una trasformazione dell'ingresso per produrre l'uscita

y(t)=T[x(t)] sistema analogico o tempo continuo

sistema digitale numerico o tempo discreto

sistema di interpolatori

sistema di campionatori

I sistemi possono essere classificati in vari modi:

• Reè: sollecitato con ingressi reali ho un'uscita reale

• Complesso: sollecitato con ingressi reali ho un'uscita complessa

• Deterministici: sollecitato con ingressi deterministici ho un'uscita deterministica

• Aleatori: sollecitato con ingressi deterministici ho un'uscita aleatoria

x(t) -> α x(t) + n(t)

Y(t) = α x(t) + ω(t)

molti a seconda del numero di segnali in ingresso e in uscita

• SISO

• SIMO

• MISO

• MIMO

Es: filtro RL

Y(t)=α₂x(t)|α₂= R₂/_R1+R2

RC Y' +Y = x

y(t)=e^-_t/RCu(t)