Schemi Teoria dei segnali

W

2 xtt)

tak by (n(

cos(uktt)

x(t) FORMA

do

= +

+ - RETTAN GOLARE

Dirichlet

di

Condizioni

Sei (di

FE )

integrabile

1-X1H) ,

è assolutamente overo

in ,

finito FEE)

2-x(t) min

di

haun numero max e in TI]

finita

finito

xt) discontinuità

3- di

ha di ampiezza

numero in

un

allord I XIto) xIt) to

e continua

se in

ZautancosbnSin

in X(t) discontinua

X(to) xit) in

e

+ to

se

2

(Xn nez]

Spettro del segnale , =

x(t)52Rot

/T x(t)

Xk = ↓

t

il il

di analisi sintesi

contenuto ricostruire

di segnale

capire

eq eq .

. componenti

partendo dalle

armoniche

Xk

x(t)

=

>

-

il i

passaggio tra

tempo-frequenzal è

domiril

immediato sin(a)

Lim

Sinc Sin 1

Ta

= =

#d

X 8

#X >

- Faintero

sinclalio

/

Xk Si

= spete discreti

loro spetti sono

spettro di

ampiezza

↓

condizione è Il tenda

convergenza che

serie do

necessaria la

per della

quando - Xukt

Proprietà di reale periodico

dello segnale

un

spetto

Simmetria

=> Ga

/

te52kb +

*

To

I /2

x dt

T =

= Tok

- I

** (pari

k)

(X

(r)

X-x rispetto K

simmetrico

=> a

=

=

= - k/dispari

(X-r

LX rispetto

asimmetrico

=

- a

=

Linearità

=> allora

zlt aXIH

To

di

yit) periodici bylH

periodo

Se segnali :

xIt) +

sono

e e = ,

aXk

zx bYk

+

=

To Zkbt Taxtbytet.

=

Ak

dim . ylekaXy

+

-ket d

Traslazione

=> An

Dato xIt)

periodico T

periodo tale che

di

segnale

un ,

,

allora vale : to

Xn

x(t-to)

to)

(t

dim y(t) X -

=

. 1(To(2x(9) 1)da

52πE(to

Tokxt +d)e52π +

Yn +

I d

1 - =

= F

To -Tol to

t -Tolz

=

- fatto

il

struttato che

ho

este funzione

la integranda

=>

= è periodica

Z

di

Treno (T

durata Tol

T

di

rettangolari To

impulsi periodo

e xItrect

/duty-cycle) 0 =I

duty-factor : o periodico EctI

segnale -

s

E

S |d)

2

definisco il

Prima rect E 1

2

rect(d) =

=

(segnale paril -I

>

(d)

O

Fourier recttnet

di

serie

· rectesution

Jutfot

1 .

- gioRa

Xx dt

Se =

A

= prendere

devo in

considerazione cui

il in

caso

Sk

. uguale

e 1/Etc)

a

= costdt-sindsin

=

Si inc asic

- . =

(*)

&

Xk d

Sinc con =

= = , ?

fase perché

La di solo

può

reale

numero IT

essere

un o o :

↓ S R intero

cioè

pari 2n

a

se = n

, ,

Sin(in)

sinc(e) =

=

(in)

sinc() = F dispari

se K K

cio 2n nintero

1

,

+

=

Z , )

sin(th +E

sinc) 4

c -

= =

in + πn π

+ Z 1

tende o come

a n

Segnali pari/dispari

Pari

Segnali

=> coefficiente

allora il

x-t) X-k

x(t)

Se xx

= = +

, coskirt

XXX) /

per scrivere

si Xo

xit reale

è

se anche na e

/ =

· ,

dim . HA

=

X k

- variabile

cambio

x t

-

=

dal

-- etk a pr

Z

ESTo

/ Xk

= ) da = dimostrato

no

-cofficiente prima parte

la

di Fourier

+ Xe5fke

to

x(t) = -

Xox 52k1 +

-

e -

-

= -

7 X

Xx k

= -

k K

= -

Xoteast) cost

=

e

= +

7 e 25

cosa +

= 2

2 )

Xo (2

os

+

· +

costit (Untt)

Votzt Cos(Gbt)

2x3

cos

2x2

+ +

i . +..

= - semplifica

x/ è formula

)

Se reale

+ usare

pari

e posso una

il calcolo XK

di

per

ta : fot

52k jo

/A -

Se cosklot

Xx 1 =

dt

= "x1 cost) pari

pari

1

+ ,

Ko

Sto sin

- 1)

1

XI pari

+ cos

+ sin() dispari

1 pari , dispari

1 ) e

x( sin (

+ . T

(Tox) =

cos(zktdt-o

Xk )dEIR

+

(cos(2k1

= - funzione

funzione integrale

Integrale di

par

di una

una

intervallo intervallo

dispari

simmetrico

un

su rispetto un

su i

al dell'integrale simmetrico

pari

è doppio rispetto o

su a

o

a metà intervallo nullo

Segnale dispari

= t)

x( Xk

X

x(t) -

>

= - =

k =

= - -XK)

(

* intet

X-k X scrivere

e potrò

x(t) anche

se reale e

= = ,

dim . +HA -

X variabile

cambio

R =

- t

n = -

Bunn

jo x-1

I

-

= e ko

/(2) &

= =

+

=

1 X A

-

n =

totxetift Jutk .

· k 1

= letto

to

= 25 (attot)

= sin

+

o (t dispari

è

nullo se

to

Se formula semplificata

reale

xit) è dispari usare una

e posso

il di

calado

per XK :

fot

Tr

1 -

Xk Se It

t =

= oskat-sin l t a

1

1 XItdispari disponi

pari

) Il

cosl)

dispari

x + sin

,

,

xHcos// è

xt/sin()

e pari

dispari I

To Tel

I Sirklet sinczikfot) dt

- 25

E +H

0

Xk = -

Un modifica

nel

ritardo solo

lo spettro ampiezza quello

tempo ma

di

non ,

O fase

di il

Spretto qualitinussidi

Ampiezza-cidice segnale

di servono

= sintetizzare

per

foma

di certa

una

fase dipende

fate di

di

spettro

=> dalla

sinusoida posizione del

iniziale

ci dice che

ogni segnale

la

= ,

del sintetizzare

un velocità di

segnale cambiamento

con bisogno

ha

alta

molto armoniche

molte

di

,

frequenza

alta

con .

Un velocità di

segnale cambiamento

con bisogno

bassa ha

molto armoniche

di

,

frequenza

bassa

con .

Relazione Parseval

di = questa

grazie relazione sappiano

a ,

f(xtdt n

P che possibile

è

= la

calcolare

in nel

equivalente

potenza modo

dominio del della

tempo e

frequenza

Convergenza di

della Faurier

serie coefficienti quadratico-sommabile

Forrier è

di

dei

Quando ,

sequenza

la

A vale

/A quadratico

2 la medio

ovvero convergenza in senso

: :

,

1

n = - m(x(-Xd = nean

Xn(t)

dove coefficienti

Inoltre dei

assicurata

convergenza e seguenza

la

, la se

assolutamente

di Fourier è sommabile :

A linet

funzione

In modo

converge

la

questo caso in

,

uniforme continua

xt) deve

quale essere

la

a ,

Gibbs

Fenomeno di Xn-Esinc)

rettangolare

segnale

considero un :

coefficienti

Avrò 1

tende cio

dei come

che Zero

la seguenza e

a ,

implica : quadrato-sommabile

la è

serie

· a

none assolutamente Sommabile

· = esant

di Fourier Troncata XH

sone

costruisco :

la

risultato troncata del

Osservando della alle

il serie discontinuità

vicino

Questa

rettangolare

segnale tendolo di

sovraelongazioni

. al crescere

, noto non o

a

uniforme

N

. convergenza

=> no

fenomeno di

Quindi serie di

Gibbs esempio

è come

il un Forrier

di una

discontinuità

perfettamente l'errore ai

vicino

mai rappresentare una

possa

non :

annulla anche

salti si aumentando i termini

.

non ,

Segnali Continuo

aperiodici Tempo definita

Trasformata funzione

di (TCF)

Fourier

Continua aperiodica

= ,

una h)

-D

tra essere

può rappresen

+ ,

, infinite

di

come

tata somma

funzioni semplici de

armoniche frequenza

infinite di

ampiezza sino e

continuità tra-n

variabili eth

con

Posso aperiodico

segnale così

rappresentare un :

[iX(7)e527 Farier

de Antitrasformata di

x(H = sutet

St

X171 Trasformata

e Fourier

de continua di

=

periodico frequenze

sinusoidali

segnale da

= componenti

rappresentato a

- finita

fo,

tutte

armoniche multiple

, ampiezza

di

ovvero di

una e

↳

+ 525kbt

ZXxe

x(t) = k 4

= - sinusoidali

aperiodico di

rappresentato dalla sovrapposizione componenti

segnale

= : S

frequenza

infinitesima (x17)/dt &

ampiezza di

con

ma e

continuità

variabile con ( x(f)e52417

x(t) di

=

GX(t)e52T7 +

( -25At

/

= X(7

1 de

x( He

+ a

= ,

analini permetto

equazione di

di =

permette

=> sintoni

equazione , di determinare

il il

rappresentare de

di segnale peso

amponenti

varie

sovrapposizione che le

di

come nella

frequenziali

elementari

segnali hano

composizione (t)

di +

X(7)

( k = >

x + è

La equivalente

nel

dell'andamento and

conoscenza tempo

frequenziale trasformata

relativa

della

dell'andamento

conoscenza

Fourier

di e5017)

X A(f)

(71 = +

(t) e

XIw)

! (

2πf + d

w =

= +

+ W

e

x(t) X(w)

= A

-

dell'antitrastorata

di XIt)

criteri esistenza :

[IKIdt finital

/ovvero

Ex trasformata

1- di

allora

E analisi

la converge la

,

a

+ e

= , il

Trasformata segnale

dell'anti

rappresentazione coincide con

ovunque

quati

originario Dirichiet

di

2 Criterio :

- [tIxitId

· finito tteta è

in il segnale

qualunque intervallo continuo ha