Teoria dei Segnali, appunti + esercizi svolti, Barbarossa Sergio

TEORIA DEI SEGNALI

parte 1: SEGNALI CERTI

Prof. Barbarossa

Ricevimento: DIET, San Pietro in Vincoli, lunedì alle 12:00

È possibile trovare molti argomenti, poiché il libro di testo “Corso di segnali” (Luigi, Titolo) non contiene tanti argomenti!!!

Programma

Parte 1

• Introduzione: concetto di segnale, proprietà dei segnali determinati, valori medio, energia, potenza istantanea, potenza media, classificazione dei segnali.
• Rappresentazione dei segnali nel dominio della frequenza: serie di Fourier di segnali a tempo continuo definiti su un intervallo finito, serie di Fourier di segnali periodici, trasformata di Fourier di segnali a tempo continuo e delle sequenze, proprietà della trasformata di Fourier.
• Transito dei segnali nei sistemi: sistemi a tempo continuo ed a tempo discreto, proprietà di linearità, invarianza nel tempo, stabilità, risposta impulsiva e funzione di trasferimento di sistemi lineari a tempo continuo. Convoluzione e correlazione tra segnali. Teoremi di Wiener per segnali di energia e di potenza. Spettro di densità di energia e di potenza.
• Campionamento dei segnali: teoremi del campionamento, condizione di Nyquist, campionamento con tenuta.
• Rappresentazione di segnali in banda traslata: segnale analitico, inviluppo complesso, componenti analogiche di bassa frequenza, trasformata di Hilbert.
• Cenni sulle modulazioni analogiche: modulazione di portante sinusoidale, modulazione di ampiezza, modulazione Double Side Band (DSB) con portante intera e portante soppressa, modulazione Single Side Band (SSB), modulazione di frequenza (FM).

Parte 2

• Teoria della probabilità: definizione di probabilità di un evento, eventi condizionali ed eventi indipendenti, teorema di Bayes, teorema delle probabilità totale; eventi ripetuti, legge binomiale, Gaussiana e Poisson, legge dei grandi numeri
• Variabili aleatorie: proprietà di una variabile aleatoria, densità di probabilità, momenti, funzione caratteristica, variabili bidimensionali, trasformazione di variabili aleatorie, varianza condizionata, somma Riemann, stima, media con assegnata densità di probabilità, teorema centrale del limite

Parte 3

• Processi aleatori: definizione e proprietà fondamentali, stazionarietà, ciclostatacronica, ergodicità, processo armonico, processo Gaussiano, passaggio della densità di potenza in un processo ergodico. Banda PAM. Transito deì segnali aleatori nei sistemi, correlazione e densità spettrale dei processi aleatori in banda traslata.
• Trasmissioni numeriche: Filtro adattato, filtri sagomatori con caratteristica di Nyquist, coseno rialzato, probabilità di errore sul simbolo per trasmissioni PAM.

Parte 4

• Cenni di teoria dell'informazione: quantità di informazione, entropia di una variabile aleatoria discreta. Definizione di una sequenza di variabili aleatorie discreta, catene di Markov, densità di Shannon, rievocazione di un canale scarico, capacità di un canale discreto asincrono. Primo teorema di Shannon sulla capacità di sorgente. Codifica di Huffman. Secondo teorema di Shannon. Capacità di un canale con rumore additivo Gaussiano.

Testi d'esame svolti

Sull'account Dropbox in comune con gli altri studenti ci sono un file “non cicono (con spazio vecchio ovvio)”, e un file “egna a vicendati” (per rimettere ordini).

Sul mio gobto, ce ne sono solo due ma non troveremo molti testi d'esame non vebeo.

Struttura del corso

1. Segnali certi
2. Teoria della Probabilità (come qui poi segnasi)
3. Segnali e Processi Aleatori
4. Teoria dell'Informazione

Un SEGNÅLE è un supporto fisico mediante il quale transita l'informazione.

Un'informazione (attraverso vocali o scritte).

- Quando invio solo un messaggio:

(il segnale scompare)

- Quando invio più di un messaggio:

(S comparirà)

Un'onda elettromagnetica il segnale continua a contenere messaggi prima.

Il segnale può rimanere con una linea di due oggetti distanti.

Pertanto

Con un sistema di un'onda e un segnale. Nel caso era possibile:

Nel caso non era possibile:

PROBLEMA:

PT

POTENZA DEL TRASMETTITORE

La strafta rappresentativa, consiste nel rapporto:

Per mantenere questo rapporto costante abbiamo bisogno di una potenza di trasmissione molto potente:

Il problema è risolto da un ANTENNA:

(disegnato dal paraboloide)

(≥ lunghezza dell'onda S m)

Risolvendo:

c = f₀ λ

f₀ = FREQUENZA

c = 3 · 10⁸ m/s

(NEL VUOTO)

VERBUTHERONVENTEELCHHOEHEMEN

700 < H

DJEMOCHEECHILANGHERBSTLEMOVEEKEHECOB

RAPPORTO PRODUZIONE IN GRADO A 300 ARTICOLARI AL SECONDO

f₀ = 300 Hz

c = f₀ λ

λ = c/f₀

c = 3 · 10⁸ m/s

λ = 3 · 10⁸

D = $ KEKWOLAN

Caratteristiche dei segnali:

• Un primo caso da fare è calcolare la media del segnale, la sua energia e la sua potenza media.

Segnale a tempo continuo

• Simmetrico e il segnale va definito da -∞ a +∞ e non da 0 a +∞.
• Media del segnale:

m_s = \lim_{\Delta t \to \infty} \frac {1}{\Delta t} \int_{-\Delta t/2}^{\Delta t/2} x(t) \, dt (non considerando il limite...) m_s = \Delta t \int_{0}^{T} x(t) \, dt

• Energia del segnale:

\math{E_s = \int_{-\infty}^{+\infty} |x(t)|^2 \, dt = \lim_{\Delta t \to \infty} \int_{-\Delta t/2}^{\Delta t/2} |x(t)|^2 \, dt}

• Potenza media del segnale:

P_s = \lim_{\Delta t \to \infty} \frac {1}{\Delta t} \int_{-\Delta t/2}^{\Delta t/2} |x(t)|^2 \, dt

y(t) = A \cdot \cos \left(2 \pi f_0 \cdot t + \phi_0\right)

m_s = 0 E_s = \int_{-\infty}^{+\infty} A^2 \cdot \cos^2 \left(2 \pi f_0 \cdot t + \phi_0\right) \, dt = +∞

P_s = \lim_{\Delta t \to \infty} \frac {1}{\Delta t} \int_{A^{2}/2} \left( 1 + \cos \left( 4 \pi f_0t + 2 \phi_0 \right) \right) \, dt

= \lim_{\Delta t \to \infty} \frac {1}{\Delta t} \left( \frac {1}{2} A^2 \right) = \frac{A^2}{2}

Segnali

• Di potenza
• Di energia

Un segnale non può essere al contempo i tipi.

• x(t) è un segnale di energia (Es ha un valore finito)
• w(t) è un segnale di potenza (Non è convergente)

Rappresentazione discreta di segnali a tempo continuo:

Segnale di tempo continuo

Voglio rappresentare un segnale a tempo continuo in una sequenza finita di numeri e saper poi recuperare il segnale (data la sequenza di numeri).

Ai campioni N=6

La rappresentazione discreta.

Lo sfruttiamo nella formula nel quadrato sopra...

• Facciamo minimizzare il valore di χ:

Si chiama un sistema di N equazioni in N incognite gaus (µ₁(t) ... µ_N(t), γ₂, γ_N-1)

Se la rappresentazione lineamente indipendente µ_i(t), allora il sistema (µ_i, γ) è risolvibile!!!

Considero N=...

A_o=^2A/_π A₀=^A/₂

Voglio rappresentare il segnale con il numero di scelgo minimo N=1

Il segnale è rappresentato da 2 numeri

N=7

N=3=2+4+1

N=1

y₃=^A/₂ + ^2A/_π cos ^(2πt)/_T

proprietà della completezza:

• lim N→∞ |2_n||²_l|=O (per una base completa)
• lim N→∞ |^T/₂∫^T|f(t)|^{2 dt}|- O

Il che che all’azzero era una base completa di ortonormalizzazione

2N

f(t)=A f(t)=0 per N^o

∫f(t) = A

(per una base ortonormale)