Appunti, Teoria Dei Segnali, Barbarossa

TEORIA DEI SEGNALI

PARTE 1

1. INTRODUZIONE
2. RAPPRESENTAZIONE DEI SEGNALI NEL DOMINIO DELLA FREQUENZA
3. TRANSITO DEI SEGNALI NEI SISTEMI
4. CAMPIONAMENTO DEI SEGNALI
5. RAPPRESENTAZIONE DEI SEGNALI IN BANDA TRASLATA

PARTE 2

6. PROCESSI ALEATORI
7. CENNI DI TEORIA DELL'INFORMAZIONE
8. TRASMISSIONI NUMERICHE

Proprietà delle trasformate

Dualità

X(β) = ∫ x(t) ⟹ ⟹ X(t) = x(-β)

Traslazione

y(t) = x(t - t₀) ⟹ Y(β) = X(β) e^-j2πβt₀

Modulazione

y(t) = x(t) e^j2πf₀t ⟹ Y(β) = X(β - f₀)

Derivazione

y(t) = ^dx(t)/_dt ⟹ Y(β) = j2πβ X(β)

In generale,

{^dnx(t)/_dtⁿ} ⟹ (j2πβ)ⁿ X(β)

Convoluzione

z(t) = ∫_-∞^∞ x(τ) y(t - τ) dτ = x(t) * y(t) ⟹ Z(β) = X(β)Y(β)

Correlazione

z(t) = ∫_-∞^∞ x(t) y*(t - τ) dτ ⟹ Z(β) = X*(β)Y(β)

Integrazione

y(t) = ∫_-∞^t x(τ) dτ ⟹ Y(β) = ^X(β)/_j2πβ

Cambiamento di scala

X(β) = ∫ x(t) ⟹ ⟹ x(at) = ¹/_|a|X(^β/_a)

Prodotto

z(t) = x(t)g(t) ⟹ Z(β) = ∫_-∞^∞ X(v) Y(β - v) dv

Simmetria

X(t) reale ⟹ X(-β) = X*(β)

X(t) reale e pari ⟹ X(β) reale e pari

Tempo

x⁺(t) = x(t) ¹/₂(t) + j¹/₂ x^(t)

^ʣx(t) = x(t) * ¹/_XI ∫x(r) * ^sen/sub>(2π t - r) dτ

x(t) = 2x^-(t) = ^e/_j2πf0t

= (x(t) + j x^-(t)) e^j2πf₀t

x(t) = x_c(t) + j x_s(t)

• x_c(t) = x(t) cos(2πf₀t) + ᴺx(t) sin(2πf₀t)
• x_s(t) = x(t) sin(2πf₀t)+ᴺx(t) cos(2πf₀t)

x^-(t) = x_c(t) cos(2πf₀t) = x₀(t) x sin(2πf₀)t

x(t) = x_c(t) x sin(2πf₀t) + x_s(t) cos(2πf₀t)

x(t) = 2Re{ x(t)} = Re { x(t) e^j2πf₀t}

Frequenza

X⁺(f) = X(f) u(f)

X(f) = 2x^-(f+f₀)

I segnali: introduzione

GRADINO

La funzione segnale unitario u(t) è definita come segue:

u(t) = {     1, t > 0     1/2, t = 0     0, t < 0 }

Il segnale possiede energia illimitata:

Ex = ∫_-∞^+∞ |u(t)|² dt = ∫_-∞⁰ 0 · dt + ∫₀^+∞ 1 · dt = ∞

La potenza media è:

Px = lim_T→∞ (1/T) ∫_-T/2^T/2 |u(t)|² dt = lim_T→∞ 1/T ∫₀^T/2 1 · dt = lim_T→∞ 1/T · T/2 = 1/2

ESPONENZIALE MONOLOTERO

Il segnale esponenziale monolatero è definito come segue

x(t) = e^-αt u(t)

La sua energia è data da:

Ex = ∫_-∞^+∞ |x(t)|² dt = ∫₀^+∞ e^-2αt dt = [-1/2α e^-2αt]₀^+∞ = 0 - (-1/2α) = 1/2α

Di conseguenza l'esponenziale monolatero ha potenza media nulla.

SENO E COSENO

I due segnali sono:

x(t) = A sen(2πt/T₀) (sinusoidale) e y(t) = A cos(2πt/T₀) (cosinusoidale)

Allora che:

Px = 1/T₀ ∫_-T0/4^T₀/4 A² sen² (2πt/T₀) dt = A²/T₀ ∫_-T0/4^T₀/4 (1/2 - 1/2 cos(4πt/T₀)) dt = A²/2

Px = A²/2 allora il seno è energia illimitata.

Quindi:

|| z - z_N ||² = ∑_i=N+1^+∞ | z_i(t) |² ≥ || z - z_N ||²

Se z_N fosse uguale a zero si ha:

||x_N^Δ||² ≤||x||²

Una base di funzioni ortogonali è completa rispetto a una classe S di segnali se:

lim N→∞ ||e_N||² = 0

La completezza è legata al tipo di segnale.

Essendo:

x(t) = ∫_-∞^∞ X(f)e^j2πftdf ho

d/dt = ∫_-∞^∞j2πfX(f)e^j2πftdf = j2πf ∫_-∞^∞x(t)

Sostituire in:

Y(f) = ∫_-∞^∞j2πfx(t)e^j2πftdt = [x(t)e^j2πft]_-∞^∞ - ∫_-∞^∞x(t)e^j2πftdt = j2π∫_-∞^∞X(f)

In generale io ho:

{d}/dt = -(j2πf)ⁿX(f)

6. Conclusione

Convoluzione tra due segnali: x(t) e y(t).

Se z(t) = ∫_-∞^∞x(τ)y(t-τ)dτ = x(t)*y(t) ⟹ Z(f) = X(f) Y(f)

Dimostrazione:

Z(f) = ∫_-∞^∞z(t)e^-j2πftdt = ∫_-∞^∞ ∫_-∞^∞x(τ)y(t-τ)dτ e^-j2πftdt = ∫_-∞^∞ ∫_-∞^∞x(τ)y(t-τ)e^-j2πftdτdt

Pongo u = τ x v = x-τ e du = -1 :

Z(f) = ∫_-∞^∞x(τ)

7. Correlazione

Correlazione tra due segnali di energia x(t) e y(t):

Se z(t) = ∫_-∞^∞x*(τ)y(t+τ)dτ ⟹ Z(f) = X*(f) Y(f)

Dimostrazione:

Z(f) = ∫_-∞^∞z(t)e^-j2πftdt = ∫_-∞^∞ ∫_-∞^∞x*(τ)y(t+τ)dt dt e^-j2πμft

Pongo u = τ e v = f (τ,τ = 1):

Z(f) = ∫_-∞^∞x*(u)y(f-τ)dτ e^{j2πf(v-ürzt notwendig seine sportlichen Verhalteni innebri}

bu du =

= ∫_-∞^∞(x*(ν)e^j2πfvdu - y*(ν)e^-j2πfν =

X*(f) Y(f)

_{vol. 1.}

La prima proprietà dell’impulso di Dirac è:

^{∫_-∞∞δ(t)dt=1}

e facciamo l'integrale della funzione derivata di prima:

Proprietà campionatrice

La proprietà campionatrice afferma che:

^{∫_-∞∞x(t)δ(t-_t0)dt=x(t)}

Il primo modo di definire l’impulso è:

δ(t)=lim_T→0(1/T) rect_1/T(t)

Otteniamo:

^{∫_-AAx(t)(1/T) rect_1/T(t)dt}

Facciamo il limite per T→0, supponiamo x(t) continuo in _t0:

lim_T→0^{∫_-∞∞x(t)(1/T) rect_1/T(t) dt}

Facciamo il prodotto tra x(t) e rect_1/T(t-_t0):

Sfruttando il teorema della modulazione:

Se \( y(t) = x(t) e^{j 2 \pi f_0 t} \) → \( Y(\beta) = X(\beta - f_0) \)

Nel nostro caso:

\( \left\{ \begin{array}{l} x(t) = \frac{A}{2} e^{j \varphi_0} e^{j 2 \pi f_0 t} + \frac{A}{2} e^{-j \varphi_0} \delta(f t + f_0) \end{array} \right. \)

Se non ci fosse la fase \( \varphi_0 = 0 \)

Con \( x(t) = A \cos(2 \pi f_0 t) \)

\( X(\beta) = \frac{A}{2} \left( \delta(f - f_0) + \delta(f + f_0) \right) \)

Trasformata di Fourier della funzione \( A \, \text{rect}(t) \)

Calcoliamo la trasformata di Fourier della funzione \( A \, \text{rect}(t) \):

\( X(\beta) = \int_{- \infty}^{\infty} A \, \text{rect}(t) e^{- j 2 \pi f t} dt = A \int_{- T/2}^{T/2} e^{- j 2 \pi f t} dt = A \left[ \frac{e^{- j 2 \pi f t}}{- j 2 \pi f} \right]_{- T/2}^{T/2} = \frac{A}{j 2 \pi f} \left( - e^{- j 2 \pi f T / 2} + e^{j 2 \pi f T / 2} \right) = \)

\( = \frac{A \sin(\pi f T)}{\pi f} = A T \, \text{sinc}(f T) \) dove \( \text{sinc}(x) = \frac{\sin x}{x} \)

Trasformata di Fourier dell'esponenziale unilatero

Calcoliamo la trasformata di Fourier dell'esponenziale unilatero: