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TRASFORMATA DI FOURIER
L' è un operatore che trasforma una funzione in un'altra funzione mediante un'integrale
CONDIZIONE NECESSARIA E SUFFICIENTE PER L'ESISTENZA DELLA SERIE DI FOURIER
\( \int_{-\infty}^{\infty} \left| x(t) \right| dt < \infty \)
Siamo che il caso definito da \( x(t) \) sia finita
Immaditutto si posso che la trasformata di Fourier è lineare, ossia \[ \mathcal{F}(af + bg)(t) = a \mathcal{F}(f)(t) + b \mathcal{F}(g)(t) \]
es: \( x(t) = \Lambda_{\text{rect}} (t) \); vediamo la sua integrale \[ \mathcal{F} (x(t)) = X(f) \]; \( X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} \Lambda_{\text{rect}} (t).e^{-j2\pi ft} dt = \int_{-T/2}^{T/2} A.e^{-i{2\pi}ft} dt = A \left[\frac{e ^{j2\pi |f|t}}{2\pi |f|} \right]_{-T/2}^{T/2}\) \( X(f) = = A \cdot \left(\sin (\pi Tf) = \text{sign} (\pi Tf)\right) \over \pi Tf \)
1) Area
X(0) = ∫-∞∞ x(t) dt
Generalmente:
|X(f)| = ∫-∞∞ x(t) e-j2πft dt |f=0
--------------------------------
2) Simmetria
Se x(t) è reale allora → X(-f) = X*(f)
X(f) = R(f) + j I(f) ⇒ X(-f) = R(-f) + j I(-f)
X*(f) = R(f) - j I(f)
⇒ [R(-f) = R(f); parte reale pari
I(-f) = - I(f); parte immaginaria dispari
OGNI SEGNALE SI PUO' SCRIVERE COME
x(t) = xp(t) + xd(t)
parte pari parte dispari
xp(t) = ( x(t) + x(-t) ) / 2
xd(t) = ( x(t) - x(-t) ) / 2
Convoluzione con l'impulso:
Data x(t) continua in t = to;
Introduciamo la proprietà campionatrice dell'impulso:
∫−∞∞ x(t) ⋅ δ(t - to) dt = x(to) PROPRIETA` CAMPIONATRICE
↑ T → 0
limT→0∫−∞∞ x(t) 1/T rect(t-to) dt = x(to)
x(t)
x(to)
1/T
area ≈ x(to) . 1/T ≈ x(to)
Integrale di convoluzione
z(t) = ∫₋∞⁺∞ x(τ)y(t-τ)dτ => z(f) = X(f)・Y(f)
"In opportune condizioni, la convoluzione di 2 segnali è il prodotto delle trasformate delle funzioni stesse".
y{f*g} = Y(f)・Y(g)
"La convoluzione in frequenza è come il prodotto nel tempo"
Generalmente:
X(t) * Y(t) → CONVOLUZIONE → z(t)
y ↓ y
X(f)・Y(f)
↓ z(f)
y ↑ y⁻¹
Es: con la pro. di convoluzione
{ x(t) = 1/π ・ 1/(1+t²) y(t) = 1/π ・ 1/(1+(t-τ)²) }Allora, le funzioni delle tempo dopo la loro transformata è:
X(f) = (∫₋∞⁺∞ 1/π ・ 1/(1+t²)e⁻ʲᴮᶠ ᵀ dt)
↓ e ricordiamo allora che y{e⁻ᵅ |t|} = 2α/(α²+(2πf)²)
↓ allora pendo la funzione: 1/π・1/(1+t²) e le salvo nella forma più simile a
Xc(f) = X(f) * Σ sinc (3πΔf) rect (P - kT)
k=-∞ T
Xc(f) = Σ X(f - k ) sinc (kπΔf)
k=-∞ T
Es.
x(t) → h(t) → y(t)
c(t)
f(t)
h(t)
*X(f) = sinc( 3πΔt)
h(t)=sinc (3πFΔt)
c(t) = Σ δ(t - kT)
k=-∞ "impulsi ideali"
1 H(f) = rect (t)
3B 3B
Xc(f) = 1 Σ X(f - k)
T k=-∞
1 rect
2B (f)
t ↓
t ↓
t ↓
h
h
h
4
Rxy(τ) = h(τ) ∗ Rxx(τ)
La convoluzione di 2 segnali è uguale alla convoluzione tra la risposta impulsiva è l'auto-correlazione dell'ingresso.
5
Ryy(τ) = ∫ Rhh(u) Rxx(τ - u) du
Riassunto:
Rxy(τ) = h(τ) ∗ Rxx(τ);
Ryy(τ) = Rhh(τ) ∗ Rxx(τ);
con y(t) = h(t) ∗ x(t)
Spettro di densità di energia Sxx(f)
Voglio una equazione Sxx(f), che mi definisca la densità di energia, e determino 2 proprietà che necessitarà di avere.
-
∫ Sxx(f) df = Ex → "L'integrale della densità di energia deve darmi l'energia"
-
lim Ex [½t+½t]/Δt → 0 Sxx(f) &var>t &then;
dove Ex [½t+½t] indica "l'energia del segnale x(t) nell'intervallo di frequenza".
∫ [½t+½t] = ∫ Sxx(f) &var>t
Teoria di Wiener (per segnali di energia)
Lo spettro di densità di energia di un segnale di energia x(t) è pari alla
Sxx(t) = ℱ(Rxx(τ)) = ∫ Rxx(τ) e−j2πfτ dτ = |X(f)|2
trasformata di Fourier dell'auto-correlazione del segnale x(t).
Modulazione in banda traslata
traslare lo spettro del segnale modulante m(t) a frequenze più alte, a vantaggi e.
Abbattimento del segnale alla banda passante del mezzo trasmissivo.
Permette di distribuire piu segnali contemporaneamente nello stesso canale trasmissivo.
Ordine Multiplex N° di canali Allocazione Inferiore (MHz) 1° 12 12 60 - 108 2° 5 60 312 - 552 3° 3 300 812 - 2044 4° 3 900 8516 - 13888Modulazione impulsiva
Ampezza PAM
Posiz. nel tempo PPM
Durata dell'impulso PDM
Modulazioni su portante sinusoidale
La divenzione consiste nel presentare di un segnale portante sinusoidale (AMP, PASE, FRE)?
- ASK
- PSK
- t
- t
Modulazione d'Ampiezza
In questa modulazione l'ampiezza della portante sinusoidale viene fatta variare in funzione del segnale modulante la traiettoria m(t) secondo la seguente:
x(t) = [Ap + ka m(t)] sen(2πf0t + φ0)
dove:x(t) è il segnale modulato (sommatoria di portante + modulante).ka è un fattore di proporzionalità in base al quale all'ampiezza della portante Ap viene aggiunto un contributo dovuto a m(t).
"L'ampiezza della portante non è più costante, ma varia in funzione del segnale modulante m(t)."
Stessa frequenza; Ampiezza diversa;
Modulazione d'ampiezza a banda laterale doppia, a portante soppressa [DSB]
Siccome nella modulazione AM, l'informazione trasmessa è contenuta esclusivamente nelle bande laterali mentre la potenza è concentrata soprattutto nella portante, si può risparmiare energia potenza sopprimendo la portante del segnale modulato e trasmettendo solo le bande laterali.
x(t) = km m(t) cos(2πfct);
Ap è represso
Calcolare la trasformata di Hilbert di un segnale ometta gettito
Possiamo seguire 2 strade:
- x̂(t) = 1/πt * x(t);
- Oppure
x(t) = A Rectβ (t - f0 - β/2)
Arrivái momento di calcolare da
x(t) = AB sinc [(πBt) ej2π(f0 + β/2)t]
Ottengo allora
la x̂(t) = 2AB sinc [(πBt) sin (2π(f0 + β/2)t)]
Trasformata di Hilbert/ Filtro di Hilbert
x̂(t) = x(t) * 1/πt = ∫ x(σ) π(t-σ) dσ;
Filtro di Hilbert⟹ h(t) = 1/πt
H(p) = -J sign (p)
Y(1) = ∫ x(σ) = H(p) . X(p) = H2(p) . X(p)
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