Esercizi svolti Teoria dei Segnali

24) Teorema del campionamento

25) Problema del campionamento

26) Filtro anti aliasing

27) Campionamento con tenute.

26) Esempio di correlazione (pagnini) OK

29) Convoluzione nei sistemi LTI

28) Spettri di dens. di energia-cospettri

29) Teorema di Wiener per un impulso ed exp.

30) Rappresentazione di segnali mediante storia

31) Segnale e banda logica. IATORIASRI MEGLIO

32) Modulazione per i campioni

33) Filtro di Helbert - kbrviia

34) Progetto di integrazione

26*) Perché l’autocorrelazione di segnali di potenza converga

Dimostrazioni Segnali Aleatori

1. Stazionarietà in senso stretto
2. Stazionarietà in senso lato
3. Processo armonico
4. Capacità
5. Ciclo - Stazionarietà
6. Durata PAM
7. Segnali sconvolti
8. Compromomento processi aleatori
9. Istinto sedotto
10. Casomovimento numerico
11. Processi causazioni & stazionarietà di processi aleatori in bande traslate
12. Trasmissione numerica tramite onde PAM (QAM)
13. Trasferito di processi aleatori nei sistemi lineari e permanenti

Esercizi segnali aleatori

1. Sia X(t) un processo ergodico Gaussiano con
   • S_XX(f₁) = a + f₁ - 3b/2(f)
   • X₂ = k(t₂)
   • t₂ = t₁ + 1/b
   Si vuole calcolare P_{X2/X1 = 3} (X₂/X₁ = 3).
2. Z = X + Y con X e Y stat. ind.
   • P_Y(y) = e^-y · u(y)
   • P_X = 2 · e^-2x · u(x)
   Si vuole calcolare P_Z.
3. Sia dato il processo: X(t) = a cos(2πf₀t + Φ)
   • Φ è una V.A. distribuita uniformemente in [-π/2, π/2]
   • Si calcoli _−∞^+∞X̄(t₁),
   X̄(t₁) = E {X (t|t₁)}
4. Sia dato un processo ergodico, poniamo
   • X(t) = A(t) cos(2πf₀t) - B(t) sen(2πf₀t)
   • S_XX(f₁) = [f₁ - f₀] rect_2W(f₀ - w)
   Calcolare le densità di probabilità congiunta.
   • A₁ = A(t₁)
   • B₁ = B(t₁ + 1/w)
   P_AB = (a₁, b₁, t₁, t₁ + 1/w)

Teoria dei Segnali

20/07/2018

1. Calcolare lo spettro dell’onda PAM

   x(t) = ∑_k=-∞^∞ A_k g(t - nT - Θ),

   nel caso in cui:

   • A_k siano simboli aleatori, statisticamente indipendenti, aventi densità di probabilità

     p_A(a) = 1/q tri_q(a);

   • g(t) = e^-t/Tu(t);

   • Θ sia una variabile aleatoria statisticamente indipendente dai simboli e distribuita uniformemente in un intervallo di durata T.

2. Sia dato un processo aleatorio Gaussiano ergodico X(t), avente spettro di densità di potenza

   S_X(f) = N₀ [rect_2B(f - 10B) + rect_2B(f + 10B)], all’ingresso di un sistema caratterizzato dalla relazione ingresso/uscita

   Y(t) = X(t) - 2X(t - T) + X(t - 2T),

   nel caso in cui T = 1/(4B). Calcolare la densità di probabilità della variabile aleatoria Y₁ estratta dal processo Y(t) in un generico istante di tempo t₁.

3. Dato il segnale periodico

   x(t) = ∑_k=-∞^∞ (t - kT) rect_T(t - T/2 - kT),

   calcolare l’uscita del filtro avente risposta impulsiva

   h(t) = sinc(^πt/_T) cos(^2π3/_T^t)

July 19, 2018

DRAFT

Prova scritta di Teoria dei Segnali

Roma, 19 Settembre 2000

1. Calcolare l'uscita y(t) del filtro avente risposta impulsiva h(t) = \frac{1}{T}rect\left( t - \frac{T}{2} \right), corrispondente al segnale di ingresso x(t) = tri_{T_1}(t).
2. Calcolare l'entropia di una sorgente aleatoria che emette simboli statisticamente indipendenti Y = sign(X), dove X è una variabile aleatoria avente densità di probabilità p_X(x) = 0.5e^{-|x|}.
3. Calcolare la potenza del processo aleatorio presente all'uscita di un filtro RC, avente risposta impulsiva h(t) = \frac{1}{RC}e^{-\frac{t}{RC}}u_1(t), quando in ingresso è presente un processo aleatorio ergodico avente spettro di densità di potenza S_{XX}(f) = N_0 rect_{2B}(f).

1. H(f) = sinc\left(\pi Tf \right) \cdot e^{-j2\pi f \frac{T}{2}}
2. X(f) = \frac{1}{2}sinc^2(\pi T_2 f)
3. Y(f) = H(f)X(f) = \frac{1}{2}sinc^2(\pi T_1 f) \cdot sinc(\pi T f) \cdot e^{-j2\pi f \frac{T}{2}}

Prova scritta di Teoria dei Segnali

Roma, 12 Luglio 2001

1. Calcolare e graficare l’uscita y(t) del filtro avente risposta impulsiva h(t) = sinc(2πBt) corrispondente al segnale di ingresso

x(t) = sin(5πBt) ∑_k=-∞^∞ δ(t - k/(2B)).

Valutare inoltre se y(t) è un segnale di energia o di potenza e calcolare, a seconda dei casi, l’energia o la potenza di y(t).

2. Calcolare l’autocorrelazione del segnale

x(t) = [rect_π(t - T) - rect_2π(t + T)]e^jω₀t.

3. Calcolare lo spettro di densità di potenza del processo aleatorio presente all’uscita del filtro a media mobile, avente risposta impulsiva h(t) = 1/τ rect_τ(t - T/2), corrispondente al processo di ingresso

X(t) = ∑_k=-∞^∞ A_k rect_τ(t - 2kT - Θ),

nel caso in cui: i) la sequenza di simboli {A_k}_k=-∞^∞ è una sequenza ergodica, ii) i simboli A_k sono variabili aleatorie binarie mutuamente scorrelate che assumono i valori 0 o 1, con pari probabilità; iii) la variabile aleatoria Θ è distribuita uniformemente nell’intervallo [0, 2T) ed è statisticamente indipendente dai simboli A_k.

z = x + y con x e y stat. insl.

P_x(x) = 2 · e^-2x · u(x)

P_y(y) = e^-y · u(y)

Si chiede p_z...

Dalla teoria si ricava che se z è la somma di 2 V.A.

p_z è ottenuto calcolando l’integrale di convoluzione.

p_z(z) = ∫_-∞^∞ p_x(x) p_y(z-x) dx =

u(z-x) = { 1 se z-x > 0 z > x 0 se z-x < 0 z < x

u(x) = { 1 se x > 0 0 se x < 0

Non c'è bisogno del metodo grafico

p_z(z) = ∫_-∞^∞ 2 · e^-2x · e^-(z-x) · u(x) · e · u(z-x) dx = …

= ∫_-∞^∞ 2 · e^-2x · e · u(x) · u(z-x) dx = 2 ∫_-∞^∞ e^-(z+x) u(x)u(z-x) dx

dello stesso estrazione RABC[ℓ] che è la parte immaginaria

ed i parametri dello stimatore sono stati tutti calcolati.

6) Calcolare le probabilità di errore connesse nel calcolo

le probabilità di avere R≠T

Siano Z i casi di errore:

Prob{R=1 | T=±1} ovvero

Prob{R=-1 | T=±1}

Essendo i due eventi disgiunti

P(ERRORE)=Prob{R=1 T=-1} + Prob{R=-1 T=1} che

per il delle probabilità totali è uguale a

=Prob{R=-1/ x=1} Prob{X=1} + Prob{R=1/ x=-1} Prob{X=-1}

Le Prob{R=-1/ X=1}=Prob{Y≤0/ X=1}=Prob{X+V≤0/ X=1}

=Prob {V≤-1} = ∫_-∞^-1 1/√(π) · 1/(1+ν²)dν = 1/4

essendo il canale simmetrico con simboli equiprobabili Prob{R=1/ x=-1}=1/4

Prob(ERRORE)=1/4

La probabilità di successo è data da 1-1/4=3/4