Teoria degli Insiemi

Definizione di insieme

Si definisce insieme una raccolta di oggetti la cui appartenenza a tale raggruppamento deve essere determinata da un criterio univoco.

ESA = {a, b, c}
X = {0, 1, 4, 6}
B = {studenti di ing. inf.}

Inclusione

Siano A e B due insiemi:
Si dice che A è incluso in B se ogni elemento di A appartiene a B. Si scrive: A ⊆ B

Esempio:

A = {0, 1, 2} B = {0, 1, 2} allora A ⊆ B

Se B presenta almeno un elemento che non appartiene ad A, allora l'inclusione è stretta. Si scrive: A ⊂ B incl. stretta

N.B: L'inclusione A ⊆ B si risolve o in un'inclusione stretta A ⊂ B se B presenta anche elementi che lo distinguono da A o in un'uguaglianza A = B.

Insieme vuoto

Un insieme si dice vuoto quando è caratterizzato da una proprietà falsa.

N.B. L'insieme vuoto è sempre un sottoinsieme di qualsiasi insieme X. Si indica con: ∅

ES: A = {a, b, c}

Sottoinsiemi di A sono

• A₁ = {a}
• A₂ = {b}
• A₃ = {c}
• A₄ = {a, b}
• A₅ = {a, c}
• A₆ = {b, c}
• A₇ = A
• A₈ = ∅

Quantificatori

∀ per ogni, ∃ esiste almeno uno, ∄ non esiste, ∃! esiste ed è unico, ∈ appartiene, ∉ non appartiene,

Insieme delle parti

Sia A un insieme:

L'insieme delle parti di A è l'insieme di tutti i sottoinsiemi di A. Si indica con P(A)

ES. A = {0, 2}
P(A) = {∅, A, {0}, {2}}

N.B. A con m elementi: P(A) ha 2^m elementi

Implicazione

Siano ₁ e ₂ due proprietà: dire che ₁ implica ₂ significa che se ₁ è verificata, allora anche ₂ è verificata. Si scrive ₁ ⇒ ₂

ES.

1₁: m ∈ ℕ, m divisibile per 2
₂: m ∈ ℕ, m pari e m ≤ 16
₂ ⇒ ₁, ma ₁ ⇏ ₂

2₁: x è nato a Parigi
₂: x è francese
₁ ⇒ _2
2 ⇏ ₁

N.B. Se ₁ ⇒ ₂ allora ¬₂ ⇒ ¬₁ (ragionamento per assurdo)

Operazioni sugli insiemi

Siano A e B due insiemi:

Intersezione
A ∩ B = {x ∈ A e x ∈ B}

Unione
A ∪ B = {x ∈ A o x ∈ B}

N.B: Se A ∩ B = Ø gli insiemi si dicono disgiunti.

Complemento
B - A = {x ∈ B o x ∉ A} (tutti gli elementi che sono in B ma non in A)

N.B: Se X è l'insieme ambiente, X - A = A^c

Prodotto cartesiano
Siano A e B due insiemi, non vuoti:
A × B = {(a, b) o a ∈ A, b ∈ B}
Il prodotto cartesiano, quindi, è l'insieme di tutte le coppie (nel caso di prodotto tra 2 insiemi) composte dagli elementi dei due insiemi.

N.B: A² = A × A [in generale Aⁿ = A × A × A ... × A]

Esempio:
A = {a, b, c}
B = {3, 7}
A × B = {(a, 3), (a, 7), (b, 3), (b, 7), (c, 3), (c, 7)}

Leggi di De Morgan

1. (A ∩ B)^c = A^c ∪ B^c
2. (A ∪ B)^c = A^c ∩ B^c

per n insiemi

Infatti:

x ∈ (A ∩ B)^c ⇔ x ∉ A ∩ B
⇔ x ∉ A ∨ x ∉ B
⇔ x ∈ A^c ∪ x ∈ B^c
⇔ x ∈ (A^c ∪ B^c)

Intervallo

5a definizione intervallo:

[a, b] con a, b ∈ R a ≤ b
{ x ∈ R ... a ≤ x ≤ b }

a, b[ con a, b ∈ R
{ x ∈ R ... a

N.B. a e b NON possono essere +∞ o -∞.

Retta a molla

ℜ = ℝ ∪ {-∞} ∪ {+∞}

Per avere [a, +∞[ o ]-∞, b] a/b devono appartenere a ℜ̂.

Estremi, max e min

X = ℝ, sia A ⊆ ℝ, A ≠ ∅

Si dice che A è limitato superiormente se:
∃M ∈ ℝ / o ≤ M, ∀o ∈ A

Si dice che A è limitato inferiormente se:
∃m ∈ ℝ / m ≤ a ∀a ∈ A

Si dice che A è limitato se lo è sia inferiormente che superiormente:
∃M, m ∈ ℝ / m ≤ a ≤ M, ∀a ∈ A

Maggioranti

L'insieme dei maggioranti (per un insieme limitato sup.) si definisce come:
M = { x ∈ ℝ , x ≥ a }

L'elemento più piccolo dei maggioranti è detto estremo superiore. Si scrive Sup A.
Se Sup A ∈ A l'estremo è detto MAX. Si scrive max A

Minoranti

L'insieme dei minoranti (per un insieme limitato inf.) si definisce come:
M = { x ∈ ℝ , x ≤ a }

L'elemento più grande dei minoranti è detto estremo inferiore. Si scrive inf A.
Se inf A ∈ A l'estremo è detto MIN. Si scrive min A

Teoria degli insiemi.