Geometria - Teoria degli Insiemi

Teoria degli Insiemi

insieme = set

e ∈ S ↔ e è un elemento di S S ⊆ E ↔ S contiene E e ∉ S ↔ e non è elemento di S

Insiemi Finiti (finite sets)

Sono gli insiemi con un numero finito di elementi

S = {e₁, e₂, e₃ ... e_p} L'ordine degli elementi non conta perché sono insiemi non ordinati. Qi consegnuenza non possono esserci ripetizioni.

Caratterizzazione degli elementi

S = {n | n ∈ ξ} significa che S={2,3,4,5}

Insiemi Notevoli

• Naturali : possono essere

  • N = {1,2,3 ... } N₀ = {0,1,2 ...}

  • Possono partire da 0 o da 1
• Interi :

  Z = {0, ±1, ±2 ...}

• Razionali :

  Q = {^a⁄_b | a,b ∈ Z, b ≠ 0}

• Reali :

  R

• Complessi :

  C : numeri con coefficienti i = 0..1 | i² = -1

Sottoinsieme (= Subset)

S ⊆ T ⇒ S è sottoinsieme di T

Def.

S ⊆ T sse ∀ S ∈ S, S ∈ T

Sottoinsieme proprio

S ⊂ T: S è sottoinsieme proprio di T

Def.

S ⊂ T sse S ⊆ T ∧ S ≠ T

Se S è sottoinsieme proprio di T, non tutti gli elementi di T appartengono a S.

Insieme Potenza (= Power Set)

P(S) := insieme dei sottoinsiemi di S

Def.

P_s = {T | T ⊆ S}

Insieme Vuoto (= Empty Set)

∅ = {}

Proprietà ("buon" ) delle relazioni

Altri Esempi:

• Parallellismo delle rette (con definizione intersezione vuota)
  • Non Riflessiva
  • Simmetrica
  • Non Transitiva

Non Riflessiva perché: se assumiamo come definizione che due rette sono parallele se hanno intersezione vuota allora una retta non è parallela a se stessa perché si interseca in tutti i punti.

Non Transitiva perché: quella se a // b n b// c a ma è parallela a se stessa.

• Parallellismo delle rette (con definizione (coefficente angolari uguali)
  • Riflessiva
  • Simmetrica
  • Transitiva

< = su R : -Transitiva