Geometria - Teoria degli Insiemi

TEORIA DEGLI INSIEMI (= SET THEORY)

e ∈ S: e è un elemento di S

S ∋ e: S contiene e

e ∉ S: e non è un elemento di S

Insiemi Finiti (= Finite Sets)

Sono gli insiemi con un numero finito di elementi

S = {e₁, e₂, e₃ ..., e_p}

L'ordine degli elementi non conta perché sono insiemi non ordinati.

Di conseguenza non possono esserci ripetizioni.

CARATTERIZZAZIONE DEGLI ELEMENTI

S = {n | n ∈ ℤ ∩ 5 ≤ n ≤ 8} significa che S = {5, 6, 7, 8}

INSIEMI NOTEOLI

• Naturali: possono essere
  • N = {1; 2; 3; ...}
  • Possono partire da 0 o da 1
  • N₀ = {0; 1; 2; ...}
• Interi: ℤ = {0; ±1; ±2; ...}
• Razionali: ℚ = {^a/_b | a, b ∈ ℤ, b ≠ 0}
• Reali: ℝ
• Complessi: ℂ: numeri con coefficienti i²=-1 | i² = -1

TEORIA DEGLI INSIEMI (=SET THEORY)

e ∈ S: e è un elemento di S

S ∋ e: S contiene e

e ∉ S: e non è elemento di S

Insiemi Finiti (=finite sets)

Sono gli insiemi con un numero finito di elementi

S = {e₁, e₂, e₃ .... e_p}

L’ordine degli elementi non conta dentro un insieme.

Non ordinati.

Qi conseguenze: Non possono esserci ripetizioni.

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S = {n ∈ ℕ | n ≤ 5} significa che S = {2, 3, 4, 5}

INSIEMI NOTEVCOLI

• Naturali : possono essere
  • N = {5;1;2;3 ....}
  • _ℕ0
• Interi: Z = {0; ±1....}
• Razzionali: ℚ = {^a⁄_b ∣ a b ∈ ℤ, b ≠ 0 }
• Reali: ℝ
• Complessi: C : numeri con coefficient

Sottoinsieme (= Subset)

S ⊂ T   ⇒   S è sottoinsieme di T

Def:   S ⊂ T   sse   ∀ s [ s ∈ S   ⇒   s ∈ T ]

Sottoinsieme proprio

S ⊂ T  :   S è sottoinsieme proprio di T

Def:   S ⊂ T   sse   S ⊂ T   ∧   S ≠ T

Se S è sottoinsieme proprio di T,   \ allora tutti gli \ elementi di T appartengono a S.

Insieme Potenza (= Power Set)

P(S) := insieme dei sottoinsiemi di S

Def:   P_S = {T | T ⊂ S}

Insieme Vuoto (= Empty Set)

∅ = ∅

Coppia Ordinata

(a, b) = coppia ordinata

Def: (a, b) = { {a, b}, {a} }

Nella definizione {a, b} indica gli elementi della coppia mentre {a} indica l’elemento che occupa il primo posto nell’ordine.

Se gli elementi della coppia sono uguali:

(a, a) = { {a}, {a} }

non importa l’ordine

Nb: (a, b) ≠ (b, a) sse a ≠ b

Prodotto Cartesiano

S × T := prodotto cartesiano tra S e T

Def: Siano S e T insiemi (non vuoti): il prodotto cartesianoS × T = {(s,t) | s ∈ S , t ∈ T}

Esempi

1. S = {1, 2, 3}   T = {1, 2}S × T = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,1), (3,2)}

2. R² = ℝ × ℝ := {(a,b) | a,b ∈ ℝ} = punti del piano euclideo

Più in generale:S × (T × U) = (S × T) × U = S × (T × U) = {(s,t,u) | s ∈ S , t ∈ T , u ∈ U}

Relazioni

Def: Sia S un insieme (non vuoto) una relazione su S èuna sottoinsieme R ⊆ S × S

Per indicare tutti gli (x,y) ∈ R possiamo scrivere xRy

Esempi:

1. ⊆ su ℝ è una relazione(1,2) appartiene alla relazione [1 ∈ 2]; (2,1) non appartiene

2. ≤ su ℕ ovver: ∃!m se ∃!k ∈ ℕ | m = k ndivide             {(2,4), (4,8), (3,5)}ad esempio (3,5) non appartiene perché 3 non divide 5.

3. Parallelismo di l’insieme delle rette del piano euclideo.Appartengono alla relazione solo le coppie di rette parallele

Proprietà ("buone") delle relazioni

Una relazione può essere:

• Riflessiva (Reflexive): ∀ s ∈ S
• Simmetrica (Symmetric): aRb ⇒ bRa
• Antisimmetrica (Antisymmetric): aRb ∧ bRa ⇒ a = b
• Transitiva (Transitive): aRb ∧ bRc ⇒ aRc

Esempi:

1. ≤ su ℝ:
   • Riflessiva (a ≤ a)
   • Antisimmetrica (se a ≤ b ∧ b ≤ a ⇒ a = b)
   • Transitiva (se a ≤ b ∧ b ≤ c ⇒ a ≤ c)
2. ∣ su ℕ:
   • Riflessiva (n ∣ n)
   • Antisimmetrica (se a ∣ b ∧ b ∣ a ⇒ a = b)
   • Transitiva (se a ∣ b ∧ b ∣ c ⇒ a ∣ c)

   Dim:

   - Antisimmetrica:

   • se a ∣ b ⇒ ∃ x ⇒ b = ax
   • a = ay ⇒ x = y ⇒ 1
   • se b ∣ a ⇒ ∃ r ⇒ a = by

   Quindi: a = b

   - Transitiva:

   • se a ∣ b ⇒ ∃ x ∈ ℕ: b = ax
   • se b ∣ c ⇒ ∃ y ∈ ℕ: c = by
   • ∃ x: b = ax ⇒ c = by
   • a ∣ c: a = (ax)y = a(xy)

   Perché xy ∈ ℕ ⇒ a ∣ c

3. ∣ su _ℤ⁺:
   • Riflessiva
   • Transitiva
   • Non è più: Antisimmetrica

   perché con xy = 1 può anche essere x = y = -1

NB: ℤ⁺ = ℤ - {0}

Proprieta' ("buon ") delle relazioni

Altri Esempi:

• Parallellismo sulle rette (con definizione)

  • Non Riflessiva
  • Simmetrica
  • Non Transitiva

  Non Riflessivo perchè: se assumiamo come definizione che due rette sono parallele se hanno intersezione vuota allora una retta non è parallela a se stessa poiché si interseca in tutti i punti.

  Non Transitivo perchè: quella se a // b e b // a allora a è parallela a se stessa.

• Parallellismo sulle rette (con definizione)

  • Riflessiva
  • Simmetrica
  • Transitiva

• Su R: ^-Transitiva

Relazione di Equivalenza

Def: Una Relazione si dice di "equivalenza" se e su S:

• Riflessiva
• Simmetrica
• Transitiva

Relazione di Ordine Parziale

Def: Una Relazione si dice di "ordine parziale" se e su S:

• Riflessiva
• Antisimmetrica
• Transitiva

Relazione di Ordine Totale

Def: Una di Ordine Parziale si dice di "Ordine Totale" se

per qualsiasi due elementi questi sono confrontabili:

∀ a, b ∈ S : aRb oppure bRa ⇒ R di Ordine Totale

Esempi:

1. ≤ su ℝ, ℚ, ℤ ma non ℕ, è totale perché presi due

numeri a e b, o a ≤ b oppure b ≤ a

2. Ordine Lessicografico

Nell'alfabeto, prese due lettere, o la prima precede la

seconda o viceversa.

Allo stesso modo si possono ordinare le parole

Sempre allo stesso modo si possono ordinare

le coppie ordinate in ℝ²

Per esempio

(x₁, y₁) < (x₂, y₂) ⇔ x₁ < x₂,

se x₁ = x₂ allora y₁ < y₂

Partizione

Def. Sia S ≠ ∅ si dice "partizione" di S ogni famiglia: {S_i, S₂, S_i} altrimenti indicata con {S_i} (con i ∈ I) di sottoinsiemi: S_i ⊆ S tali che:

1. S = S₁ ∪ S₂ ∪ ... ∪ S_f = ⋃_{i ∈ i} S_i
2. S_i ∩ S_j = ∅ ∀ i,j ∈ I con i ≠ j

Esempi

1. Z = {2m | m ∈ Z} ⋃ {2m + 1 | m ∈ Z}

L'insieme degli interi Z è formato da due partizioni:

• numeri pari
• numeri dispari

Teorema

1. Una relazione di equivalenza (R) su S dà luogo ad una partizione di S attraverso le classi di equivaleza
   • [x]_R := {b ∈ S | b R a}
2. Una partizione di S = ∪_i∈I S_i dà luogo a una relazione di equivalenza
   • a R b ⟺ ∃ i∈I a, b ∈ S_i ⟺ a, b ∈ S_i per un certo i ∈ I

Dim.

1. Sia S = ∪_i∈I S_i una partizione dobbiamo verificare che R è di equivalenza

   Esse potranno avere le proprietà:

   • Riflessività: a R a poiché a ∈ S_i ∪ S_i ⇒ a ∈ S_i per un certo i ∈ I
   • Simmetrica: a R b ⇒ a, b ∈ S_i per un certo i ∈ I ⇒ b, a ∈ S_i per un certo i ∈ I
   • Transitività: {a R b ⇒ a, b ∈ S_i per un certo i ∈ I} ⟺ {b R c ⇒ b, c ∈ S_j per un certo j ∈ I} ⇒ b ∈ S_i ∧ b ∈ S_j

     Ma poiché S_i e S_j sono due sotto insiemi della partizione di S la loro intersezione dovrebbe esistere S_i ∩ S_j = ∅

     Deduciamo che S_i = S_j ⇒ ∃ i, j ∈ S_i = S_j

Altrimenti...