Teoria degli insiemi, Geometria

Richiami della teoria degli insiemi

Def di insieme → Aggregato di elementi consideratocome un tutto unico. (Cantor)“Qualunque sia un insieme di oggettiben distinti dalla nostra intuizioneo dal nostro pensiero.”

Il numero degli elementi di un insieme può essere

• FINITO (si calcola numero)
• INFINITO

INSIEME UNIVERSALE (senso ampio) → Definito con Uè l’insieme di tutti gli insiemi.

INSIEME VUOTO (Φ) → insieme che non contienealcun elemento.

Il numero di elementi che un insieme contiene èla sua CARDINALITÀ.

INSIEMI

• FINITI
• INFINITI
  • NOTORABILE
  • NON NOTORABILE

_A ̅ → Elementi che sono fuori il contorno della lineasiamo _A in un contenuto modo

_A ̅ = U - _A

"A complementare" o "A negato"

Per indicare i sottoinsiemi di un insieme _E che sonoindicati con P(_E) delle parti di _E, si scrive:

P{a,b,c} = { {a,b,c}; {a}, {b}; {b,c}; {c}; {b}; {a,c} }

Dato due insiemi _A e _B :

Def. di Insieme: Aggregato di elementi considerato

come un tutto unico. (Cantor)

- "Qualunque tra un tutto di oggetti ben

distinti dalla nostra intuizione

e dal nostro pensiero."

Il numero degli elementi di un insieme può essere:

• Finito (se quindi nullo)
• Infinito

Insieme Universale (senso ampio) - Definito ciò che

è l'insieme di tutti gli insiemi.

Insieme Vuoto (ϕ) - Insieme che non contiene

alcun elemento.

Il numero di elementi di un insieme conta e

la sua cardinalità.

INSIEMI

• Finiti
• Infiniti
• Numerabili
• Non numerabili

A̅ = Elementi che sono fuori il contorno dell'insieme A, ma contenuti nello spazio.

A̅ = U \ A

"A complemento" o "A negato"

Per indicare i sottoinsiemi di un insieme E, che sono

indicate con P(E) delle parti di E, si scrive:

P_ϕ: {a,b,c} = { {}, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c} }

Detti due insiemi A e B :

UNIONE DI DUE INSIEMI

Insieme formato dagli elementi appartenenti ad almeno uno dei due insiemi A e B

∪ = A ∪ B = {∅ | ∃ ∈ A oppure ∅ ∈ B}

Più utile per insiemi finiti e infiniti.

INTERSEZIONE DI DUE INSIEMI

Insieme I formato dagli elementi appartenenti contemporaneamente ai due insiemi

∩ = A ∩ B = {∅ | ∅ ∈ A e ∅ ∈ B}

N.B.: Due insiemi si dicono disgiunti se la loro intersezione è vuota.

Diagrammi di Venn:

Unione

Intersezione

DIFFERENZA DI DUE INSIEMI

Insieme degli elementi di A che non sono elementi di B.

A - B = {∅ ∈ A e ∅ ∉ B}

DIFFERENZA SIMMETRICA

A △ B è formato dagli elementi di uno, e di uno soltanto, dei due insiemi:

A △ B = (A ∪ B) - (A ∩ B)

INSIEME COMPLEMENTARE

Se A è incluso in B, la differenza B - A = A.