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Appunti delle lezioni di Analisi Matematica I
A.A. 2010-2011
Prof. Franco Ciocci
Definiamo l'insieme vuoto Ø come l'insieme che non contiene elementi
Insiemi finiti: se è possibile contare tutti i suoi elementi
Insiemi infiniti se il numero di elementi è infinito
Esempi di insiemi finiti:
A = { }
B = {x naturale | x è dispari e x < 8}
Sottoinsiemi:
Gli esempi precedenti rappresentano due sottoinsiemi dell'insieme dei numeri naturali N:
N1 = {1, 4}
B = {2, 3, 6, ...}
e si scrive:
N1 ⊆ B
Scriveremo inoltre che:
1 ∉ B ma 5 ∈ B
E = {a, o, u} è un sottoinsieme di A = {a, e, i, o, u}
Definizione:
Due insiemi A e B sono uguali se ogni elemento di A è anche elemento di B e, viceversa, ogni elemento di B è anche elemento di A.
Università
degli Studi “La Sapienza” di Roma Facoltà di Ingegneria – A.A. 2010-2011
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Prof. Franco Ciocci
Operazioni tra insiemi
A ∪ B
Definizione:
Dati due insiemi A e B, si dice unione di A e B l'insieme A ∪ B che contiene sia gli elementi di A che di B, cioè:
∪ ∈ ∩ ∈ = { }
A ∪ B x | x ∈ A x ∈ B
∪ = {x tale che x ∈ A oppure x ∈ B }.
A ∪ B
Esempio: A ={1 , 2 , 3} , B ={3 , 5 , 7}
L' unione è A ∪ B = {1 , 2 , 3 , 5 , 7}
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INTERSEZIONE
Definizione: Dati due insiemi A e B, si dice intersezione di A e B l'insieme A ∩ B che contiene gli elementi comuni ad A e a B, cioè:
∩ ∈ ∧ ∈ = { }
A ∩ B x | x ∈ A x ∈ B
∩ = {x tale che x ∈ A e x ∈ B }.
A ∩ B
BG = {2 , 4 , 3} , F = {2 , 6 , 3}
G F = {2 , 3}
L'intersezione tra due insiemi può essere anche vuota, ad esempio: {x tale che x ∈ N e x è pari}, {y tale che y ∈ N e y è dispari}
P = D = ∩ = A B Ø 5
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DIFFERENZA
Definizione: Dati due insiemi A e B, si dice differenza di A e B l'insieme A \ B che contiene gli elementi che stanno in A e non in B, cioè: ∀x | x ∈ A ∧ x ∉ B = { }
A \ B ∈ ∀x A e x B = {x tale che }.
A \ B = A ∩ B
Esempio A = {1 , 3 ,5 , 6 } , B = {1 , 3 , 4} è l'insieme
La differenza A \ B = {5 , 6} .
La differenza non è un'operazione commutativa, (al contrario di unione ed intersezione) infatti: B \ A = {4} .
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Prodotto Cartesiano
Definizione:
Dati due insiemi A e B, si dice prodotto cartesiano di A e Bxl'insieme A B formato dalle coppie ordinate il cui primoelemento sta in A ed il secondo in B, cioè:
(x, y) | x ∈ A e y ∈ B
Esempio: A = {1, 2, 3}, B = {5, 6, 3, 1}
A B = {(1, 5), (1, 6), (1, 3), (1, 1), (2, 5), (2, 6), (2, 3), (2, 1), (3, 5), (3, 6), (3, 3), (3, 1)}
Il prodotto cartesiano non è commutativo. A B è diverso da B A, ad esempio:
B A = {(5, 1), (5, 2), (5, 3), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (1, 1), (1, 2), (1, 3)}
L'insieme R costituito dalle coppie di elementi del prodotto cartesiano si identifica con il piano cartesiano rappresentato in figura:
Bb (a, b)
a ∈ A
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Y (1,6)6Y 56 (1,5)5 3 1 51 2 3X (1,3)3 (1,1)1 1 2 3 X 8
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Insiemi numerici
Definizione: insiemi numerici
Gli sono insiemi i cui elementi sono numeri, cioè appartengono all'insieme N dei naturali, degli interi Z, dei razionali Q, dei reali R o dei complessi C.
Esempio: 1 x | x , n NA= { }n
Con N abbiamo indicato i numeri naturali.
1 1 1 1 1
L’insieme A è dunque 1 , , , , , , ...{ }2 3 4 5 6
L’insieme dei costituito dagli interi 1,2,3… numeri naturali N è con l’inclusione dello 0.
Di solito si dice che lo zero e
l'unità costituiscono l'elemento neutro dell'addizione e della moltiplicazione rispettivamente, nel senso che + = · = m 0 m m 1 m numeri naturali che ammettono solo l'unità
Si dicono primi quei come divisore (non consideriamo il numero stesso).
Se un numero non è primo avrà dei divisori che possono essere espressi come prodotti di numeri primi, l'individuazione di tali numeri "componenti" si dice scomposizione in fattori primi.
Il numero 12 non è primo, visto che i suoi divisori sono , mentre 13 lo è, visto 1,2,3,4,6 che non ha divisori diversi da .1
Il numero 120, scomposto in fattori primi, si scrive 120 = 5 · 2· 2· 3 9
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L'insieme dei numeri interi Z
è costituito dai numeri naturali ed ai numeri interi di segno negativo. L'insieme dei numeri razionali Q. Un numero si dice razionale se può essere espresso come rapporto tra due numeri naturali, p/q, con q diverso da zero. Un numero razionale non è necessariamente un numero naturale. Si dice, infatti, decimale illimitato periodico e a volte è riscritto come 0.6666.... I numeri irrazionali sono quelli che non sono esprimibili come rapporto tra numeri interi. √2 non è un numero razionale. L'insieme dei numeri reali R. I numeri reali possono essere sia positivi che negativi, indicheremo con ±a un numero relativo, con il segno + intendiamo un numero positivo, mentre con il segno - intendiamo un numero negativo. A volte, nel caso di numeri positivi, il segno viene tralasciato. |a|. Il valore assoluto (cioè indipendente dal segno) o modulo del numero. Ricordiamo le regole algebriche per la somma e il prodotto di numeri relativi: SOMMA +a + (+b) =- entrambi i numeri sono positivi: −a −c+ (−b) =
- entrambi i numeri sono negativi: −cc) uno è positivo mentre l'altro è : +a + (−b) = se a > b
- negativo: −c+a + (−b) = se a < b
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MOLTIPLICAZIONE e DIVISIONE
±a , ±b
Dati due numeri relativi il loro prodotto sarà dato dal prodotto dei moduli e il loro rapporto dal rapporto dei moduli.
Per il segno si applicano le seguenti regole:
+ + = +
+ + + · + = +
+ + − · + = −
− + − · + = −
− − · + = −
− − = +
Il puntino indica l'operazione di prodotto.
DIFFERENZA
Si applicano le stesse regole della somma, ma si deve tener conto delle regole del prodotto per i segni:
−
± ≈ μa(b) ab
Insiemi limitati
Un insieme numerico A si dice limitato superiormente se esiste un numero K tale che per ogni x ∈ A si ha x ≤ K.
Un insieme numerico A si dice limitato inferiormente se esiste un numero K tale che per ogni x ∈ A si ha x ≥ K.
Un insieme che è limitato sia superiormente che inferiormente si dice limitato.
Massimi e minimi
Un elemento m ∈ A di un insieme numerico si dice massimo (≤) se per ogni x ∈ A si ha x ≤ m.
Un elemento m ∈ A di un insieme numerico si dice minimo (≥) se per ogni x ∈ A si ha x ≥ m.
È evidente che ogni insieme numerico non può avere più di un massimo o più di un minimo.
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Gli intervalli
Gli intervalli sono insiemi numerici i cui elementi sono numeri reali compresi fra due valori.
Intervalli limitati
Notazione Notazione 21Intervallo tutti gli numeri reali compresi
Intervallo chiuso: tutti gli numeri reali compresi tra x appartenente a R tale che a ≤ x ≤ b (a,b inclusi)
Intervallo aperto: tutti gli numeri reali compresi tra x appartenente a R tale che a < x < b (a,b esclusi)
Intervallo aperto a sinistra: tutti gli numeri reali compresi tra x appartenente a R tale che a < x ≤ b (a incluso, b escluso)
Intervallo aperto a destra: tutti gli numeri reali compresi tra x appartenente a R tale che a ≤ x < b (a incluso, b escluso)
Intervallo chiuso a sinistra: tutti gli numeri reali compresi tra x appartenente a R tale che a ≤ x < b (a incluso, b incluso)
Intervallo chiuso a destra: tutti gli numeri reali compresi tra x appartenente a R tale che a < x ≤ b (a incluso, b incluso)
Intervallo illimitato superiormente: tutti gli numeri reali maggiori o uguali ad a (a,+∞)
Intervallo illimitato inferiormente: tutti gli numeri reali minori o uguali ad a (-∞,a]
Intervallo illimitato superiormente e inferiormente: tutti gli numeri reali
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