Teoremi sui limiti e dimostrazioni spiegate

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Author: girlconverse.emy

Revisionato il 04/09/2026

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Introduzione ai limiti: concetti di intervallo, intorno, punto di accumulazione, definizione dettagliata di limite.Teoremi con dimostrazione spiegata: teorema di unicità del limite, …

Esame Analisi matematica 1

Facoltà Scienze matematiche fisiche e naturali

Dal corso del Prof. Cavaliere Paola

Università Università degli Studi di Salerno

A.A. 2010-2011

52 pagine

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Estratto del documento

Funzione distanza

f : R × R → [0, +∞[

(x, y) → |x - y|

Ossia f è una funzione che va da R × R a [0, +∞[ e che associa ad ogni coppia ordinata (x, y) → |x - y|

Proprietà di tal funzione

f(x, y) ≥ 0 ∀ x, y ∈ R
f(x, y) = 0 ⇔ x = y
f(x, y) = f(y, x)
f(x, y) = f(x, z) + f(z, y)

Def intervallo

I ⊆ R = I è un intervallo di R ⇔ ∀ x, y ∈ I x ≤ y, z ∈ R : x ≤ z ≤ y ⇒ z ∈ I

Esempio di non intervallo

[0, 1[ ∪ ]3, ∞[

Suggerimento: sono intervalli solo, ma insieme non costituiscono un intervallo.

Esempi di intervalli

[a, b[ = {x ∈ R | x ≥ a} semi-inetto chiuso

]a, +∞[ = {x ∈ R | x > a} semi-inetto aperto

]a, b[ = {x ∈ R | x ]a, a[ = {x ∈ R | x

Funzione distanza

f ∶ R × R → [0, +∞[

(x, y) → |x - y|

Ossia f è una funzione che va da R × R a [0, +∞[ e che associa ad ogni coppia ordinata (x, y) → |x-y|

Proprietà della funzione

f(x, y) ≥ 0 ∀ x, y ∈ R
f(x, y) = 0 ⇔ x = y
f(x, y) = f(y, x)
f(x, y) ≤ f(x, z) + f(z, y)

Def: intervallo

I ⊂ R è un intervallo di R se ∀ x, y ∈ I x ≤ y ⇒ ∀ z ∈ R : x ≤ z ≤ y z ∈ I

Esempio di non intervallo

[0, 1[ ∪ ]2, 3[

Semplicemente sono intervalli, ma insieme non costituiscono un intervallo.

Esempi di intervalli

[a, b] = {x ∈ R | x ≥ a} Semintervato chiuso inferiormente

]a, +∞[ = {x ∈ R | x > a} Semiratto aperto

]α, a] = {x ∈ R | x ≤ α} Semiratto chiuso superiormente

]α, a[ = {x ∈ R | x < α} Semiratto aperto

Intersezione e unione di intervalli

Se prendo due intervalli: I₁ e I₂ → I₁ ∩ I₂ ≠ ∅

La famiglia di intervalli vuoti è chiusa risp. all'unione ma non risp. all'intersezione.

Caratterizzazione di un intervallo (formulazione desiderata)

I ⊆ ℝ è un intervallo ⇔ I = (inf I, sup I)

I = (a, b)

Dalla def di intervallo si evince che ℝ = ]-∞ , +∞[

ℝ è anch'esso un intervallo ∀ x_o ∈ ℝ - ∞ < x_o < +∞

ℝ̅ := retta reale estesa = ℝ ∪ {±∞}

Quindi:

ℝ̅ = ]-∞,∞[ ∪ ]-∞,+∞[ ∀ x_o ∈ ℝ

- Un segmento è un intervallo, per esempio ∀ a

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