Teoremi sui limiti e dimostrazioni spiegate

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Revisionato il 18/05/2026

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Introduzione ai limiti: concetti di intervallo, intorno, punto di accumulazione, definizione dettagliata di limite.Teoremi con dimostrazione spiegata: teorema di unicità del limite, …

Esame Analisi matematica 1

Facoltà Scienze matematiche fisiche e naturali

Dal corso del Prof. Cavaliere Paola

Università Università degli Studi di Salerno

A.A. 2010-2011

52 pagine

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FUNZIONE DISTANZA

f : R × R → [0,+∞[

(x, y) → |x - y|

ossia f è una funzione che va da R × R a [0,+∞[ e

che associa ad ogni coppia ordinata (x, y) → |x - y|

PROPRIETÀ DI TAL FUNZIONE:

f(x, y) ≥ 0 ∀ x, y ∈ R
f(x, y) = 0 ⇔ x = y
f(x, y) = f(y, x)
f(x, y) = f(x, z) + f(z, y)

DEF INTERVALLO

I ⊆ R = I è un intervallo di R ⇔ ∀ x, y ∈ I x ≤ y,

z ∈ R : x ≤ z ≤ y ⇒ z ∈ I

ESEMPIO DI NON INTERVALLO

[0, 1[ ∪ ]3, ∞[

Suggeremente sono interv. solo ma insieme non

costituiscono un intervallo

ESEMPI DI INTERVALLI

[a, b[ = {x ∈ R | x ≥ a} semi-inetto chiuso
]a, +∞[ = {x ∈ R | x > a} semi-inetto aperto
]a, b[ = {x ∈ R | x < b} semi-inetto chiuso sup.
]a, a[ = {x ∈ R | x < b} semi-inetto aperto

FUNZIONE DISTANZA

f ∶ R × R → [0, +∞[

(x, y) → |x - y|

ossia f è una funzione che va da R × R a [0, +∞[ e che associa ad ogni coppia ordinata (x, y) → |x-y|

Proprietà Della Funzione:

f(x, y) ≥ 0 ∀ x, y ∈ R
f(x, y) = 0 ⇔ x = y
f(x, y) = f(y, x)
f(x, y) ≤ f(x, z) + f(z, y)

Def: Intervallo

I ⊂ R è un intervallo di R se ∀ x, y ∈ I x ≤ y ⇒

∀ z ∈ R : x ≤ z ≤ y z ∈ I

Esempio di non intervallo

[0, 1[ ∪ ]2, 3[

Semplicemente sono intervalli, ma insieme non costituiscono un intervallo

Esempi di intervalli

[a, b] = {x ∈ R | x ≥ a} Semintervato chiuso inferiormente
]a, +∞[ = {x ∈ R | x > a} Semiratto aperto
]α, a] = {x ∈ R | x ≤ α} Semiratto chiuso superiormente
]α, a[ = {x ∈ R | x < α} Semiratto aperto

Se prendo due intervalli: I₁ e I₂ → I₁ ∩ I₂ ≠ ∅

La famiglia di intervalli vuoti è chiusa risp. all'unione ma non risp. all'intersezione.

CARATTERIZZAZIONE DI UN INTERVALLO (formulazione desiderata)

I ⊆ ℝ è un intervallo ⇔ I = (inf I, sup I)

I = (a,b)

Dalla def di intervallo si evince che ℝ = ]-∞ , +∞[

- ℝ è anch'esso un intervallo ∀ x_o ∈ ℝ - ∞ < x_o < +∞

ℝ̅ := retta reale estesa = ℝ ∪ {±∞}

Quindi:

ℝ̅ = ]-∞,∞[ ∪ ]-∞,+∞[ ∀ x_o ∈ ℝ

- Un segmento è un intervallo , per esempio ∀ a

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