Teoremi sui limiti e dimostrazioni spiegate

FUNZIONE DISTANZA

f: ℝ x ℝ -> [0, +∞[

(x, y) -> |x-y|

ossia è una funzione che va da ℝ x ℝ a [0,+∞[ e che associa ad ogni coppia ordinata (x, y) -> |x-y|

PROPRIETA' DI TAL FUNZIONE:

1. f(x, y) ≥ 0 ∀ x, y ∈ ℝ
2. f(x, y) = 0 ⟺ x = y
3. f(x, y) = f(y, x)
4. f(x, y) ≤ f(x, z) + f(z, y)

DEF INTERVALLO

I ⊆ ℝ è un intervallo di R ⟺ ∀ x, y ∈ I x ≤ y:

• ∀ z ∈ ℝ: x ≤ z ≤ y z ∈ I

ESEMPIO DI NON INTERVALLO

[0, 1[ ∪ ]2, 3[

Semplicemente sono intervalli, ma insieme non costituiscono un intervallo

ESEMPI DI INTERVALLI

• [a, b[ = {x ∈ ℝ | x < a} semiaperto chiuso inferiormente
• ]a, +∞[ = {x ∈ ℝ | x > a} semiaperto aperto
• ]a, +∞[ = {x ∈ ℝ | x > a} semichiuso chiuso attrib
• ]a, b[ = {x ∈ ℝ | x < b} semiaperto aperto

Se prendo due intervalli: I₁, I₂ ⊆ ℝ: → I₁ ∩ I₂ ≠ ∅

La famiglia di intervalli uniti è chiusa rispall’unione, non risp all’intersezione.

CARATTERIZZAZIONE DI UN INTERVALLO

I ⊆ ℝ è un intervallo ↔ I = (inf I, sup I) = (a, b)

Dalla def. di intervallo si ottiene che ℝ = ]-∞ +∞[

ℝ è anch’esso un intervallo ∀ x₀ ∈ ℝ -% x₀ < +∞

ℝ⁻ := retta reale estesa := ℝ ∪ {-∞ +∞}

Quindi:

ℝ⁻ = ℝ ∪ ]-∞ +∞] ∨ ]-∞ +∞[(Escluso 0)

- Un singolo x è un intervallo, per esempio

posso scriverlo come {a, a}

Def INTORNO DI UN PUNTO

Con il termine “intorno” di x₀ indico un qualsiasiintervallo aperto contenente x₀.

Intorno di x₀ ↔ I = (a, b) ∈ ℝ, x₀ ∈ (a, b)

ESEMPI DI INTORNO DI UN PUNTO

Sia x₀ = -∞

Intorno di -∞ := un qualsiasi intervallo aperto reale

che contenga inferiormente

-∞, cioè ]-1, +∞[, a ∈ ℝ

(quindi ℝ è un intorno di -∞)

Nel caso in cui x, y ∈ ℝ x ≠ y per il teorema della densità di ℚ in ℝ essendo x, y ∈ ℝ esisterà sempre un numero q ∈ ℚ | x < q < y per quanto. x y allora facciamo:

I_x = -∞ ; q | I_y = ] q ; +∞

ancora una volta I_x ∩ I_y = ∅

Def. di PUNTO DI ACCUMULAZIONE

def. di PUNTO D’ACCUMULAZIONE per X è insieme X ⊂ ℝ x₀ ∈ ℝ x₀ è un punto di accumulazione di x ⇔ ∀I ∈ ℐ (x₀), I ∩ (I\{ x₀ }) ≠ ∅ N_∞= { I }, x₀ ∈ I

N.B. l’unico punto di accumulazione per ℕ è ± ∞: Bisogna per affermare ciò dimostrare che +∞ ∈ D (ℕ), ossia che +∞ appartiene all’insieme dei punti di accumulazione di ℕ, ed è anche il solo punto di accumulazione.

∃ I  +∞ ∈ D (ℕ)

per dim. ciò bisogna dim. che in ogni intorno di +∞, ossia in ogni intorno del tipo ] M + 1 ; +∞[ es. alcuero su ℕ ≠ 1

Sappiamo per la proprietà di Archimede che ∀ M ∈ ℝ

∃ M ∈ ℕ \ M > M

per cui nell’intorno I₁ = [ M + 1 ; +∞[ esisterà almeno 1 ∉ ℕ, Sappiamo, Vista ciò avvue che ∀ M ∈ ℝ possiamo allora concludere che, in ogni intorno di ± ∞, ∃ alcuero su m_≠(ℕ)

x_o=±∞ ∈ℝ

∀W∈ℓ(ℓ) ∃U∈ℓ(±∞) | β(α)∈W ∀x∈X∩(U∖(±∞)),

ossia ∀ε>0 ∃M>0 c.c. | β(x)−ℓ|M

x_o=±∞ ℓ=±∞

∀W∈ℓ(±∞) ∃U∈ℓ(±∞) | β(x)∈W ∀x∈X∩(U∖{±∞}),

ossia ∀M>0 ∃M>0 c.c. β(x)>M ∀x∈X∶ -x>M^′

x_o=±∞ ℓ=∞

∀W∈ℓ(±∞) ∃U∈ℓ(±∞) | β(x)∈W ∀x∈X∩(U∖{±∞}),

ossia ∀M>0 ∃M>0 c.c. β(x)M^′

Calcolo del limite nel caso di f(x) = ax + b a ≠ 0

Assegnata una delta domf = R perciò sono punti di accumulazione tutti i valori di R (limitandoci a cambiare x il calcolo del limite soltanto valori reali) Vogliamo verificare se:

lim_x→x0 f(x) = ax₀ + b

∀ε>0 ∃δ>0 / |f(x) - l| < ε ∀x ∈ X: 0<|X - X₀|<δ

→ε>0 ∃δ>0 / |fxn - ax₀ + b <ε ∀x ∈ X • 0<|X₀-X₀|<δ dovendo dimostrare che I D, assegno allora ε>0 e consideriamo f(x) = ax + b → |ax + b - ax₀ - b| <ε essendo f(x) = ax + b → |ax + b_-ax0 - b| <ε ≡ |ax - ax₀| <ε ≡ |a (x - x₀)| <ε ≡ |a| x |X - X₀| <ε ≡ |X - X₀| <ε/|a| • Pertanto considerare il mio δ esattamente uguale a (ε/|a| ε/|a| è quindi ottengo: 0 < |X - X₀| <δ)

per cui ogni ε fissato al finito ammette limite esattamente uguale al valore che la f* assume in quel punto.

DEFINIZIONE DI PUNTO DI ACCUMULAZIONE DESTRO E SINISTRO

x₀ è p.da dx per une insiemi x ⇔ ∀ I ∈ ℑ(x₀) x ∩ (I ∖ {x₀}) ≠ ∅ossia x ∩ (x₀ − d, x₀] ≠ ∅

x₀ è p.da sx per une insiemi x ⇔ ∀ I ∈ ℑ(x₀) x ∩ (I ∖ {x₀}) ≠ ∅ossia x ∩ [x₀ − d, x₀) ≠ ∅

Quindi da quanto detto:

lim f(x)x → x₀ ∈ D_s(f) ∩ D_dx(clasef) ⇒ tadio e casione lim dx e lim f(x)x → x₀ x → x₀

TEOREMA DI CONGIUNZIONE

Sia f: x ∈ ℝSia x₀ ∈ D_s(x) ∩ D_sx(x)

∃ lim f(x) = l ∈ ℝ ⇔ ∃x → x₀ lim f(x) = l⁺ tali che l⁺ = l = l^-x → x₀⁺

DIMOSTRAZIONE

Hp f ≤ g

Utilizzo la def. di ≤: ∀ W ⊆ J(f) ∃ U ⊆ J(x) U ∈ c

f(x) ∈ W ∀ x ∈ ∩(U₁⁻ x U₃)^c

≤ g: ∀ W ⊆ J(g) ∃ V ⊆ J(x₀) ∈ c. g(x) ∈ W ∀ x ∈ ∩(V₂ U₃)

Per le teorema di separazione posso scegliere due aperture (U) razionali Q definire un intorno di fg, la cui intersezione è vuota.

Esistono allora come intorno di f ⊆ W: J=[-∞; g[ e come intorno di g, W = ]q; +∞[

Si osserva subito che W ∩ W = Ø

Per cui, dalla def di limite di f(x) consideriamo

W= ]-∞ q[ tale che f(x) ∈ ]-∞ q[ ∀ x ∈ ∩(U₁O₃U₄)

e _w ̄= ]q(+∞[ tale che g(x) ∈ ]q +∞[ ∀ x ∈ ∩(U₁V₁)

Naturalmente se andassi a considerare 3 intoni di _x ∈ ∩(U₂O₁) sarebbe tale da x ∈(1) U e 2, ossia:

∀ x ∈ ∩ U₀. f(x) ∈ ]-∞ q[ e g(x) ∈ ]q, +∞[ ossia f(x) ̸= g(x)

U₀ := U₂ U₂

Abbiamo dimostrato l'esistenza di un intorno U ⊆ J(x) ∀ _x x ∈ (U₀l_{x0) f(x) = g(x)}

ESEMPIO

Sia f la funzione cosi definita:

f(x)

ossia f(x) = { 1 se x > 0 -1 se x < 0

lim_x->0⁺f(x) = 1 ma lim_x->0^-f(x) non esiste perche

lim_x->0^-f(x) ≠ lim_x->0⁺f(x)