Teoremi sui limiti

Studio di funzione

Continuità e derivabilità

Teorema fondamentale sui limiti

Teorema dell'unicità del limite

Se esiste il limite della funzione f(x) per x → c, tale limite è unico.

Dimostrazione

Ragionando per assurdo, supponiamo che per x → c la funzione f(x) ammetta due limiti finiti e distinti:

\[ \lim_{x \to c} f(x) = l \]

\[ \lim_{x \to c} f(x) = m \]

Con questa supposizione dimostriamo la contraddizione. Supponiamo \[ l \neq m \].

Indichiamo con \[ \varepsilon \] un numero positivo arbitrario e poniamo \[ \varepsilon = \frac{m - l}{2} \].

Per definizione di limite, in corrispondenza ad un numero positivo arbitrario \[ \varepsilon \] devono esistere due intorni, rispettivamente [...].

Questa è però una contraddizione con quanto avevamo stabilito in precedenza e questo dimostra l'unicità del limite!