Teoremi sui limiti

Studio di Funzione

Continuità e Derivabilità

Teorema fondamentale sui limiti - Teorema dell'unicità del limite

Se esiste il limite della funzione f(x) per x → c, tale limite è unico

Dimostrazione

Ragionando per assurdo, supponiamo che per x → c la funzione f(x) ammetta due limiti finiti e distinti

\[ \lim_{x \to c} f(x) = l \]

\[ \lim_{x \to c} f(x) = m \]

Con questa supposizione dimostriamo la contraddizione

Supponiamo \[ l \neq m \]

Indichiamo con \[ \varepsilon \] un num. positivo arbitrario e poniamo \[ \varepsilon = \frac{m - l}{2} \]

Per definizione di limite, in corrispondenza ad un numero positivo

arbitrario \[ \varepsilon \] devono esistere due intorni, rispettivamente

[...]

Questa è però una contraddizione con quanto avevamo stabilito in precedenza

e questo dimostra l'unicità del limite!