Determinanti - Dimostrazioni teoremi spiegate

Determinanti

Corollario

Sia A ∈ℝ^n×n,

Allora

det(A^T) = det(A)

Dimostrazione:

Procedendo per induzione su n, sappiamo sicuramente che per n=2, la formula det(A^T) = det(A) vale, poiché

A = │a₁₁ a₁₂│       a₂₁ a₂₂│ ∈ ℝ^2×2

A^T = │a₁₁ a₂₁│       a₁₂ a₂₂│ ∈ ℝ^2×2

det(A) = a₁₁a₂₂ - a₁₂a₂₁ = a₁₁a₂₂ - a₂₁a₁₂ = det(A^T).

Supponiamo per ipotesi induttiva che sia vero anche per n-1, ovvero che

det(A_i;j^T) = det(A_i;j)

dove A_i;j ∈ℝ^(n-1)×(n-1)

Allora se calcoliamo il det(A^T) tramite lo sviluppo di Laplace lungo la prima colonna (j=1), si ha

det(A^T) = _i=1ⁿ∑ (-1)ⁱ⁺¹ . a_i1 . det((A^T)_i1) = _i=1ⁿ∑ (-1)ⁱ⁺¹ . a_i1 . det(A_1i^T)

→ per ipotesi induttiva

= _i=1ⁿ∑ (-1)ⁱ⁺¹ . a_i1 . det(A_1i) = det(A) □

Per me: Spiegazione ultimo passaggio

Esempio:

n = 4 => A_i ∈ ℝ^3x3

Es: i=1, j=1

A_1;1 =

Tenendo j fisso, ad esempio j=1, possiamo notare che il minore (i,j) della trasposta A^T ((A^T)_i,j) è esattamente uguale alla trasposta del minore A_i,j ((A_i,j)^T):

(A^T)_i,1 = | a₂₂ a₃₂ | = (A_1,j)^T

| a₂₃ a₃₃ |

Inoltre, l'elemento di posto (i,j) di A^T è a₁₁, che è anche l'elemento (1,1) di A

Altro esempio per capire meglio:

Corollario di Cramer

Sia Ax=b un sistema lineare quadrato di ordine n con matrice A non singolare. Allora l'unica soluzione v=(v₁,...,v_n) ∈ Rⁿ del sistema è data da

v_i=^det(B_i)/_det(A), i=1,...,n

dove B_i è la matrice ottenuta sostituendo in A alla colonna i-esima, la colonna b dei termini noti, cioè

B_i=[A¹...A^i-1|b|Aⁱ⁺¹...Aⁿ]

Esempio

DIMOSTRAZIONE: Indichiamo con X_i la matrice ottenuta sostituendo nella matrice identità I_n alla colonna i-esima, il vettore v_i, cioè

X_i=[e₁|...|e_i-1|v|e_i+1|...|e_n]