Determinanti - Dimostrazioni teoremi spiegate

Determinanti

Corollario

Sia A ∈ ℝ^n×n,Alloradet(A^T) = det(A)

Dimostrazione:

Procedendo per induzione su n, sappiamo sicuramente che per n = 2, la formula det(A^T) = det(A) vale, poiché

A = |a₁₁ a₁₂|         |a₂₁ a₂₂| ∈ ℝ^2×2       A^T = |a₁₁ a₂₁|                    |a₁₂ a₂₂| ∈ ℝ^2×2

det(A) = a₁₁a₂₂ - a₁₂a₂₁ = a₁₁A₂₂ - a₂₁A₁₂ = det(A^T).

Supponiamo per ipotesi induttiva che sia vero anche per n - 1, ovvero che

det(A_ij^T) = det(A_ij)      dove   A_ij ∈ ℝ^(n-1)×(n-1)

Allora se calcoliamo il det(A^T) tramite lo sviluppo di Laplace lungo la prima colonna (j = 1), si hadet(A^T) = ⁿ∑_i=1(-1)ⁱ⁺¹ · Q_1i · det((A^T)_i1) =                         = ⁿ∑_i=1 (-1)ⁱ⁺¹ · a_1i · det(A_1i)^T → per ipotesi induttiva                        = ⁿ∑_i=1 (-1)ⁱ⁺¹ · a_1i · det(A_1i) = det(A)

DETERMINANTI

Corollario

Sia A ∈ ℝ^n×n,

Allora

det(A^T) = det(A)

DIMOSTRAZIONE:

Procedendo per induzione su n, sappiamo sicuramente che per n = 2, la formula det(A^T) = det(A) vale, poiché

A = ₁₁ a_{12 21} a₂₂ ∈ ℝ^2×2 A^T = ₁₁ a_{21 12} a₂₂ ∈ ℝ^2×2

det(A) = a₁₁ a₂₂ - a₁₂ a₂₁ = a₁₁ a₂₂ - a₂₁ a₁₂ = det(A^T).

Supponiamo per ipotesi induttiva che sia vero anche per n-1, ovvero che

det(A_ij^T) = det(A_ij) dove A_ij ∈ ℝ^(n-1)×(n-1)

Allora se calcoliamo il det(A^T) tramite lo sviluppo di Laplace lungo la prima colonna (j = 1), si ha

det(A^T) = _i=1ⁿ (-1)ⁱ⁺¹ Q_i1 det((A^T)_i1) (*)

= _i=1ⁿ (-1)ⁱ⁺¹ a_i1 det(A_ii^T) = _i=1ⁿ (-1)ⁱ⁺¹ a_i1 det(A_ii) = det(A)

Per me: Spiegazione ultimo passaggio

Esempio:

n=4   =>   A₁₁ ∈ ℝ^3×3

Es.: i=1, j=1

A_j₁= |_riga a₂₂   a₂₃_colonna|     a₃₂   a₃₃

A^T = |_colonna a₁₁   a₂₁   a₃₁_riga   colonna riga       a₁₂   a₂₂   a₃₂_colonna   colonna_riga       a₁₃   a₂₃   a₃₃

^T = | a₂₂    a₃₂^T_riga |           a₂₃    a₃₃

T ↑   _{colonna   riga}

Inoltre, l'elemento di posto (i, j) di A^T è a₁₁, che è anche l'elemento (i, j) di A

Altro esempio per capire meglio:

A_ji = a₁₁a₁₂a₁₃ a₂₁a₂₂a₂₃ a₃₁a₃₂a₃₃

A^T_ij = a₁₁a₂₁a₃₁ a₁₂a₂₂a₃₂ a₁₃a₂₃a₃₃

=> A^T_i1 = (A_i1)^T

=> elemento (i,1) di A^T_i1 = elemento (j,i) di A_i1

Teorema di Binet

Sia A, B ∈ ℝ^n×n.

Allora

det(AB) = det(A) ⋅ det(B)

Dimostrazione:

Se B è singolare, il che vuol dire che le colonne di B sono linearmente dipendenti, allora det(B) = 0.Allora ∃v ∈ ℝⁿ, v ≠ 0 t.c. Bv = 0.

Quindi,

(AB)v = 0 ⇔ A(Bv) = 0 ⇒ AB è singolare ⇒ det(AB) = 0

In questo caso, dunque, se B è singolare il teorema è verificato.

2) Se B, invece, è non singolare allora det(B)≠0.

Consideriamo la funzione f: ℝ^n×n → ℝ definita da

f(A) = det(AB)_det(B)

Affinché f(CA)=det(A), dobbiamo verificare che f(CA) soddisfi le quattro proprietà del determinante:

1. d(In)=1

Quindi:

f(I_n) = det(I_nB)_det(B) = ^det(B)_det(B) = 1

La ① è verificata.

1. d(...,A_i+A_i'' ,...) = d(...,A_i ,...) + d(...,A_i'',...)

per qualsiasi i=1,...,n

Supponiamo che A_i = A_i + A_i''

Allora pure (AB)_i = A_i'B + A_i''B

det(AB) = det(A_i'B) + det(A_i''B)

Quindi, se f(A) = ^det(AB)_det(B), allora

f(A_i') = ^det(A_i'B)_det(B) + ^det(A_i''B)_det(B)

= ℬ(A_i') + ℬ(A⁽ⁱ⁺¹⁾')

Quindi, ℬ(A) è additiva, e dunque la ⓒ è verificata.

ⓑ (...,λA_i,...) = λ(...,A_i,...)per qualsiasi λ ∈ ℝ e i=1,...,n

Se λA_i esiste, allora anche λ(A_i',...,A); esiste. det(λ(AB)) = λ det(AB)

Quindi:

ℬ(A) = (λdet(AB))/det(B) = λ ℬ(A)

ℬ(A) è omogenea ⇒ ⓑ è verificata

ⓐ (A_i,...,A_n) = 0 se A_i = A_j per i≠j

Se la matrice A ha due righe uguali, allora anche AB le ha. Quindi det(AB) = 0, di conseguenzaℬ(A) = det(AB)/det(B) = 0/det(B) = 0

Anche ⓐ è verificata, dunque

ℬ(A) = det(AB)/det(B) = det(A), come da teorema.

Corollario di Cramer

Sia Ax=b un sistema lineare quadrato di ordine n con matrice A non singolare. Allora l'unica soluzione v=(v₁,...,v_n) ∈ ℝⁿ del sistema è data da

∀_i=1,...,n

V_i=det(B_i)/det(A)

dove B_i è la matrice ottenuta sostituendo in A alla colonna i-esimo, la colonna b dei termini noti, cioè

B_i=|A¹ ... A^i-1 b Aⁱ⁺¹ ... Aⁿ|

Per me: Cos'è B_i?

Esempio

{ x + 2z = 1

-x + 3y + z = 0

x + z = 1

b= |1|

|0|

A= |1 0 2|

|-1 3 1|

|1 0 7| ∈ ℝ

B₁ = |1 0 2| , B₂ = |1 2 1| , B₃ = |1 0 1|

Dimostrazione:

Indichiamo con X_i la matrice ottenuta sostituendo nella matrice identità I_n alla colonna i-esimo, il vettore v, cioè

X_i = | e₁ ... e_i-1 v e_i+1 ... e_n |